【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第6章學(xué)案29
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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 學(xué)案29 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題. 自主梳理 1.等比數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的________,通常用字母______表示(q≠0). 2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,則它的通項(xiàng)an=___________
2、_. 3.等比中項(xiàng): 如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng). 4.等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am·________ (n,m∈N*). (2)若{an}為等比數(shù)列,且k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),則__________________. (3)若{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan} (λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比數(shù)列. (4)單調(diào)性:或?{an}是________數(shù)列;或?{an}是________數(shù)列;q=1?{an} 是____數(shù)列;q<0?{an}是______
3、__數(shù)列. 5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q (q≠0),其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1; 當(dāng)q≠1時(shí),Sn===-. 6.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為______. 自我檢測(cè) 1.(2011·蘇州模擬)如果-1,a,b,c,-9成等比數(shù)列,那么b=________. 2.(2011·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a-2,a+2,a+8,則an=______________. 3.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,|q|>
4、1,令bn=an+1 (n=1,2,…),若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{-53,-23,19,37,82}中,則6q=________. 4.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-a,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值為________. 5.設(shè)f(n)=2+24+27+…+23n+1 (n∈N*),則f(n)=____________. 探究點(diǎn)一 等比數(shù)列的基本量運(yùn)算 例1 已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4a6=36,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和Sn. 變式遷移1 在等比數(shù)列{an}中,a1+an
5、=66,a2·an-1=128,Sn=126,求n和q. 探究點(diǎn)二 等比數(shù)列的判定 例2 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=5,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*. (1)證明:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列; (2)求{an}的通項(xiàng)公式以及Sn. 變式遷移2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求a2,a3的值; (2)求證:數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列. 探究點(diǎn)三 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例3 在等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=8
6、,且++++=2,求a3. 變式遷移3 (1)已知等比數(shù)列{an}中,有a3a11=4a7,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且b7=a7,求b5+b9的值; (2)在等比數(shù)列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44. 分類討論思想與整體思想 例 (14分)設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為80,它的前2n項(xiàng)和為6 560,且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54,求此數(shù)列的第2n項(xiàng). 【答題模板】 解 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q, 若q=1,則Sn=na1,S2n=2na1=2Sn. ∵S2n=6 560
7、≠2Sn=160,∴q≠1,[4分] 由題意得[6分] 將①整體代入②得80(1+qn)=6 560, ∴qn=81.[8分] 將qn=81代入①得a1(1-81)=80(1-q), ∴a1=q-1,由a1>0,得q>1, ∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.[10分] ∴an=a1qn-1=·qn=81·=54. ∴=.[12分] 與a1=q-1聯(lián)立可得a1=2,q=3, ∴a2n=2×32n-1 (n∈N*).[14分] 【突破思維障礙】 (1)分類討論的思想:①利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要分公比q=1和q≠1兩種情況討論;②研究等比數(shù)列的單調(diào)性時(shí)也應(yīng)進(jìn)行討論:當(dāng)a1>0,q
8、>1或a1<0,01或a1>0,0
0且q≠1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系.(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí),常把qn,當(dāng)成整體求解.
本題條件前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54的利用是解決本題的關(guān)鍵,同時(shí)將qn和的值整體代入求解,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,體現(xiàn)了整體代換的思想,在解決有關(guān)數(shù)列求和的題目時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用.
