第一章計數(shù)原理32《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》

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1、1.3.2 1.3.2 楊輝三角與二項式楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)系數(shù)的性質(zhì)1.了解楊輝三角的簡單歷史，理解二項式系數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用性質(zhì)解決一些簡單問題 2.根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平，通過對二項式系數(shù)表（楊輝三角）的觀察猜想、歸納出二項式系數(shù)的性質(zhì). 為了實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，在教法上采用“觀察、猜想、歸納、論述、證明、合作交流”的方法。多給學(xué)生一點空間、時間, 由學(xué)生觀察、探究與交流. 提高歸納猜想能力及表達(dá)能力,使學(xué)生獲得較全面的發(fā)展。讓學(xué)生通過對低階楊輝三角的觀察,猜想并歸納出二項式系數(shù)的性質(zhì)。 本節(jié)課從楊輝三角出發(fā)，直觀地認(rèn)識二項式性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù) .), 2 , 1 , 0(nr

2、 rnCrf)( 利用函數(shù)的思想理解二項式系數(shù)的對稱性、增減性及最大值，并加以嚴(yán)格的證明，按知識的邏輯關(guān)系來編排內(nèi)容。二項式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn展形式的第k+1項為Tk+1=Cnkan-kbk計算(a+b)n展開式的二項式系數(shù)并填入下表： n(a+b)n展開式的二項式系數(shù)展開式的二項式系數(shù)12345616152015611510105114641133112111對稱性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6議一議1）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關(guān)系嗎？ 3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下

3、面的系數(shù)嗎?a).表中每行兩端都是表中每行兩端都是1。b).除除1外的每一個數(shù)都等外的每一個數(shù)都等 于它肩上兩個數(shù)的和于它肩上兩個數(shù)的和。4+6=102+1=3例如：例如：cr ncr-1n+crn+1=當(dāng)當(dāng)n n不大時，可用該表來求二項式系數(shù)不大時，可用該表來求二項式系數(shù)。C23C22C12+= 3C25C24C14+= 10因為：因為：1112113311464115101051161520156121346101101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C總結(jié)提煉1:110

4、1CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C第第1行行第第2行行第第6行行-第第5行行-第第4行行第第3行行-111211331146411510 10511615 20 1561對稱對稱總結(jié)提煉2: 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等mnnmnCC 當(dāng)n為偶數(shù)如2、4、6時，中間一項最大當(dāng)n為奇數(shù)如1、3、5時，中間兩項最大(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0

5、03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn1615 20 1561111211331146411510 1051知識探究3:每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都

6、等于它肩上的兩個數(shù)的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+九章算術(shù)九章算術(shù)楊輝楊輝詳解九章算法中記載的表楊輝三角楊輝三角 類似上面的表,早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個表稱為楊輝三角.在書中，還說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，楊輝指出這個方法出于釋鎖算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它.這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀(jì).在歐洲，這個表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角.這就是說，楊輝三角

7、的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.二項式系數(shù)的性質(zhì) 展開式的二項式展開式的二項式系數(shù)依次是：系數(shù)依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 從函數(shù)角度看，從函數(shù)角度看， 可看可看成是以成是以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù) , ,其定義域是：其定義域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 當(dāng)當(dāng) 時，其圖象是右時，其圖象是右圖中的圖中的7個孤立點個孤立點6n對稱性對稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個二項式系數(shù)相等的兩個二項式系數(shù)相等 這一性質(zhì)可直接由公式這一性質(zhì)可直接由公式 得到得到mnnmn CC圖象的對稱軸：圖象的對稱

8、軸：2nr 二項式系數(shù)的性質(zhì)增減性與最大值增減性與最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相對于相對于 的增減情況由的增減情況由 決定決定knC1Cknkkn1二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式系數(shù)的性質(zhì)由由：2111nkkkn 二項式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。 21nk 可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時，時，增減性與最大值增減性與最大值 二項式系數(shù)的性質(zhì) 因此因此, ,當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時為偶數(shù)時, ,中間一項的二項式中間一項的二項式2Cnn系數(shù)系數(shù) 取得最大值；取得最大值； 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時為奇數(shù)時, ,中間兩項

