談《簡(jiǎn)易邏輯》中的命題的否定

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1、談《簡(jiǎn)易邏輯》中的命題的否定 作者：ZZ 文章來源：ZZ 點(diǎn)擊數(shù)：1390 更新時(shí)間：2005-6-16 數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)處處涉及命題之間的邏輯的關(guān)系和推理論證?！度罩破胀ǜ呒?jí)中學(xué)教科書（試驗(yàn)本）數(shù)學(xué)》的新教材第一冊(cè)（上）的第一章新增“簡(jiǎn)易邏輯”內(nèi)容，介紹一些簡(jiǎn)單而又實(shí)用的邏輯知識(shí)，本意是讓學(xué)生弄清命題之間的邏輯關(guān)系，自覺地使用邏輯規(guī)則，避免一些易犯的錯(cuò)誤，從而增強(qiáng)判斷是非能力和推理能力，提高數(shù)學(xué)思維能力。 　　 由于新增內(nèi)容，對(duì)于高一新生來說是較為抽象，在理解上尚一定難度，加之資料書上對(duì)這方面談得少，且我們?cè)诰€教師不熟悉，

2、知識(shí)上存在一定缺陷。至此本人根據(jù)自已參與新教材的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾蝸順?gòu)造比較合理的命題的否定，供師生們參考。 　　 首先我們要理解好命題否定“非”的認(rèn)識(shí)?！胺恰泵}是對(duì)原命題結(jié)論的否定。一個(gè)命題p經(jīng)過使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”，就構(gòu)成一個(gè)復(fù)合命題“非p”（記作“┓P”）稱為命題的否定?！胺荘”叫做命題P的非命題，也叫做命題P的否定?！胺荘”形式的復(fù)合命題的真值與原命題P的真值為一真一假，一假一真，構(gòu)成一對(duì)矛盾命題。但“非P”絕不是“是”與“不是”的簡(jiǎn)單演譯。 《簡(jiǎn)易邏輯》一節(jié)中涉及到命題的否定無外乎下面幾種類型：?jiǎn)畏Q命題的否定即簡(jiǎn)單命題的否定，存在性命題的否定，全稱性命題的否定，復(fù)合命題

3、“P且q”、“P或q”的否定。下面一一試述： 1 簡(jiǎn)單命題的否定 在邏輯聯(lián)結(jié)詞中的最簡(jiǎn)單命題形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一個(gè)特定對(duì)象。 　　 例1 寫出下列命題的否定。 　　 （1） 是有理數(shù)。 　　 （2） 菱形的對(duì)角線互相垂直。 　　 （3） N {x R︱x＞–2}. 　　 （4） 方程 =1沒有實(shí)數(shù)根。 　　 解:（1）的否定： 不是有理數(shù)。 或者是并非 是有理數(shù)。 　　 （2）的否定：菱形的對(duì)角線不互相垂直。 　　 （3）的否定：N {x R︱x＞–2}。 　　 （4）的否定：方程 =1有x

4、≠3的實(shí)數(shù)根。 2 復(fù)合命題“P且q”；“P或q”形式的否定。 　　 給定命題P、q，用聯(lián)結(jié)詞“且”來構(gòu)成的復(fù)合命題“P且q”叫做命題P、q的合取命題（也叫聯(lián)言命題）。記作P q.用聯(lián)結(jié)詞“或”來構(gòu)成的復(fù)合命題“P或q” 叫做命題P、q的析取命題（也叫選言命題）。記作P q。它的否定可以通過真值表來：(“1”表示真，“0”表示假) 　　 P q P q P q ┓(P q) ┓(P q) ┓P ┓q ┓P ┓q 　　 1 1 1 1 0 0 0 0 　　 1 0 0 1 1 0 0 1 　　 0 1 0 1 1 0 0 1 　　 0 0 0 0 1 1

5、1 1 　 從表可知：┓(P q)與 ┓P ┓q的真值相同；┓(P q)與 ┓P ┓q的真值相同，故它們分別是等價(jià)命題，因而我們認(rèn)為“P且q“的否定為：“非P或非q”；“P或q”的否定為“非P且非q”。用符號(hào)語言表示： 　　 ┓(P q)= ┓P ┓q ┓(P q)= ┓P ┓q 　　從而知命題“P q”和“P q”的否定：既否定命題P,q;又改變聯(lián)結(jié)詞。 　　 例2 寫出下列命題的否定。 　　 (1) a=±5。 　　 (2) f(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。 　　 (3) 5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)。 　　 (4) 2+2=5或3<2。 　　 (5

