（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 14個填空題專項強化練（十二）橢圓

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1、 14個填空題專項強化練(十二)　橢圓 A組——題型分類練 題型一　橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 1．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且PF1∶PF2＝4∶3，則△PF1F2的面積為________． 解析：因為PF1＋PF2＝14， 又PF1∶PF2＝4∶3， 所以PF1＝8，PF2＝6. 因為F1F2＝10，所以PF1⊥PF2. 所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝×8×6＝24. 答案：24 2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4，則橢圓C的方程為________．

2、 解析：由橢圓的定義知AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a， 又∵△AF1B的周長＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4，∴a＝. 又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2， ∴橢圓C的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 3．一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則橢圓方程為________________． 解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．由點(2，)在橢圓上，知＋＝1①.又PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則PF1＋PF2＝2F1F2，即2×2c＝2a，＝②，又c2＝a2－b2③，聯(lián)立①②③得a

3、2＝8，b2＝6. 故橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 題型二　橢圓的幾何性質(zhì) 1．橢圓＋＝1的離心率是________． 解析：根據(jù)題意知，a＝3，b＝2，則c＝＝， ∴橢圓的離心率e＝＝. 答案： 2．橢圓x2＋my2＝1的焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m＝________. 解析：由題意可得， ＝，所以m＝4. 答案：4 3．中心在坐標(biāo)原點的橢圓，焦點在x軸上，焦距為4，離心率為，則該橢圓的方程為______________． 解析：依題意，2c＝4，c＝2，又e＝＝，則a＝2，b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 答案：＋＝1 4．已知圓C1：x2＋

4、2cx＋y2＝0，圓C2：x2－2cx＋y2＝0，橢圓C：＋＝1(a>b>0)，若圓C1，C2都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的取值范圍是________． 解析：圓C1，C2都在橢圓內(nèi)等價于圓C2的右頂點(2c,0)，上頂點(c，c)在橢圓內(nèi)部， ∴只需?0<≤. 答案： 5．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為________． 解析：以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由原點到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝ ＝. 答案：

5、 題型三　橢圓的綜合問題 1．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在該橢圓上，且1·2＝0，則點M到y(tǒng)軸的距離為________． 解析：由題意，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．設(shè)M(x，y)，則1·2＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.① 又因為點M在橢圓上，故＋y2＝1， 即y2＝1－.② 將②代入①，得x2＝2，解得x＝±. 故點M到y(tǒng)軸的距離為. 答案： 2．設(shè)點P在圓C：x2＋(y－2)2＝1上移動，點Q在橢圓＋y2＝1上移動，則PQ的最大值是________． 解析：圓心C(0,2)，PQ≤PC＋CQ＝1＋CQ，于是只要求

6、CQ的最大值．設(shè)Q(x，y)， ∴CQ＝＝＝＝. ∵－1≤y≤1，∴當(dāng)y＝－時，CQmax＝＝， ∴PQmax＝1＋. 答案：1＋ 3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)及點B(0，a)，過B與橢圓相切的直線交x軸的負(fù)半軸于點A，F(xiàn)為橢圓的右焦點，則∠ABF＝________. 解析：法一：由題意知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y＝kx＋a(k>0)，與橢圓方程聯(lián)立得b2x2＋a2(kx＋a)2－a2b2＝0，即(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，從而y＝x＋a交x軸于A，又F(c,0)，易知·

7、＝0，故∠ABF＝90°. 法二：由橢圓性質(zhì)可知，過B且與橢圓相切的斜率為正的直線方程為y＝ex＋a(e為橢圓的離心率)，即切線斜率為e，∴tan ∠BAF＝＝e，又tan ∠OBF＝＝e，則∠BAF＝∠OBF，因而∠ABF＝90°. 答案：90° B組——高考提速練 1．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，則以A，B為焦點，且過C，D兩點的橢圓的短軸的長為________． 解析：依題意得AC＝5，所以橢圓的焦距為2c＝AB＝4，長軸長2a＝AC＋BC＝8，所以短軸長為2b＝2＝2＝4. 答案：4 2．已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓＋＝1(a>b>0)上的一點，若1·2＝0

8、，tan∠PF1F2＝，則此橢圓的離心率為________． 解析：因為1·2＝0，tan∠PF1F2＝，所以1⊥2，sin∠PF1F2＝，cos∠PF1F2＝.所以PF1＝c，PF2＝c，則PF1＋PF2＝c＝2a，所以e＝＝. 答案： 3．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個三等分點M，N與F構(gòu)成正三角形，則此橢圓的方程為________． 解析：由△FMN為正三角形，得c＝OF＝MN＝×b＝1.解得b＝，∴a2＝b2＋c2＝4.故橢圓的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 4．過橢圓＋＝1的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則△P

