《名師伴你行》人教A版函數學案一指數與指數冪的運算.ppt

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學點一 學點二 學點三 學點四 1 正整數指數冪 一個數a的n次冪等于n個a的乘積 記作an 它的運算性質 am an am an a 0 m n am n ab n a 0 2 n次方根的定義 如果xn a 那么x叫做 其中n 1 且n N 3 根式 形如的式子叫做根式 這里n叫做 叫做被開方數 4 根式的性質 1 2 3 當n為偶數時 當n為奇數時 am n am n amn anbn a的n次方根 0 根指數 a a a 5 乘方與開方 求a的n次冪的運算叫做乘方運算 求a的n次方根的運算叫做開方運算 乘方運算與開方運算互為 6 整數指數冪 1 一個實數的正整數指數冪的意義是an a a a n個a R n N 且n 1 2 一個非零實數的零次冪的意義是 a 0 但00沒有意義 3 一個非零實數的負整數指數冪的意義是 a 0 n N n 1 但0 n n N 沒有意義 7 分數指數冪 1 正數的正分數指數冪的意義是 a 0 m n N 且n 1 逆運算 2 正數的負分數指數冪的意義是 a 0 m n N 且n 1 3 0的正分數指數冪等于 0的負分數指數冪 8 有理指數冪的運算性質 如果a 0 b 0 r s Q 那么ar as ar s ab r 9 根式的運算 可以先把根式化成分數指數冪 然后利用的運算性質進行運算 10 無理指數冪的含義 如 它是一個確定的實數 可以看成由以的一串不足近似值和相應的一串過剩近似值為指數的有理指數冪的值的結果 0 沒有意義 有理數指數冪 從兩邊無限逼近 學點一根式運算 求下列各式的值 1 2 3 4 分析 將根式化成分數指數冪的形式 利用分數指數冪運算性質計算是根式運算中經常采用的方法 解析 1 原式 34 3 3 2 原式 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 原式 評析 根式的運算一般化為分數指數冪的形式 由分數指數冪運算公式化簡求值 4 原式 化簡下列各式 1 2 a 0 b 0 3 4 計算下列各式 1 2 3 學點二分數指數冪的運算 分析 負化正 大化小 根式化分數指數冪 小數化分數 是簡化運算的常用技巧 1 原式 2 原式 0 4 1 1 2 4 2 3 0 1 評析 一般地 進行指數冪運算時 化負指數為正指數 化根式為分數指數 化小數為分數進行運算 便于進行乘 除 乘方 開方運算 以達到化繁為簡的目的 計算下列各式 1 2 3 解析 1 原式 7 3 3 3 23 2 3 3 2 3 7 3 3 3 2 2 3 3 3 7 3 6 3 2 3 3 0 2 原式 0 5 4 2 1 2 2 4 3 102 2 64 20 10 10 42 3 原式 學點三求值問題 已知a a 3 求下列各式的值 1 a a 1 2 a2 a 3 分析 從已知條件中解出a的值 然后再代入求值 這種方法是不可取的 而應設法從整體尋求結果與條件a a 3的聯(lián)系 進而整體代入求值 評析 對 條件求值 問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系 然后采取 整體代換 或 求值后代換 兩種方法求值 解析 1 將a a 3兩邊平方 得a a 1 2 9 即a a 1 7 2 將上式平方 有a2 a 2 2 49 a2 a 2 47 3 由于a a a 3 a 3 a a 1 1 7 1 8 1 已知x x 3 求的值 2 已知2a 2 a 3 求8a 8 a 3 已知a2x 1 求的值 1 由x x 3得x x 1 