8、B|≤|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8，
當弦AB過焦點F(1，0)時取得最大值8. 故選C.
12．在棱長為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中點，點P是正方形DCC1D1面內(nèi)(包括邊界)的動點，且滿足∠APD＝∠MPC，則三棱錐P－BCD的體積最大值是(D)
A．36 B．24 C．18 D．12
【解析】易知△APD∽△MPC，則＝＝2，欲使三棱錐P－BCD的體積最大，只需高最大，通過坐標法得到動點P運動軌跡(一段圓弧)，進而判斷高的最大值2，所以(VP－BCD)max＝××2＝12.
二、填空題，本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知
9、x∈R，復數(shù)z1＝1＋xi，z2＝2＋i，若為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為__－2__．
【解析】＝＝＝＋i為純虛數(shù)，則＝0，即x＝－2.
14. M、N分別為雙曲線－＝1左、右支上的點，設(shè)v是平行于x軸的單位向量，則 的最小值為__6__．
【解析】由向量數(shù)量積的定義，·v即向量在向量v上的投影與v模長的乘積，故求的最小值，即求在x軸上的投影的絕對值的最小值，由雙曲線的圖像可知的最小值為6.
15．某單位周一至周五要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值一天班，則甲連續(xù)值兩天班的概率為____．
【解析】記甲連續(xù)值2天班為事件A，每人至少值一天班記為事件B.
則m(A)＝4A＝24，m
10、(B)＝CA＝240，則P(A＋B)＝＝.
16．已知函數(shù)f(x)＝，關(guān)于x的不等式f2(x)－af(x)>0只有2個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是____．
【解析】作出函數(shù)f(x)的圖像：
①若a>0，由f2(x)－af(x)>0，可得f(x)<0或f(x)>a，顯然f(x)<0沒有整數(shù)解，則f(x)>a有2個整數(shù)解，由圖可知：≤a0，可得f(x)<－a或f(x)>0，顯然f(x)<－a沒有整數(shù)解，而f(x)>0有無數(shù)多個整數(shù)解，不符題意，舍去；
③若a＝0，由f2(x)－af(x)>0，可得f(x)≠0，有無數(shù)多個整數(shù)解，不
11、符題意，舍去．
綜上可知：a∈.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
(一)必考題：60分．
17．(本小題滿分12分)
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝(λ＋1)Sn＋1(n∈N*，λ≠－2)，且3a1，4a2，a3＋13成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn＝log4an＋1，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：Tn<.
【解析】(1)因為an＋1＝(λ＋1)Sn＋1，①
所以當n≥2時，an
12、＝(λ＋1)Sn－1＋1，②
由①－②得an＋1－an＝(λ＋1)an，即an＋1＝(λ＋2)an(n≥2)，2分
又因為λ≠－2，且a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，λ＋2為公比的等比數(shù)列，
故a2＝λ＋2，a3＝，
由題知8a2＝3a1＋a3＋13，所以8＝＋16，
整理得λ2－4λ＋4＝0，解得λ＝2，4分
所以an＝4n－1.6分
(2)因為anbn＝log4an＋1，即4n－1·bn＝log44n，
所以bn＝，8分
則Tn＝1＋＋＋…＋＋ ，③
Tn＝＋＋…＋＋，④
③－④得Tn＝1＋＋＋…＋－＝－，
Tn＝－，11分
又n∈N*，所以Tn<.12分
13、
18．(本小題滿分12分)
如圖，α∩β＝l，二面角α－l－β的大小為θ，A∈α，B∈β，點A在直線l上的射影為A1，點B在l上的射影為B1.已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝.
(1)若θ＝120°，求直線AB與平面β所成角的正弦值；
(2)若θ＝90°，求二面角A1－AB－B1的余弦值．
【解析】 (1)如圖， 過點A作平面β的垂線交于點G，連接GB、GA1，
因為AG⊥β. 則∠ABG是AB與β所成的角．
Rt△GA1A中， GA1A＝60°，AA1＝1, ∴AG＝.
Rt△AGB中，AB＝2，AG＝， sin∠ABG＝，
故AB與平面β所成的角的正弦值為
14、. 5分
(2) 解法一：∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α.在平面α內(nèi)過A1作A1E⊥AB1交AB1于E，則A1E⊥平面AB1B.過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB1中，∠BAB1＝45°，∴AB1＝B1B＝. ∴Rt△AA1B中，A1B＝＝＝. 由AA1·A1B＝A1F·AB得 A1F＝＝＝，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE＝＝，
∴二面角A1－AB－B1的余弦值為cos θ＝＝.12分
解法二： 如圖，建立坐標系， 則A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(
15、，1，0)．在AB上取一點F(x，y，z)，則存在t∈R，使得＝t， 即(x，y，z－1)＝t(，1，－1), ∴點F的坐標為(t, t，1－t)．要使⊥，須·＝0, 即(t, t，1－t) ·(，1，－1)＝0, 2t＋t－(1－t)＝0，解得t＝， ∴點F的坐標為， ∴＝. 設(shè)E為AB1的中點，則點E的坐標為. ∴＝.
又·＝·(，1，－1)＝ － － ＝0, ∴⊥， ∴∠A1FE為所求二面角的平面角．
又cos∠A1FE＝＝＝＝＝，
∴二面角A1－AB－B1的余弦值為.12分
19．(本小題滿分12分)
某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值來衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量
16、指標值為k，當k≥85時，產(chǎn)品為一級品；當75≤k<85時，產(chǎn)品為二級品，當70≤k<75時，產(chǎn)品為三級品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做實驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，得到下面的試驗結(jié)果：(以下均視頻率為概率)
A配方的頻數(shù)分配表：
指標值分組
頻數(shù)
10
30
40
20
B配方的頻數(shù)分配表：
指標值分組
頻數(shù)
5
15
25
30
25
(1)若從B配方產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件，記“抽出的B配方產(chǎn)品中至少1件二級品”為事件C，求事件C發(fā)生的概率P(C)；
(2)若兩種新產(chǎn)品的
17、利潤率y與質(zhì)量指標k滿足如下關(guān)系：y＝其中0
18、所以從長期來看，投資A配方產(chǎn)品的平均利潤率較大12分．
20. (本小題滿分12分)
如圖，已知圓E：(x＋1)2＋y2＝8，點F(1，0)，P是圓E上任意一點，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.