9、QF周長的最小值是________． 解析：設(shè)F為橢圓的左焦點，右焦點為F2， 根據(jù)橢圓的對稱性可知FQ＝PF2，OP＝OQ， 所以△PQF的周長為PF＋FQ＋PQ＝PF＋PF2＋2PO＝2a＋2PO＝10＋2PO， 易知2OP的最小值為橢圓的短軸長，即點P，Q為橢圓的上下頂點時，△PQF的周長取得最小值18. 答案：18 5．已知橢圓C：＋＝1的左、右頂點分別為M，N，點P在C上，且直線PN的斜率是－，則直線PM的斜率為________． 解析：設(shè)P(x0，y0)，則＋＝1，直線PM的斜率kPM＝，直線PN的斜率kPN＝，可得kPM·kPN＝＝－，故kPM＝－·＝3. 答案：

10、3 6．已知橢圓的對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是，則這個橢圓方程為________． 解析：由題意知解得 所以橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 答案：＋＝1或＋＝1 7．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點P(－5,4)，則橢圓的方程為________． 解析：設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，將點P(－5,4)代入得＋＝1. 又離心率e＝＝，即e2＝＝＝， 解得a2＝45，b2＝36，故橢圓的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 8．已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點F是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點，

11、若P，Q是橢圓與拋物線的公共點，且直線PQ經(jīng)過焦點F，則該橢圓的離心率為________． 解析：設(shè)點P在第一象限，由題意，p＝2c，P(，c)，即P(2c，c)，代入橢圓方程，可得＋＝1，整理可得e4－6e2＋1＝0，∵0＜e＜1，∴e＝－1. 答案：－1 9．已知動點P(x，y)在橢圓C：＋＝1上，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，若點M滿足||＝1且·＝0，則||的最小值為________． 解析：由題意可得·＝||2＝1，所以||＝|－|＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)點P在右頂點時取等號，所以||的最小值是. 答案： 10.如圖，已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點A(－a,0)作直線l交y軸于點

12、P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，則橢圓的離心率為________． 解析：法一：因為△AOP是等腰三角形，所以O(shè)A＝OP，故A(－a,0)，P(0，a)，又＝2，所以Q，由點Q在橢圓上得＋＝1，解得＝，故離心率e＝＝ ＝. 法二：因為△AOP是等腰三角形，所以O(shè)A＝OP，故直線AP的方程為y＝x＋a，與橢圓方程聯(lián)立并消去y得(a2＋b2)x2＋2a3x＋a2c2＝0，從而(－a)xQ＝，即xQ＝－，又由A(－a,0)，P(0，a)，＝2，得xQ＝－，故－＝－，即5c2＝4a2，e2＝，故e＝. 答案： 11．若橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦點在x軸上，過點(2,1)作圓

13、x2＋y2＝4的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是________． 解析：設(shè)切點坐標(biāo)為(m，n)，則·＝－1， 即m2＋n2－n－2m＝0. ∵m2＋n2＝4， ∴2m＋n－4＝0， 即AB的直線方程為2x＋y－4＝0. ∵直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點， ∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4. ∴a2＝b2＋c2＝20，故橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 12．若A，B為橢圓C：＋＝1(a>b>0)長軸的兩個端點，垂直于x軸的直線與橢圓交于點M，N，且kAM·kBN＝，則橢圓C的離心率為________． 解析：

14、不妨取A(－a,0)，B(a,0)， 設(shè)M(x1，y1)，N(x1，－y1)． ∵kAM·kBN＝， ∴·＝. 即＝.① ∵M(x1，y1)在橢圓C上， ∴＋＝1， 即y＝(a2－x)，② 將②代入①得＝， 即a2＝4b2＝4(a2－c2)． ∴3a2＝4c2，即e2＝， ∴e＝. 答案： 13.如圖所示，橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，離心率為，點P為橢圓在第一象限內(nèi)的一點．若S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，則直線PF1的斜率為________． 解析：連結(jié)AF2交PF1于點B.由S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1得＝.而

15、A(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，所以由A，B，F(xiàn)2三點共線得B，kPF1＝＝.又因為離心率為，所以a＝2c，b＝c，故kPF1＝＝. 答案： 14．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e.直線l：y＝ex＋a與x軸、y軸分別交于A，B兩點，M是直線l與橢圓C的一個公共點，設(shè)AM＝eAB，則該橢圓的離心率e＝________. 解析：因為點A，B分別是直線l：y＝ex＋a與x軸，y軸的交點，所以點A，B的坐標(biāo)分別是，(0，a)． 設(shè)點M的坐標(biāo)是(x0，y0)，由AM＝eAB， 得　(*) 因為點M在橢圓上，所以＋＝1， 將(*)式代入，得＋＝1， 整理得，e2＋e－1＝0， 解得e＝或e＝(舍去)． 答案： 8