高考文科數(shù)學(xué) 題型秘籍【29】等差數(shù)列解析版

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1、 專題二十九 等差數(shù)列 【高頻考點(diǎn)解讀】 1.理解等差數(shù)列的概念．　 2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．　 3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．　 4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系． 【熱點(diǎn)題型】 題型一 等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 例1、已知{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝6，S3＝12，則公差d等于(　　) A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D．3 【提分秘籍】 1．概念中的“同一個(gè)常數(shù)”十分重要．如果一個(gè)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差，盡管等于常數(shù)，但

2、不是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列． 2．由等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形可知，已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng)就可以確定等差數(shù)列中的任何一項(xiàng)． 3．等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式 分析兩個(gè)公式可得，它們的共同點(diǎn)是需要知道a1和n，不同點(diǎn)是公式Sn＝還需要知道an，公式Sn＝na1＋d還需要知道d，解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式：當(dāng)已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)時(shí)，用前一個(gè)公式較為簡(jiǎn)便；當(dāng)已知首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)時(shí)，用后一個(gè)公式較好． 【舉一反三】 等差數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和等于前2項(xiàng)和，若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________. 【熱點(diǎn)題型】 題型二 等差數(shù)列的性質(zhì) 例2、已知等差

3、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4＋3a8＋a12＝120，則2a11－a14＋S15＝(　　) A．384 B．382 C．380 D．352 【提分秘籍】 1．等差數(shù)列{an}中，若m＝p＋q，則am＝ap＋aq，不一定成立，只有當(dāng)a1＝d時(shí)才成立． 2．運(yùn)算性質(zhì)求解基本運(yùn)算，可減少運(yùn)算量、但要注意判斷項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系． 3. 利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決基本量的運(yùn)算體現(xiàn)了整體求值思想的應(yīng)用，應(yīng)用時(shí)常將am＋an＝2a與am＋an＝ap＋aq相結(jié)合考查． 【舉一反三】 已知等差數(shù)列 {an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，則n的值為(　　)

4、A．8 B．9 C．10 D．11 【熱點(diǎn)題型】 題型三 等差數(shù)列的判定 例3、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求Sn和an. 【提分秘籍】 等差數(shù)列的判定方法 (1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)； (2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立； (3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q； (4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn. 注意：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主

5、要適用于選擇題、填空題中的簡(jiǎn)單判斷． 【舉一反三】 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q為常數(shù))． (1)當(dāng)p和q滿足什么條件時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列； (2)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)p和q，數(shù)列{an＋1－an}是等差數(shù)列． ∴{an＋1－an}是等差數(shù)列． 【熱點(diǎn)題型】 題型四 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 例4、(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝(　　) A．3　　　 B．4　　　　 C．5　　　　 D．6 (2)在等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＝4，則a10＝(　　) A．

6、12 B．14 C．16 D．18 【提分秘籍】 1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d及前n項(xiàng)和公式Sn＝ ＝na1＋d，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題． 2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法． 【舉一反三】 在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對(duì)任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和為(　　) A．5 B．10 C. D. 【熱點(diǎn)題型】 題型五 等差數(shù)列的

7、前n項(xiàng)和最值問題 例5、已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn達(dá)到最大的n是(　　) A．18　　　　B．19　　　　C．20　　　　D．21 【提分秘籍】 與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的最值問題是命題的熱點(diǎn)；主要命題角度有：(1)前n項(xiàng)和的最大值；(2)前n項(xiàng)和的最小值；(3)與前n項(xiàng)和有關(guān)的最值問題． 1. 解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和最大值的方法 (1)將Sn表示為n的二次函數(shù)，注意n∈N*. (2)利用通項(xiàng)不等式組Sn最大? 2. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和最小值? 【舉一反三】 在首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列

8、{an}中，若a10＋a11＋a12＝0，則當(dāng)前n項(xiàng)和Sn取最小值時(shí)，n等于(　　) A．10 B．10或11 C．11 D．9或10 【高考風(fēng)向標(biāo)】 1．（20xx·重慶卷）在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝(　　) A．5 B．8 C．10 D．14 2．（20xx·天津卷）設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 3．（20xx·北京卷）已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，

9、b4＝20，且{bn－an}為等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 4．（20xx·福建卷）在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)設(shè)bn＝log3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 5．（20xx·湖北卷）已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由． 6．（20xx·湖南卷）已知數(shù)列{an}的前

10、n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和． 7．（20xx·江西卷）在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為________． 【答案】　【解析】 由題可知a8>0且a9<0，即7＋7d>0且7＋8d<0，所以－1