(1)求動點Q的軌跡Г上的方程；
(2)已知A，B，C是軌跡Г上的三個動點，點A在一象限，B與A關(guān)于原點對稱，且|CA|＝|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相應(yīng)直線AB的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)∵Q在線段PF的垂直平分線上，
∴|QP|＝|QF|，
得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝2，
又|EF|＝2＜2
19、，∴Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為2的橢圓，
∴Г的方程為＋y2＝1. 5分
(2)由點A在第一象限，B與A關(guān)于原點對稱，設(shè)直線AB的方程為y＝kx(k＞0)，
∵|CA|＝|CB|，
∴C在AB的垂直平分線上，
∴直線OC的方程為y＝－x.
由(1＋2k2)x2＝2，|AB|＝2|OA|＝2＝2，7分
同理可得|OC|＝，
S△ABC＝|AB|×|OC|＝，9分
方法1：設(shè)t＝k2＋1≥1，則k2＝t－1，
故S△ABC＝＝＝，
由二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)可求得當t＝2，即k＝1時，S△ABC有最小值為.12分
方法2：
∵(1＋2k2)(k2＋2)≤＝，
∴S
20、△ABC＝≥＝，
當且僅當1＋2k2＝k2＋2，即k＝1時取等號．
∴S△ABC≥.
綜上，當直線AB的方程為y＝x時，△ABC的面積有最小值.12分
21．(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)＝ax＋2aln x，a∈R＋，g(x)＝ex－1＋aln x＋x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線經(jīng)過(0，－2)，證明：f(x)≤g(x)－1；
(2)若函數(shù)y＝f(x)與y＝2g(x)－ln x的圖像有且僅有一個公共點P(x0，y0)，證明：x0<.
【解析】(1)f′(x)＝a＋，k＝f′(1)＝3a，
又k＝，由3a＝a＋2得a
21、＝1，2分
令F(x)＝g(x)－f(x)＝ex－1－ln x(x>0)，則F′(x)＝ex－1－，3分
當x∈(0，1)時F′(x)<0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞減，
當x∈(1，＋∞)時F′(x)>0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增，
故函數(shù)F(x)的最小值為F(1)＝1，即f(x)≤g(x)－1.5分
(2)G(x)＝2g(x)－ln x－f(x)＝2ex－1－ln x＋2x－ax，由題意函數(shù)G(x)有且僅有一個零點，因為G′(x)＝2ex－1－＋2－a，G′′(x)＝2ex－1＋>0，7分
則G′(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，且其值域為R，故G′(x)在(0，＋∞)上有唯一的零點，設(shè)為t
22、，
則當x∈(0，t)時G′(x)<0，則G(x)單調(diào)遞減，
當x∈(t，＋∞)時G′(x)>0，則G(x)單調(diào)遞增，
從而函數(shù)G(x)在x＝t處取得最小值，
又函數(shù)G(x)有唯一零點x0，則必有t＝x0，9分
所以：
消去a整理得：(2－2x0)ex0－1＋1－ln x0＝0，
令H(x)＝2(1－x)ex－1＋1－ln x，顯然x0為其零點，
而H′(x)＝－x<0，故H(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
而H(1)＝1>0，H＝1－e－ln <0，所以H(x)在內(nèi)有且僅有一個零點，
在內(nèi)無零點，
即x0<.12分
(二)選考題：共10分．請考生在22、23兩題中任
23、選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．
22．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos.
(1)分別寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
(2)已知點P(2，－1)，直線l與曲線C相交于M，N兩點，若＝6·，求直線l的斜率．
【解析】(1)將(t為參數(shù))消去參數(shù)t可得y＋1＝tan α(x－2)，
∴直線l的普通方程為y－tan αx＋2tan α＋1＝0.2分
由ρ＝2cos，得ρ2＝2ρ(cos θ－sin θ)，將ρ2＝x2＋y2，
24、ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)代入上式，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
∴曲線C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.5分
(2)將代入(x－1)2＋(y＋1)2＝2中，
整理得t2＋2cos α·t－1＝0，設(shè)M，N兩點對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，
則t1＋t2＝－2cos α，t1·t2＝－1，7分
因為＝6·，所以(t1－t2)2＝6＝－6t1·t2，
所以(t1＋t2)2＋2t1·t2＝0，即4cos2α－2＝0，cos α＝，α＝，tan α＝1，
所以直線l的斜率為1. 10分
23．(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講
已知函數(shù)f(x)＝|x|＋|x＋a|.
(1)若存在x使得不等式f(x)≤3a－1成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若不等式f(x)≤3a－1的解集為，求實數(shù)a，b的值．
【解析】(1)對x∈R，f(x)＝|x|＋|x＋a|≥|x－(x＋a)|＝|a|，2分
當且僅當x(x＋a)≤0時取等號，故原條件等價于≤3a－1，即－3a＋1≤a≤3a－1，解得a≥，
故實數(shù)a的取值范圍是.5分
(2)由(1)知實數(shù)a的取值范圍是， 故－a<0，
故f(x)＝的圖象如圖所示，8分
由圖可知10分
2019年湖南師大附中高三第二次月考試題 理科數(shù)學（解析版）
