高中數(shù)學(xué)必修3教案：3_3_2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

§3.3.2 幾何概型的應(yīng)用與均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解并掌握幾何概型的概率公式和其應(yīng)用解題的關(guān)鍵； 2.掌握利用計(jì)算器（計(jì)算機(jī)）產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)的方法； 3.會利用均勻隨機(jī)數(shù)解決具體的有關(guān)概率的問題． 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn): 1.應(yīng)用幾何概型概率公式解決幾何概型問題； 2.掌握利用計(jì)算器（計(jì)算機(jī)）產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)的方法 難點(diǎn): 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)并運(yùn)用到概率的實(shí)際應(yīng)用中． 學(xué)法指導(dǎo) 通過例題和練習(xí)在應(yīng)用中鞏固幾何概型概率公式解題的關(guān)鍵(即時刻明確構(gòu)成事件A的基本要素是“點(diǎn)”，而試驗(yàn)的全部結(jié)果是一個幾何圖形)；通過模擬試驗(yàn)，感知應(yīng)用數(shù)字解決問題的方法。 知識鏈接 幾何概型的定義，以及相關(guān)的古典概型中的隨機(jī)模擬方法. 問題探究 【提出問題】 1.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有無限多個，當(dāng)再滿足 時， 我們稱這樣的概率模型為幾何概型. 2.幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式為： P(A)=. 【鞏固提高】 2 圖1 r M O 例1 如圖1所示,平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任一條平行相碰的概率. 分析：硬幣不與直線相碰，可以看作硬幣的中心到直線的距離，這樣就可以把問題轉(zhuǎn)化為中心到較近的一條直線的距離滿足的 概率問題。因?yàn)橛矌攀侨我鈹S在平面上的，所以硬幣中心到較近一條直線的距離在到之間是等可能的任意一個值，所以這符合幾何概型的條件。 注：解決本題的關(guān)鍵是把硬幣與直線的關(guān)系轉(zhuǎn)化為硬幣中心到直線的距離，從而轉(zhuǎn)化為長度型的幾何概率問題. 例2 在區(qū)間上隨機(jī)取兩個數(shù)，求關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根的概率． 分析：題目中有兩個隨機(jī)變量，這時一般構(gòu)造二維幾何模型（即利用直角坐標(biāo)系），將問題轉(zhuǎn)化為面積型的幾何概率問題求解． 注：要注意對“等可能”的理解． 【探究新知】 我們可以利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，還可以通過隨機(jī)模擬方法求古典概型的概率近似值，對于幾何概型，我們也可以進(jìn)行上述工作. 一個人到單位的時間可能是8：00～9：00之間的任何一個時刻，若設(shè)定他到單位的時間為8點(diǎn)過X分種，則X可以是0～60之間的任何一刻，并且是等可能的.我們稱X服從[0，60]上的均勻分布，X為[0，60]上的均勻隨機(jī)數(shù). 思考1：一般地，X為[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)的含義如何？X的取值是離散的，還是連續(xù)的？ 我們常用的是[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，可以利用計(jì)算器產(chǎn)生（見教材P137）. 思考2：如何利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)？ 計(jì)算機(jī)只能產(chǎn)生[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，如果試驗(yàn)的結(jié)果是區(qū)間[a，b]上等可能出現(xiàn)的任何一個值，那么就需要產(chǎn)生[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù). 思考3：請問你有什么好辦法利用計(jì)算機(jī)來產(chǎn)生[2，6]上的均勻隨機(jī)數(shù)？[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)又如何產(chǎn)生呢？（行勝于言，試一試吧?。? 【理論遷移】 認(rèn)真閱讀思考教材例2的解析，尤其是方法二. 例3 在正方形中隨機(jī)撒一把豆子，如何用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)圓周率的值. 提示：每個豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，那么落在每個區(qū)域的豆子數(shù)就與這個區(qū)域的面積成正比，這樣出現(xiàn)了一個關(guān)鍵的等量關(guān)系. 60 20 60 20 x 0 y 例4 利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算由y=1和y=x2 所圍成的圖形的面積. 提示：面積比等于落在其中點(diǎn)的個數(shù)比. 例題要點(diǎn)： 1.利用幾何概型的概率公式，結(jié)合隨機(jī)模擬試驗(yàn)，可以解決求概率、面積、參數(shù)值等一系列問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價(jià)值. 2.用隨機(jī)模擬試驗(yàn)不規(guī)則圖形的面積的基本思想是，構(gòu)造一個包含這個圖形的規(guī)則圖形作為參照，通過計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某區(qū)間內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，再利用兩個圖形的面積之比近似等于分別落在這兩個圖形區(qū)域內(nèi)的均勻隨機(jī)點(diǎn)的個數(shù)之比來解決. 【課堂小結(jié)】 1.在區(qū)間[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)與整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的共同點(diǎn)都是等可能取值，不同點(diǎn)是均勻隨機(jī)數(shù)可以取區(qū)間內(nèi)的任意一個實(shí)數(shù)，整數(shù)值隨機(jī)數(shù)只取區(qū)間內(nèi)的整數(shù). 2.利用計(jì)算機(jī)和線性變換Y=X*(b-a)＋a，可以產(chǎn)生任意區(qū)間[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)，其操作方法要通過上機(jī)實(shí)習(xí)才能掌握. 例3圖 例4圖 目標(biāo)檢測 1．設(shè)A為圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連結(jié)，則弦長超過半徑和半徑倍的概率分分別為 ． 2．(選做)已知半圓O的直徑AB=2R，作平行于AB的弦MN，則MN<R的概率為 ． 3．有一個半徑為5的圓，現(xiàn)將一枚半徑為1的硬幣向圓投去，如果不考慮硬幣完全落在圓外的情況，則硬幣完全落在圓內(nèi)的概率是 ． 4．將[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)化為[-2,6]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，需實(shí)施的變換為( ) A． B． C． D． 5.在圖的正方形中隨機(jī)撒一把芝麻, 用隨機(jī)模擬的方法來估計(jì)圓周率的值.如果撒了1000個芝麻,落在圓內(nèi)的芝麻總數(shù)是776顆,那么這次模擬中的估計(jì)值是_________.(精確0.001) 6. (選做) 若過正三角形的頂點(diǎn)任作一條直線，則與線段相交的概率為 ． 例4圖 7．例4 隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率均與該區(qū)域的面積成正比，求該點(diǎn)與原點(diǎn)連線與x軸的夾角小于的概率 ． 8．教材第4題． 糾錯矯正 總結(jié)反思