6、) AB∥CD 　　 (6) a,b都是0。 　　 解（1）的否定：a≠5且a≠–5。（原命題屬于P或q型） 　　 （2）的否定：f(x)不是奇函數(shù)或不是偶函數(shù)。（原命題屬于P且q型） 　　 （3）的否定：5不是10 的約數(shù)或5不是15的約數(shù)。 　　 （4）的否定：2+2≠5且3≥2。 　　 （5）的否定：AB∥CD或AB≠CD。 　　 （6）的否定：“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。 　　可見回應(yīng)了原命題與其否定命題是一對(duì)矛盾命題。 　　3 復(fù)合命題“若P則q”形式的否定。 　 “若P則q”（記作P q）型命題的否定實(shí)質(zhì)上較復(fù)雜，但在中學(xué)數(shù)學(xué)里

7、所研究的命題都是具有實(shí)質(zhì)性蘊(yùn)涵關(guān)系的命題，是具有真假性的命題，不能區(qū)分真假性的命題不作研究。 　 當(dāng)語句P和q能判斷其真假時(shí)就成為命題，那么“若P則q”就是邏輯中的蘊(yùn)涵關(guān)系，其否定形式不妨用真值表來解決。(用“1”表示真，“0”表示假) 　　 P q ┓q P q ┓P q ┓(P q) P (┓q) P (┓q) 　　 1 1 0 1 1 0 0 0 　　 1 0 1 0 0 1 1 1 　　 0 1 0 1 1 0 0 1 　　 0 0 1 1 1 0 0 1 　　從表可知，“若P則q”的否定命題真值性與命題“P且非q”相同，故是等價(jià)命題。我們就此認(rèn)為：命題”

8、若P則q”的否定為“P且非q”，且習(xí)慣表達(dá)為“雖然P，卻非q”的形式，或是“盡管P，然而非q”.用符號(hào)語言表示： 　　 ┓(P q)= P (┓q) 或 ┓(P q)= ┓（┓P q）= P (┓q) 　　例3 寫出下列命題的否定。 　?。?）若x2+y2=0， 則x, y全為0。 　?。?）若x=2或x=–1 則x2-x-2=0. 　?。?）若集合B真包含集合A，則集合A包含于集合B。 　　解：（1）的否定：雖然x2+y2=0，但是x和 y不全為0。 　　（2）的否定：雖然x=2或x=–1，但x2-x-2≠0.。 　?。?）的否定：盡管集合B真包含集合A，然而

9、集合A不包含于集合B。 　　但在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有些師生把例3的答案寫成：（1）若x2+y2=0，則x, y不全為0。（2）若x=2或x=–1，則x2-x-2≠0.是不對(duì)的。它誤把若P則q的否定命題認(rèn)為是“條件P不變，結(jié)論q否定，且聯(lián)結(jié)詞不變的命題”。即為┓(P q)= P (┓q)。實(shí)際上，原命題與否定命題應(yīng)屬于矛盾命題，而“若P則非q”與“若P則q”構(gòu)成對(duì)立關(guān)系的命題；另方面從真值表可知，當(dāng)P為假時(shí)，它們的真值都為真，故不可成為矛盾命題，因此┓(P q)≠P (┓q)例如“若2是奇數(shù)，則7是奇數(shù)”與“若2是奇數(shù)，則7不是奇數(shù)”都為真命題。希教學(xué)中切實(shí)注意它們的區(qū)別。 4 含量

10、詞命題的否定。 　 數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個(gè)”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個(gè)”、“至少有一個(gè)”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號(hào)分別記為“ ”與“ ”來表示）；由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。那么它的否定又怎么樣？ 　　一般地，全稱命題P： x A,有P（x）成立；其否定命題┓P為： x A, 　　使P（x）不成立。存在性命題P： x A,使P（x）成立; 其否定命題┓P為： x A,有P（x）不成立。用符號(hào)語言表示： 　　非（（ x）p(x)）=( x)非p(x) 非(( x)