1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式分別為an=a1qn-1,Sn=
2.等比數(shù)列的判定方法:
(1)定義法:即證明=q
9、(q≠0,n∈N*) (q是與n值無關(guān)的常數(shù)). (2)中項(xiàng)法:證明一個(gè)數(shù)列滿足a=an·an+2 (n∈N*且an·an+1·an+2≠0). 3.等比數(shù)列的性質(zhì): (1)an=am·qn-m (n,m∈N*); (2)若{an}為等比數(shù)列,且k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),則ak·al=am·an; (3)設(shè)公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn. 4.在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),一定要對(duì)公比q=1或q≠1作出判斷;計(jì)算過程中要注意整體代入的思想方法. 5.等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是: (1
10、)若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,則此數(shù)列是非零常數(shù)列; (2)若{an}是等比數(shù)列,且an>0,則{lg an}構(gòu)成等差數(shù)列. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.(2010·遼寧)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.已知a2a4=1,S3=7,則S5=________. 2.(2010·浙江)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,8a2+a5=0,則=________. 3.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=3,前三項(xiàng)的和S3=21,則a3+a4+a5=________. 4.(2011·無錫模擬)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為
11、Tn,若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù),那么數(shù)列T10,T13,T17,T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是________. 5.記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=2,S6=18,則=________. 6.設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若a1=1,a5=16,則數(shù)列{an}前7項(xiàng)的和為________. 7.在等比數(shù)列{an}中,公比q=2,前99項(xiàng)的和S99=30,則a3+a6+a9+…+a99=________. 8.(2010·福建)在等比數(shù)列{an}中,若公比q=4,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=________. 二、解答題(共42分) 9.(12分)
12、(2010·陜西)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,且a1,a3,a9成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng); (2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn. 10.(14分)已知數(shù)列{log2(an-1)}為等差數(shù)列,且a1=3,a2=5. (1)求證:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列; (2)求++…+的值. 11.(16分)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公差d>0,且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)n∈N*均有++…+=an+1
13、成立,求c1+c2+c3+…+c2 010. 答案 自主梳理 1.公比 q 2.a1·qn-1 4.(1)qn-m (2)ak·al=am·an (4)遞增 遞減 ?![動(dòng) 6.qn 自我檢測(cè) 1.-3 解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac=(-1)×(-9)=9,b2=9且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同,故b=-3. 2.8·n-1 解析 因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,所以(a+2)2=(a-2)(a+8),解得a=10,a-2=8,q==, ∴an=a1qn-1=8·n-1. 3.-9 解析 由題意:等比數(shù)列{an}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{-54,-24,18,36,81}中,
14、由等比數(shù)列的定義知:四項(xiàng)是兩個(gè)正數(shù)、兩個(gè)負(fù)數(shù), 故-24,36,-54,81,符合題意,則q=-,∴6q=-9. 4.1 解析 可用特殊值法,由Sn得a1=3-a,a2=6,a3=18,由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a=1. 5.(8n+1-1) 解析 由題意可知,f(n)即為一個(gè)以2為首項(xiàng),公比q=23=8,項(xiàng)數(shù)為n+1的等比數(shù)列的和. 由公式可得f(n)=Sn+1= ==(8n+1-1). 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 (1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共有a1,an,q,n,Sn五個(gè)量,知道其中任意三個(gè)量,都可以求出其余兩個(gè)量.解題時(shí),將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量間的關(guān)系,然后利
15、用方程組的思想求解; (2)本例可將所有項(xiàng)都用a1和q表示,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程組求解;也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化,兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化. 解 方法一 由已知得: ①-②,得4aq6=64,∴aq6=16.③ 代入①,得+2×16+16q2=100. 解得q2=4或q2=. 又?jǐn)?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列,∴q=2或. 當(dāng)q=2時(shí),可得a1=, ∴an=×2n-1=2n-2,Sn==2n-1-; 當(dāng)q=時(shí),可得a1=32. ∴an=32×n-1=26-n. Sn==64-26-n. 方法二 ∵a1a5=a2a4=a,a2a6=a3a5,a3a7=a4a6=a,
16、 由 可得 即 ∴解得或 當(dāng)a3=8,a5=2時(shí),q2===. ∵q>0,∴q=,由a3=a1q2=8, 得a1=32,∴an=32×n-1=26-n. Sn==64-26-n. 當(dāng)a3=2,a5=8時(shí),q2==4,且q>0,∴q=2. 由a3=a1q2,得a1==.∴an=×2n-1=2n-2. Sn==2n-1-. 變式遷移1 解 由題意得 解得或 若則Sn===126, 解得q=,此時(shí),an=2=64·n-1,∴n=6. 若則Sn==126,∴q=2. ∴an=64=2·2n-1.∴n=6. 綜上n=6,q=2或. 例2 解題導(dǎo)引 (1)證明數(shù)列是
