第三章謂詞演算基礎

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1、第三章 謂詞演算基礎3.1 謂詞與個體謂詞與個體3.2 函數與量詞函數與量詞 3.2.1 函數項函數項 3.2.2 量詞量詞3.3 自由變元和約束變元自由變元和約束變元 3.4 永真性和可滿足性永真性和可滿足性3.5 唯一性量詞與摹狀詞唯一性量詞與摹狀詞 項的概念項的概念例例 考察謂詞考察謂詞 WRITE(x,y)表示表示x 寫了寫了y uWRITE(Shakespeare，Hamlet)uWRITE(Shakespeare，y)uWRITE(son(Shakespeare)，Hamlet) 莎士比亞的兒子寫了哈姆雷特莎士比亞的兒子寫了哈姆雷特變量符號函數！實體函數項函數項約定用約定用f，g，

2、h等表示抽象的函數項。等表示抽象的函數項。以個體為定義域、以個體為值域的函數以個體為定義域、以個體為值域的函數包括實體、變量符號和函數符號包括實體、變量符號和函數符號項項例例 Johns mother is married to his father解：解： 記記 M(e1，e2) 表示表示e1 is married to e2； f(e) 表示表示e的的father； m(e) 表示表示e的的mother。 則原話可以翻譯為：則原話可以翻譯為：M(m(John)，f(John) 3.2.2 量詞量詞l 計算機學院學生都是江蘇人。計算機學院學生都是江蘇人。l 計算機學院學生有江蘇人。計算機學院

3、學生有江蘇人。l 計算機學院教師都有學士學位。計算機學院教師都有學士學位。l 計算機學院有些教師沒有學士學位。計算機學院有些教師沒有學士學位。 所有人所有人 有一些有一些 計算機系人（包括教師與學生）計算機系人（包括教師與學生）全總個體域、全總個體域、量詞量詞(1) 約定變量符號即個體變元約定變量符號即個體變元x取值于全總個體域取值于全總個體域U；(2) 用謂詞來限定用謂詞來限定x的取值范圍；的取值范圍；(3) 引進引進 全稱量詞全稱量詞 x “所有的所有的x”、“一切一切x”等概念等概念 存在量詞存在量詞 x “存在一些存在一些x”、“有一些有一些x”等概念等概念(4) 規(guī)定一般情況下規(guī)定一

4、般情況下緊跟在全稱量詞緊跟在全稱量詞 x之后的主聯(lián)結詞為之后的主聯(lián)結詞為“”，緊跟在存在量詞緊跟在存在量詞 x之后的主聯(lián)結詞為之后的主聯(lián)結詞為“ ”。例例 計算機學院的有些老師是青年教師計算機學院的有些老師是青年教師解：解：設設 C(e)表示表示e為計算機學院的人；為計算機學院的人； T(e)表示表示e為教師為教師; Y(e)表示表示e為青年為青年.則原句譯為：則原句譯為： x(C(x) T(x) Y(x)此例中：此例中：x就取值于全總個體域就取值于全總個體域U， 謂詞謂詞C(x)限定限定x取值范圍。取值范圍。例例 個體域個體域I為為人類集合人類集合,將下列命題符號化將下列命題符號化: (1)

5、 凡人都呼吸。凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手寫字。有的人用左手寫字。 解解 (1) (1) 令令F(x):xF(x):x呼吸呼吸. . 則可以翻譯為則可以翻譯為 x xF(x)F(x)解解 (2) (2) 令令G(x):xG(x):x用左手寫字用左手寫字. . 則可以翻譯為則可以翻譯為 x xG(x)G(x) 例例 個體域個體域I為全總個體域為全總個體域,將下列命題符號化將下列命題符號化: (1) 凡人都呼吸。凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手寫字。有的人用左手寫字。 解解 (1) (1) 令令F(x):xF(x):x呼吸呼吸; ; P(x): x P(x): x為人為人. . 則可以翻譯

6、為則可以翻譯為 x x(P(x)(P(x)F(x)F(x)解解 (2) (2) 令令G(x):xG(x):x用左手寫字用左手寫字; ; P(x): x P(x): x為人為人. . 則可以翻譯為則可以翻譯為 x x(P(x)(P(x) G(x)G(x) x x(P(x)(P(x) F(x)F(x) x x (P(x) (P(x) G(x)G(x) ?例例1 某些人對某些食物過敏。某些人對某些食物過敏。解：設解：設 A(e)表示表示e為人；為人； B(e)表示表示e為食物；為食物； C(e1，e2)表示表示e1對對e2過敏。過敏。 則原句譯為：則原句譯為： x(A(x) y(B(y) C(x，y