9、的二項式系數(shù)中間兩項的二項式系數(shù) 12Cnn12Cnn相等，且同時取得最大值。相等，且同時取得最大值。增減性與最大值增減性與最大值 二項式系數(shù)的性質(zhì)各二項式系數(shù)的和 在二項式定理中，令在二項式定理中，令 ，則：，則： 1bannnnnn2CCCC210 這就是說，這就是說， 的展開式的各二項式系的展開式的各二項式系數(shù)的和等于數(shù)的和等于：nba)( n2同時由于同時由于 ，上式還可以寫成：，上式還可以寫成：1C0n12CCCC321nnnnnn這是組合總數(shù)公式這是組合總數(shù)公式 二項式系數(shù)的性質(zhì)例1.證明在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。在二項式定理中，令

10、，則： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC 531420nnnnnnCCCCCC1.( 1-x ) 13 的展開式中系數(shù)最小的項是( )(A)第6項 (B)第7項 （C）第8項 (D)第9項2.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個燈泡，只要有一個燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為 （ ）(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1C CD練習(xí) mCC.mnn同同時時有有最最大大值值，則則與與若若1934或5726701

11、267(1 2 ) xaa xa xa xa x已知7)21 ()(:xxf設(shè)解0) 1 ( a求：0 x （1）令70(0)(1 2 0)1,fa 即展開式右邊即為0(0)1af例例2726701267(1 2 ) xaa xa xa xa x已知7)21 ()(:xxf設(shè)解721071) 121 () 1 (aaaaf7321.) 2(aaaa1x （2）令1270170.()(1)(0)1 12aaaaaaaff 例例2726701267(1 2 ) xaa xa xa xa x已知1357(3)aaaa7)21 ()(:xxf設(shè)解0127(3)(1)faaaa01237( 1)faa

12、aaa 13572()(1)( 1)a aaaff 例例2642075317217722107)21 (.4aaaaaaaaaaaxaxaxaax則已知-2-10941093練習(xí):小結(jié)：求奇次項系數(shù)之和與偶次項系數(shù)的和 可以先賦值，然后解方程組整體求解例3:在(3x -2y)20的展開式中，求系數(shù)最大的項;解:設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項.則2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC 即即 3(r+1)2(20- -r) 得得 2(21- -r)3r所以當(dāng)所以當(dāng)r=8時，系數(shù)絕對值最大的項為時，系數(shù)絕對值最大的項為227855r81281289

13、2032TCx y楊輝三角的其它規(guī)律第0行11、楊輝三角的第2k-1行的各數(shù)字特點第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1楊輝三角的第2k-1行(k是正整數(shù))的各個數(shù)字都是奇數(shù)（質(zhì)數(shù)的積）第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20

14、15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 12、楊輝三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有數(shù)，則行數(shù)P是 質(zhì) 數(shù)質(zhì) 數(shù) ( 素 數(shù)素 數(shù) )思考1求證求證:02122222()()()().nnnnnnnCCCCC略證：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，兩邊展開后比較xn的系數(shù)得：再由 得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnC CC CC CCCC CC mn mnnCC 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC思考2求證：求證：01

15、2123122nnnnnnCCCnCn證明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01223122nnnnnnCCCnCn倒序相加法 試證明在(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.即證：021312nnnnnCCCC 證明：在展開式證明：在展開式 中中 令令a=1，b=1得得011nnnnnnnC aC abC b 0123(11)( 1)nnnnnnnnCCCCC 02130nnnnCCCC即即0213nnnnCCCC 啟示：在二項式定理中，對a,b賦予一

16、些特定的值，是解決二項式有關(guān)問題的一種重要方法賦值法.思考1: 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC 略證：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，兩邊展開后比較xn的系數(shù)得：再由 得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnC CC CC CCCC CC mn mnnCC 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC求證求證:思考2 1.當(dāng)n10時常用楊輝三角處理二項式系數(shù)問題; 2.利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項式系數(shù)的對稱性、增減性和最大值; 3.常用賦值法解決二項式系數(shù)問題.課本第43頁 A組 8題B組第2題課后作業(yè)課后作業(yè)敬請指導(dǎo)敬請指導(dǎo)