17、等比數(shù)列的兩個(gè)基本方法: ①=q (q為與n值無關(guān)的常數(shù))(n∈N*). ②a=anan+2 (an≠0,n∈N*). (2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列,可以通過具體的三個(gè)連續(xù)項(xiàng)不成等比數(shù)列來證明,也可用反證法. 解 (1)由已知Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*, 可得n≥2時(shí),Sn=2Sn-1+n+4, 兩式相減得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1, 即an+1=2an+1,從而an+1+1=2(an+1), 當(dāng)n=1時(shí),S2=2S1+1+5, 所以a2+a1=2a1+6, 又a1=5,所以a2=11, 從而a2+1=2(a1+1), 故總有an+1+1=2(an+
18、1),n∈N*, 又a1=5,a1+1≠0,從而=2, 即數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為6,公比為2的等比數(shù)列. (2)由(1)得an+1=6·2n-1, 所以an=6·2n-1-1, 于是Sn=-n=6·2n-n-6. 變式遷移2 解 (1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),∴當(dāng)n=1時(shí),a1=2×1=2; 當(dāng)n=2時(shí),a1+2a2=(a1+a2)+4,∴a2=4; 當(dāng)n=3時(shí),a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6, ∴a3=8. (2)∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),① ∴當(dāng)n≥2時(shí),a1
19、+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 =(n-2)Sn-1+2(n-1).② ①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2. ∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2, ∴Sn+2=2(Sn-1+2). ∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0,∴=2, 故{Sn+2}是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. 例3 解題導(dǎo)引 在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí),要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若m+n=p+q,則am·an=ap·aq”,可以減少運(yùn)算量,提高解題速度. 解 由已知得
20、++++=++ ===2, ∴a=4,∴a3=±2.若a3=-2,設(shè)數(shù)列的公比為q, 則+-2-2q-2q2=8, 即++1+q+q2=2+2+=-4. 此式顯然不成立,經(jīng)驗(yàn)證,a3=2符合題意,故a3=2. 變式遷移3 解 (1)∵a3a11=a=4a7, ∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=4, ∵{bn}為等差數(shù)列,∴b5+b9=2b7=8. (2)a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=aq6=1.① a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15 =a·q54=8.② ②÷①:=q48=8?q16=2, 又a41a42a43
21、a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43 =a·q166=a·q6·q160=(a·q6)·(q16)10 =1·210=1 024. 課后練習(xí)區(qū) 1. 解析 ∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,且a2a4=1, ∴設(shè){an}的公比為q,則q>0,且a=1,即a3=1. ∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7, 即6q2-q-1=0. 故q=或q=-(舍去),∴a1==4. ∴S5==8(1-)=. 2.-11 解析 由8a2+a5=0,得8a1q+a1q4=0,所以q=-2,則==-11. 3.84 解析 由題可設(shè)等比數(shù)列的公比為q, 則=21?
22、1+q+q2=7?q2+q-6=0 ?(q+3)(q-2)=0,根據(jù)題意可知q>0,故q=2. 所以a3+a4+a5=q2S3=4×21=84. 4.T17 解析 a3a6a18=aq2+5+17=(a1q8)3=a,即a9為定值,所以下標(biāo)和為9的倍數(shù)的積為定值,可知T17為定值. 5.33 解析 因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中有S3=2,S6=18, 即==1+q3==9, 故q=2,從而= =1+q5=1+25=33. 6.127 解析 ∵公比q4==16,且q>0,∴q=2, ∴S7==127. 7. 解析 ∵S99=30,即a1(299-1)=30, ∵數(shù)列a3,
23、a6,a9,…,a99也成等比數(shù)列且公比為8, ∴a3+a6+a9+…+a99= ==×30=. 8.4n-1 解析 ∵等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)之和為21,公比q=4, 不妨設(shè)首項(xiàng)為a1,則a1+a1q+a1q2=a1(1+4+16)=21a1=21,∴a1=1,∴an=1×4n-1=4n-1. 9.解 (1)由題設(shè)知公差d≠0, 由a1=1,a1,a3,a9成等比數(shù)列, 得=,…………………………………………………………………………(4分) 解得d=1或d=0(舍去). 故{an}的通項(xiàng)an=1+(n-1)×1=n.……………………………………………………(7分) (2
24、)由(1)知2an=2n,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式, 得Sn=2+22+23+…+2n= =2n+1-2.………………………………………………………………………………(12分) 10.(1)證明 設(shè)log2(an-1)-log2(an-1-1)=d (n≥2),因?yàn)閍1=3,a2=5,所以d=log2(a2-1)-log2(a1-1)=log24-log22=1,…………………………………………………………(3分) 所以log2(an-1)=n,所以an-1=2n, 所以=2 (n≥2),所以{an-1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.………(6分) (2)解 由(1)可得an-1
25、=(a1-1)·2n-1, 所以an=2n+1,…………………………………………………………………………(8分) 所以++…+ =++…+ =++…+=1-.………………………………………………………………(14分) 11.解 (1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, ∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d). 解得d=2(d=0舍).……………………………………………………………………(2分) ∴an=1+(n-1)·2=2n-1.………………………………………………………………(5分) 又b2=a2=3,b3=a5=9, ∴數(shù)列{bn}的公比為
26、3, ∴bn=3·3n-2=3n-1.………………………………………………………………………(8分) (2)由++…+=an+1得 當(dāng)n≥2時(shí),++…+=an. 兩式相減得:當(dāng)n≥2時(shí),=an+1-an=2.……………………………………………(10分) ∴cn=2bn=2·3n-1 (n≥2). 又當(dāng)n=1時(shí),=a2,∴c1=3. ∴cn=.………………………………………………………………(12分) ∴c1+c2+c3+…+c2 010 =3+=3+(-3+32 010)=32 010.…………………………………………(16分) 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
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