7、) )例 試把下列語句翻譯為謂詞演算公式 （1）所有蜜蜂均喜歡所有的花粉； (10級期末，3分） 解解 記記 B(e)表示表示e為蜂蜜；為蜂蜜； P(e)表示表示e為花粉；為花粉； L(e1,e2)表示表示e1喜歡喜歡e2。 原話可以翻譯為：原話可以翻譯為： x (B(x) y(P(y) L(x，y)例 試把下列語句翻譯為謂詞演算公式 （1）并非并非“人不為己，天誅地滅人不為己，天誅地滅”； (06級期末，3分） 解解(1): 設設 P(e)表示表示e為人；為人； A(e1，e2)表示表示e1為為e2； B(e1，e2)表示表示e1誅誅e2； C(e1，e2)表示表示e1滅滅e2； a表示天；

8、表示天； b表示地。表示地。 則原句譯為：則原句譯為： x(P(x) A(x，x)(B(a，x) C(b，x)例 試把下列語句翻譯為謂詞演算公式 （2）有些學生喜歡所有的老師有些學生喜歡所有的老師 。 (06級期末，3分） 解解(2): 設設 S(e)表示表示e為學生；為學生；T(e)表示表示e為老師為老師; L(e1，e2)表示表示e1喜歡喜歡e2。 則原句可以譯為則原句可以譯為:x(S(x)y(T(y) L(x,y)例 試把下列語句翻譯為謂詞演算公式(3)凡是對頂角一定相等。凡是對頂角一定相等。 (05級期末，2分） 解解(3): 設設 A(e1,e2)表示表示e1與與e2為對頂角；為對頂

9、角；E(e1，e2)表示表示e1=e2。 則原句可以譯為則原句可以譯為: x y(A(x,y) E(x,y) 或或 x y(A(x,y) (x=y)例例2 金子閃光，但閃光的并非全是金子。金子閃光，但閃光的并非全是金子。解：設解：設 G(e)表示表示e為金子；為金子； S(e)表示表示e閃光。閃光。 則原句譯為：則原句譯為： x(G(x) S(x) x(S(x) G(x) 或或 x(G(x) S(x) x(S(x) G(x)例例4 并非并非“人不為己，天誅地滅人不為己，天誅地滅”。解：設解：設P(e)表示表示e為人；為人； A(e1，e2)表示表示e1為為e2； B(e1，e2)表示表示e1誅

10、誅e2； C(e1，e2)表示表示e1滅滅e2； a表示天；表示天； b表示地；表示地； 則原句譯為：則原句譯為： x( (P(x)A(x,x)(B(a,x) C(b,x) )例5 任何人均會犯錯誤。任何人均會犯錯誤。解：設解：設 P(e)表示表示e為人；為人； M(e)表示表示e為錯誤；為錯誤； D(e1，e2)表示表示e1犯犯e2。 則原句譯為：則原句譯為： x( P(x) y(M(y) D(x，y) )例例6 己所不欲勿施于人。己所不欲勿施于人。解：設解：設 P(e)表示表示e為人；為人； T(e)表示表示e為東西；為東西； W(e1，e2)表示表示e1要要e2； S(e1，e2，e3)

11、表示表示e1施施e2給給e3。 則原句譯為：則原句譯為： x y( (P(x) T(y)W(x,y) z(P(z)S(x,y,z) ) 例例 所有的正數均可開方。所有的正數均可開方。解：解：(i) 若個體域為全體正實數若個體域為全體正實數R+，S(X)：X可以開方，可以開方， 則命題符號化為：則命題符號化為： xS(x)(ii) 若個體域為全體實數集若個體域為全體實數集R，G(x，y)：xy， 則命題符號化為：則命題符號化為： x(G(x，0) S(x)(iii) 若若D為全總個體域為全總個體域, R(x):x是實數，則符號化為：是實數，則符號化為： x(R(x)G(x，0) S(x) 例例

12、沒有最大的自然數沒有最大的自然數 。解：這句話可以理解為解：這句話可以理解為“對所有對所有x，若，若x是自然是自然數，則存在數，則存在y，y也是自然數，且也是自然數，且yx”。 引入引入N(x):x是自然數，是自然數，G(x,y):xy, 則符號化為：則符號化為： x(N(x)y(N(y) G(y,x) 也可以理解為也可以理解為“下句話是不對的下句話是不對的存在一存在一個個x，x是自然數且對一切自然數是自然數且對一切自然數y，x均大均大于于y”，符號化為，符號化為x(N(x) y(N(y)G(x,y)例例 沒有最大的自然數沒有最大的自然數 。解解2： 設設B(x):x是最大的，是最大的， N(x):x是自然數。是自然數。 則命題可以表示為：則命題可以表示為： x(B(x)N(x)典型錯誤 量詞后的主聯(lián)結詞錯誤 將集合名詞簡單化為常個體. 例如,“人”是集合名詞 謂詞中含有聯(lián)結詞 引入謂詞來限定常個體. 例如,“我”是常個體第三章 謂詞演算基礎3.1 謂詞與個體謂詞與個體3.2 函數與量詞函數與量詞 3.2.1 函數項函數項 3.2.2 量詞量詞3.3 自由變元和約束變元自由變元和約束變元 3.4 永真性和可滿足性永真性和可滿足性3.5 唯一性量詞與摹狀詞唯一性量詞與摹狀詞