11、1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)設(shè)bn＝an＋1－an，證明{bn}是等差數(shù)列； (2)求{an}的通項(xiàng)公式． 10．（20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(　　) A．n(n＋1) B．n(n－1) C. D. 11．（20xx·全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ] 已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 12．（20xx·山東卷）在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1與a4的

12、等比中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝a，記Tm＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn. 13．（20xx·陜西卷）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c. (1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比數(shù)列，且c＝2a，求cos B的值． 14．（20xx·四川卷）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖像上(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列； (2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸

13、上的截距為2－，求數(shù)列{anb}的前n項(xiàng)和Sn. 所以，Sn＝. 15．（20xx·浙江卷）已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36. (1)求d及Sn； (2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65. 16．（20xx·重慶卷）已知{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)和． (1)求an及Sn； (2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn. 17．（20xx·安徽卷）設(shè)數(shù)列{an

14、}滿足a1＝2，a2＋a4＝8，且對(duì)任意n∈N*，函數(shù)f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x滿足f′＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 18．（20xx·安徽卷）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝(　　) A．－6 B．－4 C．－2 D． 2 19．（20xx·北京卷）給定數(shù)列a1，a2，…，an，對(duì)i＝1，2，…，n－1，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai，后n－i項(xiàng)ai＋1，ai＋2，…，an的最小值記為Bi，di＝Ai－Bi. (1)

15、設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值； (2)設(shè)a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a1>0.證明：d1，d2，…，dn－1是等比數(shù)列； (3)設(shè)d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1>0，證明：a1，a2，…，an－1是等差數(shù)列． 20．（20xx·全國(guó)卷）等差數(shù)列{an}中，a7＝4，a19＝2a9. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 21．（20xx·福建卷）已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項(xiàng)和為Sn. (1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1； (2)若

16、S5>a1a9，求a1的取值范圍． 22．（20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 23．（20xx·山東卷）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 24．（20xx·陜西卷）設(shè)Sn表示數(shù)列的前n項(xiàng)和． (1)若是等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式； (2)若a1＝1，q≠

17、0，且對(duì)所有正整數(shù)n，有Sn＝.判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論． 25．（20xx·四川卷）在等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝2，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和． 26．（20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 27．（20xx·浙江卷）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an ； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

18、 28．（20xx·重慶卷）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋. (1)求{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn； (2)已知{bn}是等差數(shù)列，Tn為其前n項(xiàng)和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20. 29．（20xx·重慶卷）若2，a，b，c，9成等差數(shù)列，則c－a＝________． 【答案】　【解析】 設(shè)公差為d，則d＝＝，所以c－a＝2d＝. 【隨堂鞏固】 1．若數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且an＝an－1＋2(n≥2)，則a7＝(　　) A．13　　　　B．14　　　　C．15　　　　D．17 2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S

19、n，a4＝15，S5＝55，則數(shù)列{an}的公差是(　　) A. B．4 C．－4 D．－3 3． Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a2＋a8＝6，則S9＝(　　) A. B．27 C．54 D．108 4．已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*，則S10的值為(　　) A．－110 B．－90 C．90 D．110 答案：D 5．一個(gè)首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前6項(xiàng)均為正數(shù)，第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則它的公差為(　　) A．－2 B．－3

20、C．－4 D．－6 6．把70個(gè)面包分五份給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為(　　) A．2 B．8 C．14 D．20 7．等差數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 2 3 5 第二行 8 6 14 第三行 11 9 13 則a4的值為(　　) A．18 B．15 C．12 D．20 8．在6月11日成功發(fā)射了“神舟十號(hào)”，假設(shè)運(yùn)載火箭在點(diǎn)火第一秒鐘通過

21、的路程為2 km，以后每秒鐘通過的路程都增加2 km，在到達(dá)離地面240 km的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時(shí)間大約是(　　) A．10秒鐘 B．13秒鐘 C．15秒鐘 D．20秒鐘 9．一個(gè)等差數(shù)列的前20項(xiàng)和為420，前20項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為11∶10，則此數(shù)列的公差為________． 10．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＋a4＋a5＝12，則S7的值為________． 11．等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________. 12．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a3＋a9＝5，bn＝2an，則b5＋2b7的最小值為________． 13．已知等差數(shù)列{an}中，a5＝12，a20＝－18. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn. 14．已知a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的兩根，數(shù)列{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn＝1－bn(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式； (2)記cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.