新編數(shù)學人教A版必修4 第二章　平面向量 單元測試 含解析

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1、新編人教版精品教學資料 (時間：100分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列說法正確的是(　　) A．若a∥b，則a與b方向相同或相反 B．零向量是0 C．長度相等的向量叫做相等的向量 D．共線向量是在同一條直線上的向量 解析：選B.對A，a與b若其中一個為0，不合題意，錯誤．對B，零向量是0，正確；對C，方向相同且長度相等的向量叫做相等向量，錯誤；對D，共線向量所在直線可能平行，也可能重合，錯誤．故選B. 2．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋λb

2、與b垂直，則λ的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選D.∵a＝(3,4)，b＝(2，－1)， ∴a·b＝2，|b|＝.若a＋λb與b垂直， 則(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝2＋5λ＝0. ∴λ＝－，故選D. 3．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，則頂點D的坐標為(　　) A．(2，) B．(2，－) C．(3,2) D．(1,3) 解析：選A.設點D(m，n)， 則由題意知，(4,3)＝2(m，n－2)， ∴解得m＝2，n＝，∴D(2，)，故選A. 4．設非零向量a，b，c滿足|a|＝|b|

3、＝|c|，a＋b＝c，則向量a，b的夾角為(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 解析：選B.設向量a，b的夾角為θ， ∵a＋b＝c，∴(a＋b)2＝c2，a2＋b2＋2a·b＝c2， ∴|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ＝|c|2. ∵|a|＝|b|＝|c|，∴cos θ＝－，∴θ＝120°. 5．設a，b是非零向量，若函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的圖象是一條直線，則必有(　　) A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|(zhì)b| 解析：選A.f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)＝－a·bx2＋(a2

4、－b2)x＋a·b， 若函數(shù)f(x)的圖象是一條直線，那么其二次項系數(shù)為0， ∴a·b＝0，∴a⊥b，故選A. 6．設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，如果2＝16，|＋|＝|－|，那么||等于(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 解析：選C.∵2＝16，∴||＝4. 又∵|－|＝||＝4，∴|＋|＝4. ∵M為BC的中點，∴＝(＋)． ∴||＝|＋|＝2. 7．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，則向量b在向量a方向上的投影是(　　) A．－ B．－1 C. D．1 解析：選B.由投影的定義可知，向量b在向量a方向上

5、的投影是|b|cos θ(θ為a與b夾角)． 由|2a＋b|＝2得4|a|2＋4a·b＋|b|2＝4. ∵|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝－1，即|b|cos θ＝－1. 8．在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝60°，AD是邊BC上的高，則·的值等于(　　) A．－ B. C. D．9 解析：選C.分別以BC，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系， 根據(jù)已知條件可求得以下幾點坐標：A(0，)，D(0,0)，C(，0)， ∴＝(0，－)，＝(，－)， ∴·＝.故選C. 9．在△ABC中，N是AC邊上一點，且＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則

6、實數(shù)m的值為(　　) A. B. C．1 D．3 解析：選B.如圖，因為＝， ＝m＋＝m＋×3＝m＋， 又B，P，N三點共線，所以m＋＝1，則m＝. 10．已知A，B，C是銳角△ABC的三個內(nèi)角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cos B)，則p與q的夾角是(　　) A．銳角 B．鈍角 C．直角 D．不確定 解析：選A.∵△ABC為銳角三角形， ∴A＋B＞，∴A＞－B，且A，B∈(0，)， ∴sin A＞sin(－B)＝cos B， ∴p·q＝sin A－cos B＞0，故〈p，q〉為銳角． 二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分

7、．把答案填在題中橫線上) 11．已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 解析：因為|2a－b|＝，所以|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3. 答案：3 12．設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________． 解析：設a＝(x，y)，x＜0，y＜0，則x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)． 答案：(－4，－2) 13．已知直角坐標平面內(nèi)的兩個向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3

8、)，使平面內(nèi)的任意一個向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，則m的取值范圍是________． 解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb，∴a與b不共線，即2m－3≠3m.∴m≠－3. 答案：{m|m∈R，m≠－3} 14．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，則λ的值為________． 解析：由題意可得·＝||·||cos 120°＝2×2×(－)＝－2，在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝(＋)·(＋)＝＋－2(1＋)＝1，解得λ＝2. 答案：2 15．已知|a|＝|b|＝2，且

9、a與b的夾角為60°，若a＋b與a的夾角為α，a－b與a的夾角為β，則α＋β＝________. 解析：如圖，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°， 以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a，因為|a|＝|b|＝2，且∠AOB＝60°， 所以△OAB為正三角形，∠OAB＝60°＝∠ABC， 即a－b與a的夾角β＝60°. 因為|a|＝|b|，所以平行四邊形OACB為菱形， 所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°， 即a＋b與a的夾角α＝30°，所以α＋β＝90°. 答案：90° 三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分．

10、解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16．已知點A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求點C，D的坐標和的坐標． 解：設點C，D的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由題意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)． 因為＝，＝－， 所以有和 解得和 所以點C，D的坐標分別是(0,4)，(－2,0)，從而＝(－2，－4)． 17．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|. 解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴

11、4a2－4a·b－3b2＝61， 即64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. 設向量a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－. ∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝120°. (2)|a＋b|＝＝＝， |a－b|＝＝＝. 18．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長； (2)設實數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值． 解：(1)＝(3,5)，＝(－1,1)， 求兩條對角線的長，即求|＋|與|－|的大?。? 由＋＝(2,6)，得|＋|＝2. 由－＝(4,4)，得|－|＝4.

12、∴兩條對角線的長分別為2，4. (2)＝(－2，－1)，∵(－t)·＝·－t2， 易求·＝－11，2＝5， ∴由(－t)·＝0，得t＝－. 19．在四邊形ABCD中，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)． (1)若∥，求x與y的關(guān)系式； (2)若又有⊥，求x，y的值以及四邊形ABCD的面積． 解：(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)， ∴＝－＝(－x－4,2－y)． 又∵∥，＝(x，y)， ∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0. (2)＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)． ∵⊥，∴·＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3

13、)＝0， ∴y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1. 當y＝3時，x＝－6，于是＝(－6,3)，＝(0,4)，＝(－8,0)． ∴||＝4，||＝8， ∴S四邊形ABCD＝||||＝16. 當y＝－1時，x＝2，于是有＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)． ||＝8，||＝4，S四邊形ABCD＝16. 綜上可知或S四邊形ABCD＝16. 20．已知三角形ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，D是BC邊的中點，BE⊥AD，延長BE交AC于點F，連接DF.求證：∠ADB＝∠FDC.(用向量方法證明) 證明：如圖所示，建立直角坐標系，設A(2,0)，C(0,2)，則D(0,1)． 于是＝(－2,1)，＝(－2,2)． 設F(x，y)，由⊥，得·＝0， 即(x，y)·(－2,1)＝0， ∴－2x＋y＝0.?、? 又F點在AC上，則∥，而＝(－x,2－y)， 因此2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2.② 由①、②式解得x＝，y＝， ∴F(，)，＝(，)，＝(0,1)，·＝， 又·＝||||cos θ＝cos θ， ∴cos θ＝，即cos∠FDC＝. 又cos∠ADB＝＝＝， ∴cos∠ADB＝cos∠FDC＝，故∠ADB＝∠FDC.