2 9 即x x 1 7 x2 x 2 2 49 則x2 x 2 2 45 又 x x 3 x x x x 1 1 3 3 7 1 3 15 3 2 8a 8 a 2a 3 2 a 3 2a 2 a 22a 2 2a 1 3 2a 2 a 2 3 3 32 3 18 3 a2x a 2x 1 1 1 1 1 1 2 1 學點四化簡 化簡下列各式 1 x 1 x x0 x x 2 分析 抓住題中各式的結構特點 可分別用立方差和立方和公式化簡 解析 1 原式 2 原式 評析 解題時 要注意從整體上把握代數式的結構特點 先化簡 后計算 化簡下列各式 1 2 3 1 解法一 化去負指數后解 原式 解法二 利用運算性質解 原式 解法三 利用倒數的性質解 原式 2 原式 3 原式 2 6 3 4a 2 在進行指數冪運算時 應注意什么問題 1 化簡要求同初中要求 注意結果形式的統(tǒng)一 即結果不能同時含有根式和分數指數 也不能既有分母 又含有負分數 2 一般地 進行指數冪運算時 化負指數為正指數 化根式為分數指數冪 化小數為分數 化底數為指數等 便于進行乘 除 乘方 開方運算 以達到化繁為簡的目的 1 怎樣才能更好的學好指數及運算 1 先復習初中學過的整數指數冪的概念及運算 對于指數冪an 當指數n擴大到有理數時 要注意底數a的變化范圍 如當n 0時 底數a 0 當n為負整數指數時 底數a 0 當n為分數時 底數a 0 2 學習本學案內容要結合對比法 揭示其內涵與外延及其與舊概念的聯(lián)系 運用有理指數冪運算性質進行化簡 求值 要掌握解題技巧 如湊完全平方 尋求同底冪等方法 1 正整數指數冪的運算性質都是積 商 冪的形式 而不是和 差的形式 防止出現 am an am n am bn am n 等錯誤 關于n次方根的定義和性質 可以理解為平方根和立方根的推廣 根號也可以認為是由平方根號 立方根號推廣而來的 理解n次方根的意義時 要把n按奇偶分類 并且在實數范圍內 正數的奇次方根是一個正數 負數的奇次方根是一個負數 零的奇次方根是 類比立方根 正數的偶次方根有兩個 它們互為相反數 負數的偶次方根沒有意義 零的偶次方根是零 即當n為正偶數時 na有意義的條件是a 0 類比平方根 關于及根式的性質要理解好以下幾點 1 n N 且n 0 2 當n為奇數時 對任意a R都有意義 并且表示a在實數范圍內的唯一的一個n次方根 即 n a 3 當n為偶數時 只有當a 0時才有意義 a 0 表示a在實數范圍內的一個正的n次方根 也叫n次算術根 但a還有另一個負的n次方根是 即 n a 4 n與的意義不同 對任意a R都有意義 當n為奇數時 a 當n為偶數時 a 4 根式的化簡與計算 1 化簡根式的過程類似于化簡二次根式 注意運用根式的性質和乘法公式 提取或合并同類根式 分母有理化 并且應化為最簡根式 2 根式的計算應在化簡后進行 要結合根式的性質分清奇次根式和偶次根式 當根號不能去掉時 一般保留根號 如果需要去掉根號 可用計算器求出近似值 5 an n Z 的意義 不能簡單地理解成n個a相乘 應分清n是正整數 零還是負整數 若n 0 則a 0 否則an沒有意義 的意義 不能理解為個a相乘 它是根式的一種新的寫法 在規(guī)定 和 a 0 m n N n 1 后 根式和分數指數冪可以互化 它們表示相同意義的量 7 an n Q 的意義 應按有理數n分類理解 隨著n的范圍由正整數范圍到整數范圍到有理數范圍的不斷擴大 底數a的范圍也在不斷地縮小 但對于a 0時 an都有意義 對于a 0時 n不能為0 負整數 負分數 否則沒有意義 8 有理指數冪的運算性質是積 商 冪的形式 而不是和 差的形式 并且把正整數指數冪的五條運算性質推廣到有理指數冪 祝同學們學習上天天有進步