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1、知識網絡知識網絡本章歸納整合本章歸納整合 數列的概念及表示方法 (1)定義：按照一定順序排列著的一列數 (2)表示方法：列表法、圖象法、通項公式法和遞推公式法 (3)分類：按項數有限還是無限分為有窮數列和無窮數列；按項與項之間的大小關系可分為遞增數列、遞減數列、擺動數列和常數列要點歸納要點歸納1 等差數列、等比數列性質的對比等差數列等差數列等比數列等比數列性性質質設設an是等差數列，若是等差數列，若stmn，則，則asataman；從等差數列中抽取等距從等差數列中抽取等距離的項組成的數列是一個離的項組成的數列是一個等差數列；等差數列；等差數列中連續(xù)等差數列中連續(xù)m項的項的和組成的新數列是等差數
2、和組成的新數列是等差數列，即：列，即：Sm，S2mSm，S3mS2m，是等差數列是等差數列設設an是等比數列，若是等比數列，若stmn，則，則asataman；從等比數列中抽取等距離從等比數列中抽取等距離的項組成的數列是一個等比的項組成的數列是一個等比數列；數列；等比數列中連續(xù)等比數列中連續(xù)m項的和項的和組成的新數列是等比數列，組成的新數列是等比數列，即：即：Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比數列是等比數列(注意：注意：當當q1且且m為偶數時，不為偶數時，不是等比數列是等比數列)2 等差數列、等比數列的判斷方法 (2)中項公式法：2an1anan2an是等差數列；an12anan2(an0
3、)an是等比數列 (3)通項公式法：ananb(a，b是常數)an是等差數列；ancqn(c，q為非零常數)an是等比數列 (4)前n項和公式法：Snan2bn(a，b為常數，nN*)an是等差數列；Snaqna(a，q為常數，且a0，q0，q1，nN*)an是等比數列3專專題一題一數列通項公式的求法數列通項公式的求法 數列的通項公式是數列的核心之一，它如同函數中的解析式一樣，有解析式便可研究函數的性質，而有了數列的通項公式，便可求出數列中的任何一項及前n項和 常見的數列通項公式的求法有以下幾種： (1)觀察歸納法求數列的通項公式 就是觀察數列的特征，橫向看各項之間的關系結構，縱向看各項與序號
4、n的內在聯系，結合常見數列的通項公式，歸納出所求數列的通項公式 (2)利用公式法求數列的通項公式 數列符合等差數列或等比數列的定義，求通項時，只需求出a1與d或a1與q，再代入公式ana1(n1)d或ana1qn1中即可 (3)利用an與Sn的關系求數列的通項公式 如果給出的條件是an與Sn的關系式，可利用 (4)利用累加法、累乘法求數列的通項公式 形如：已知a1，且an1anf(n)(f(n)是可求和數列)的形式均可用累加法； (5)構造法(利用數列的遞推公式研究數列的通項公式) 若由已知條件直接求an較難，可以通過整理變形等，從中構造出一個等差數列或等比數列，從而求出通項公式 已知數列an
5、滿足an1an3n2且a12，求an. 解a2a1312， a3a2322， a4a3332， anan13(n1)2， 以上各項相加，得 ana13123(n1)2(n1)【例例1】【例例2】 已知數列an滿足an13an2(nN*)，a11，求通項公式 解an13an2可變?yōu)閍n113(an1)， 令bnan1，則bn13bn且b1a112， bn是以2為首項，以3為公比的等比數列 bn23n1， anbn123n11.【例例3】【例例4】 求數列的前n項和Sn通常要掌握以下方法： 公式法：直接由等差、等比數列的求和公式求和，注 意對等比數列q1的討論 錯位相減法：主要用于一個等差數列與一
6、個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣 分組轉化法：把數列的每一項分成兩項，使其轉化為幾個等差、等比數列再求和 裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項 倒序相加法：把數列正著寫和倒著寫再相加(即等差數列求和公式的推導過程的推廣)專專題題二二數列求和數列求和12345【例例5】【例例6】 求和Snx2x23x3nxn.【例例7】 數列是高中代數的重點內容之一，也是高考的必考內容及重點考查的范圍，它始終處在知識的交匯點上，如數列與函數、方程、不等式等其他知識交匯進行命題它包涵知識點多、思想豐富、綜合性強，已成為近年高考的一大亮點 專專題題
7、三三數列的交匯問題數列的交匯問題【例例8】 已知單調遞增的等比數列已知單調遞增的等比數列an滿足滿足a2a3a428，且，且a32是是a2，a4的等差中項的等差中項(1)求數列求數列an的通項公式；的通項公式； Sn12222323n2n， 2Sn122223324(n1)2nn2n1， ，得Sn222232nn2n1 已知數列an的前n項和Sn2n22n，數列bn的前 n項和Tn2bn. (1)求數列an與bn的通項公式； (2)設cnan2bn，證明：當且僅當n3時，cn1cn. (1)解a1S14. 對于n2，有anSnSn12n(n1)2(n1)n4n. 綜上an的通項公式an4n.
8、將n1代入Tn2bn，得b12b1，故T1b11. (求bn)法一對于n2， 由Tn12bn1，Tn2bn 得bnTnTn1(bnbn1)，【例例9】 Tn221n(T12)21n， Tn221n，bnTnTn1(221n)(222n)21n. 綜上，bn的通項公式bn21n. (2)證明法一由cnan2bnn225n， 即cn1cn. 法二由cnan2bnn225n，得 cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22 當且僅當n3時，cn1cn0， 即cn1cn. 數列是高中代數的重要內容之一，也是高考的考查重點，考查的內容主要有兩個方面：第一方面是數列的基本概念；第二方面是數列的運算，
9、即運用通項公式、前n項和公式以及數列的性質求數列的一些基本量的問題，在這部分內容的考查中除了考查基礎知識以外，重點是考查靈活運用知識解決問題的能力命題趨勢命題趨勢1 在最近幾年高考試卷中，探索性題型在數列中考查較多，解決探索性題型應具備較高的數學思維能力，即觀察、分析、歸納和猜想問題的能力，研究與分析探索性題型有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)造精神，另一方面，綜合題型在數列中考查比較多，這主要是因為綜合題是數列與函數、數列與不等式、數列與解析幾何等知識的交匯點，具有較強的考查思維能力的功能可以預見的是：有關數列的綜合題型仍將是熱點和重點之一，應用題型在最近幾年試卷中也有所體現，所涉及的內容很廣泛，要求學生有寬闊的知識面，能在相關知識背景中處理問題2
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