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第3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞
一、填空題
1．命題：?x∈R，sin x＜2的否定是________．
解析 全稱命題的否定是存在性命題．
答案 ?x∈R，sin x≥2
2．命題“若實(shí)數(shù)a滿足a≤2，則a2<4”的否命題是________命題(填“真”“假”之一)．
解析 原命題的否命題是“若實(shí)數(shù)a滿足a>2，則a2≥4”，這是一個(gè)真命題．
答案 真
3．已知命題p：?x∈R，使ax2＋2x＋1<0.當(dāng)a∈A時(shí)，綈p為真命題，則集合A＝________．
解析 綈p：?x∈R，使ax2＋2x＋1≥0.若此
2、命題為真命題，則即a≥1，從而所求集合A＝{a|a≥1}．
答案 {a|a≥1}
4．若命題“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命題，則a的取值范圍是________．
解析 當(dāng)a＝0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，由題意得
解得－8≤a<0，所以－8≤a≤0.
答案 [－8,0]
5．已知命題p：|x－1|>2，命題q：x∈Z，則滿足“p∨q”與“綈p”同時(shí)為真命題的x取值為________．
答案 －1,0,1,2,3
6．寫出下列命題的否定，并判斷真假．
(1)不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2＋x＋m＝0必有實(shí)數(shù)根．
__________________________
3、__________________________；
(2)對(duì)任意角α∈R，都有sin2α＋cos2α＝1.
__________________________________________________；
(3)存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線相等．
_________________________________________________；
(4)正方形的對(duì)角線互相垂直平分．
________________________________________________.
答案 (1)存在m∈R，使方程x2＋x＋m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根．是真命題．
(2)存在α∈R，使
4、sin2α＋cos2α≠1.是假命題．
(3)對(duì)任意的四邊形，它們的對(duì)角線不相等．是假命題．
(4)存在這樣的正方形，它的對(duì)角線不互相垂直或不互相平分．是假命題．
7．命題p：若a·b>0，則a與b的夾角為銳角；命題q：若函數(shù)f(x)在(－∞，0)與(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)，則下列說(shuō)法：①“p或q”是真命題；②“p或q”是假命題；③綈p為假命題；④“綈p∧q”是假命題，其中正確的說(shuō)法序號(hào)是________．
解析 因?yàn)閜，q均為假命題，所以②④說(shuō)法正確．
答案?、冖?
8．給出下列三個(gè)命題：①?x∈R，x2>0；②?x∈R，使得x2≤
5、x成立；③對(duì)于集合M，N，若x∈M∩N，則x∈M，且x∈N.其中真命題的個(gè)數(shù)是________．
解析 取x＝0，得x2＝0，①不正確；取x＝，得②正確；③正確，故真命題的個(gè)數(shù)為2.
答案 2
9．下列四個(gè)命題：①?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函數(shù)；②?x∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函數(shù)；③?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函數(shù)；④?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函數(shù)，其中是真命題的序號(hào)是________．
解析 當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2是偶函數(shù)．
答案?、?
10．若命題“?x∈R，有x2－mx－m<
6、0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析 “?x∈R，有x2－mx－m<0”是假命題，則“?x∈R有x2－mx－m≥0”是真命題．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.
答案 －4≤m≤0
二、解答題
11．寫出下列命題的否定，并判斷其真假．
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使x＋1＝0.
解 (1)綈p：?x0∈R，x－x0＋<0，假命題．
(2)綈q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題．
(3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命
7、題
(4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題．
12．已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝x－1
(1)?x∈R，使f(x)＜b·g(x)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)?x∈R，使f(x)≥b·g(x)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
解 (1)由?x∈R，f(x)＜b·g(x)，得?x∈R，x2－bx＋b＜0，所以Δ＝(－b)2－4b＞0，解得b＜0或b＞4，即實(shí)數(shù)b的取值范圍是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
(2)由?x∈R，f(x)≥b·g(x)，得?x∈R，x2－bx＋b≥0，
所以Δ＝(－b)2－4b≤0，解得0≤b≤4.即實(shí)數(shù)b的取值范圍是[0，4]．
13．已知a、b、c、d
8、均為實(shí)數(shù)，且2bd－c－a＝0.
命題p：關(guān)于x的二次方程ax2＋2bx＋1＝0有實(shí)根；
命題q：關(guān)于x的二次方程cx2＋2dx＋1＝0有實(shí)根；
求證：“p或q”為真命題．
證明 由ax2＋2bx＋1＝0，得Δ1＝4b2－4a，
由cx2＋2dx＋1＝0，得Δ2＝4d2－4c，
又∵2bd－c－a＝0，∴a＋c＝2bd.
∴Δ1＋Δ2＝4[b2＋d2－(a＋c)]
＝4(b2＋d2－2bd)＝4(b－d)2≥0.
即Δ1、Δ2中至少有一個(gè)大于或等于0.
∴ax2＋2bx＋1＝0，
cx2＋2dx＋1＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根．
∴“p或q”為真命題．
14．在△AB
9、C中，命題p：cos B>0；命題q：
函數(shù)y＝sin為減函數(shù)．
設(shè)向量m＝，
n＝.
(1)如果命題p為假命題，求函數(shù)y＝sin的值域；
(2)命題“p且q”為真命題，求B的取值范圍；
(3)如果向量m⊥n，求A.
解 (1)由命題p為假命題，則cos B≤0.
因?yàn)?0，解得0
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