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第六章 數(shù) 列
第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法
一、選擇題
1．?dāng)?shù)列{an}：1，－，，－，…的一個通項公式是( )
A．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(n∈N＋)
B．a(chǎn)n＝(－1)n－1(n∈N＋)
C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(n∈N＋)
D．a(chǎn)n＝(－1)n－1(n∈N＋)
解析 觀察數(shù)列{an}各項，可寫成：，－，，－，故選D.
答案 D
2．把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正三角形(如圖所示)．
則第七個三角形數(shù)是( )．
A．27 B．28 C．
2、29 D．30
解析 觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項與它的前一項多的點數(shù)正好是本身的序號，所以根據(jù)這個規(guī)律計算即可．根據(jù)三角形數(shù)的增長規(guī)律可知第七個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案 B
3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5＝ ( )．
A．－16 B．16 C．31 D．32
解析 當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，
又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．
∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24
3、＝16.
答案 B
4．將石子擺成如圖的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，…為梯形數(shù)，根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 014項與5的差即a2 014－5＝( )．
A．2 020×2 012 B．2 020×2 013
C．1 010×2 012 D．1 010×2 013
解析 結(jié)合圖形可知，該數(shù)列的第n項an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故選D.
答案 D
5．在數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項的值是 ( )．
A．103 B. C.
4、 D．108
解析 根據(jù)題意并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋，
∴n＝7時，an取得最大值，最大項a7的值為108.
答案 D
6．定義運算“*”，對任意a，b∈R，滿足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．設(shè)數(shù)列{an}的通項為an＝n**0，則數(shù)列{an}為( )．
A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列
C．遞增數(shù)列 D．遞減數(shù)列
解析 由題意知an＝*0＝0]n·＋(n*0)＋)＝1＋n＋，顯然數(shù)列{an}
既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列；又函數(shù)y＝x＋在[1，＋∞)上為
5、增函數(shù)，
所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．
答案 C
二、填空題
7．在函數(shù)f(x)＝中，令x＝1,2,3，…，得到一個數(shù)列，則這個數(shù)列的前5項是________．
答案 1，，，2，
8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則a2＝________；an＝________.
解析 由an＝n(an＋1－an)，可得＝，
則an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.
答案 2 n
9．已知f(x)為偶函數(shù)，f(2＋x)＝f(2－x)，當(dāng)－2≤x≤0時，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，則a2 013＝____
6、____.
解析 ∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)，
∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)．
故f(x)周期為4，
∴a2 013＝f(2 013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.
答案
10．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k的值為________．
解析 ∵Sn＝n2－9n，
∴n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，
a1＝S1＝－8適合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，
∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.
答案 8
三、解答題
11．?dāng)?shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6.
7、
(1)這個數(shù)列的第4項是多少？
(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？
(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？
解 (1)當(dāng)n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16，即150是這個數(shù)列的第16項．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，
∴從第7項起各項都是正數(shù)．
12．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求證：成等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
(1)證明 當(dāng)n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0
8、，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，故是首項為2，公差為2的等差數(shù)列．
(2)解 由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
當(dāng)n＝1時，a1＝不適合上式．
故an＝
13．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．
解 (1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－3
9、1＝a－3(a≠3)，故數(shù)列{Sn－3n}是首項為a－3，公比為2的等比數(shù)列，
因此，所求通項公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
當(dāng)n＝1時，a1＝a不適合上式，
故an＝
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
當(dāng)n≥2時，an＋1≥an?12·n－2＋a－3≥0?a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.
綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞
10、)．
14．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)
列{bm}的前m項和Sm.
解 (1)因為{an}是一個等差數(shù)列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
(2)對m∈N*，若9m＜an＜92m，
則9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，
故得bm＝92m－1－9m－1.
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝－
＝.
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【名校資料】高考數(shù)學(xué)人教A版理科配套題庫【第六章】數(shù)列 第1講數(shù)列的概念與簡單表示法
