高等數(shù)學備課教案：第五章 定積分 第二節(jié)定積分的性質

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1、第二節(jié) 定積分的性質 分布圖示 ★ 性質1-4 ★ 性質5及其推論 ★ 例1 ★ 性質6 ★ 例2 ★ 例3 ★ 性質7 ★ 例4 ★ 例5 ★ 函數(shù)的平均值 ★ 例6 ★ 內容小結 ★ 課堂練習 ★ 習題5-2 ★ 返回 內容要點 兩點補充規(guī)定：(a) 當時, (b) 當時, . 性質1 性質2 (k為常數(shù)). 性質3 . 性質4 性質5 若在區(qū)間上有 則 推論1 若在區(qū)間上 則 推論2 性質6 (估值定理)設M及m分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值,則 性質7 (

2、定積分中值定理) 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上至少存在一個點, 使 例題選講 例1 (E01) 比較積分值和的大小. 解 令 于是 例2 估計積分的值. 解 因為所以 ，于是 例3 (E02) 估計積分的值. 解 ， 在上單調下降，故區(qū)間端點即為極值點. 例4 (E03) 求函數(shù)在上的平均值及在該區(qū)間上恰取這個值的點. 解 在上的平均值 =. 當，得到，即函數(shù)在處的值等于它在上的平均值. 注意到底為[0,3]、高等于5/2（的平均值）的矩形的面積等于與兩坐標軸以及圍成的三角形的面積. 例5 (E04) 設可導,且 求 解 由積分中值定理知有使 例6 計算純電阻電路中正弦交流電在一個周期上的功率的平均值(簡稱平均功率). 解 設電阻為,設電阻為功率為 一個周期區(qū)間上的平均功率為 即：純電阻電路中正弦交流電的平均功率等于電流、電壓的峰值的乘積的二分之一. 課堂練習 1.證明不等式; 2.求極限.