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1、第五節(jié) 廣義積分
我們前面介紹的定積分有兩個最基本的約束條件：積分區(qū)間的有限性和被積函數(shù)的有界性. 但在某些實(shí)際問題中,常常需要突破這些約束條件. 因此在定積分的計(jì)算中,我們也要研究無窮區(qū)間上的積分和無界函數(shù)的積分. 這兩類積分通稱為廣義積分或反常積分,相應(yīng)地,前面的定積分則稱為常義積分或正常積分.
分布圖示
★ 無窮限的廣義積分
★ 無窮限的廣義積分幾何解釋
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6
★ 無界函數(shù)的廣義積分
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 例11 ★ 例12 ★ 例13
★ 內(nèi)容小結(jié)
2、 ★ 課堂練習(xí)
★ 習(xí)題5-5
★ 返回
內(nèi)容要點(diǎn)
一、無窮限的廣義積分
二、無界函數(shù)的廣義積分
例題選講
無窮限的廣義積分
例1 (E01) 計(jì)算廣義積分.
解 對任意的有
于是
因此 或
例2 (E02) 判斷廣義積分的斂散性.
解 對任意
因?yàn)椴淮嬖?，故由定義知無窮積分發(fā)散.
例3 (E03) 計(jì)算廣義積分.
解
例4 計(jì)算廣義積分
解 原式
例5 (E04) 計(jì)算廣義積分(p是常數(shù), 且時收斂).
解
注: 其中不定式
例6
3、 (E05) 討論廣義積分的斂散性.
證
因此，當(dāng)時，題設(shè)廣義積分收斂，其值為當(dāng)時，題設(shè)廣義積分發(fā)散.
無界函數(shù)的廣義積分
例7 (E06) 計(jì)算廣義積分
解 原式
例8 (E07) 計(jì)算廣義積分 .
解
故題設(shè)廣義積分發(fā)散.
例9 (E08) 討論廣義積分的斂散性.
證
因此，當(dāng)時，廣義積分收斂，其值為 當(dāng)時，廣義積分發(fā)散.
例10 計(jì)算廣義積分瑕點(diǎn).
解
，
例11 計(jì)算廣義積分
解 此題為混合型廣義積分，積分上限為下限為被積函數(shù)的瑕點(diǎn).
令則時，時，于是
再令取時時于是
注: 本題若采用變換等，計(jì)算會更簡單,請讀者自行解之.
例12 (E09) 計(jì)算廣義積分.
解 被積函數(shù)有兩個可疑的瑕點(diǎn):和
因?yàn)樗? 是被積函數(shù)的唯一瑕點(diǎn).從而
例13 計(jì)算
解 分母的階數(shù)較高，可利用到代換，令則
再令則
課堂練習(xí)
1. 計(jì)算廣義積分;
2. 判斷廣義積分的瑕點(diǎn).
高等數(shù)學(xué)備課教案：第五章 定積分 第五節(jié)廣義積分