11、p(x))=( x)非p(x) 　　在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 　　例4 寫出下列命題的否定。 　　 （1） 所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。 　　 （2） 任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根。 　　 （3） 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使x+y＞0. 　　 （4） 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。 　 解；（1）的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。 　　 （2）的否定：存在實(shí)數(shù)x不是方程5x-12=0的根。 　　 （

12、3）的否定：存在實(shí)數(shù)x,對(duì)所有實(shí)數(shù)y，有x+y≤0。 　　 （4）的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。 　　但解題中會(huì)遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡(jiǎn)化形式，如“若x＞3，則x2＞9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡(jiǎn)單命題處理；這種情形下時(shí)應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。 　　例5 寫出下列命題的否定。 　　 （1） 若x2＞4 則x＞2.。 　　 （2） 若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。 　　 （3） 可以被5整除的整數(shù)，末位是0.。 　　 （4） 被8整除的數(shù)能被4整除。 　　 （5） 若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等。 　　解（

13、1）的否定：存在實(shí)數(shù)x0，雖然滿足x02＞4但x0≤2.?；蛘哒f：存在小于或等于2的數(shù)x0，滿足x02＞4。（完整表達(dá)為對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, 若x2＞4 則x＞2） 　?。?）的否定：雖然實(shí)數(shù)m≥0,但存在一個(gè)x0，使x02+ x0-m=0無實(shí)數(shù)根。（原意表達(dá)：對(duì)任意實(shí)數(shù)m,若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。） 　?。?）的否定：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0.。 　　（4）的否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除) 　?。?）的否定：存在一個(gè)四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達(dá)為無論哪個(gè)四邊形

14、，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。） 　 由此看來，要準(zhǔn)確表達(dá)含量詞命題的否定，就要求我們掌握好一些詞語的否定如下表： 詞語 是 一定是 都是 大于 小于 且 　 詞語的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 詞語 必有一個(gè) 至少有n個(gè) 至多有一個(gè) 所有x成立 所有x不成立 詞語的否定 一個(gè)也沒有 至多有n-1個(gè) 至少有兩個(gè) 存在一個(gè)x不成立 存在有一個(gè)成立 5 命題的否定與否命題的區(qū)別。 　 命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：一，任何

15、命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對(duì)命題“若P則q”提出來的。二，命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。如下面真值表可知： 　　 P q ┓p ┓q” P q ┓p ┓q” 　　 1 1 0 0 1 1 　　 1 0 0 1 0 1 　　 0 1 1 0 1 0 　　 0 0 1 1 1 1 　　 三，原命題“若P則q” 的形式，它的否定命題在前面已講過；而它的否命題為“若非P，則非q”，（記為“若┓p，則┓q”）即是說既否定條件又否定結(jié)論。 　 例6 寫出下列命題的否

16、定命題與否命題。并判斷其真假性。 　?。?） 若x＞y,則5x＞5y。 　?。?） 若x2+x﹤2,則x2-x﹤2。 　?。?） 正方形的四條邊相等。 　?。?） 已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，則a2-4b≥0。 　　 解：（1）的否定： x,y(x＞y且5x≤5y)。 假命題 　　 否命題：V x,y（x≤y 5x≤5y）。 真命題 　　 （原命題為：V x,y（x＞y 5x＞5y）。真命題） 　　 （2）的否定： x（x2+x﹤2,且x2-x≥2）。真命題 　　 否命題：V x（x2+x≥2, x2-x≥2）。假命題 　　 （原

17、命題為：V x（x2+x﹤2, x2-x﹤2）。假命題） 　　 （3）的否定：存在一個(gè)四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等。假命題 　　 否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題 　　 （原命題是真命題 。 看例5（5）） 　　 （4）的否定：存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，但使a2-4b﹤0。假命題 　　 否命題：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0沒有非空實(shí)解集，則a2-4b﹤0。真命題 　　 （原命題為：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b, 若x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，則a2-4b≥0真命題） 在教學(xué)中，務(wù)必理清各類型命題形式結(jié)構(gòu)，性質(zhì)關(guān)系。才能真正準(zhǔn)確地完整地表達(dá)出命題的否定，才能避犯邏輯性錯(cuò)誤，才能更好把邏輯知識(shí)負(fù)載于其它知識(shí)之上，達(dá)到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。