備戰(zhàn)高考黃金100題解讀與擴展系列：專題1 兩個計數(shù)原理 Word版含解析

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1、 I．題源探究·黃金母題 【例1】隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容.交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復的英文字母和3個不重復的阿拉伯數(shù)字，并且3個字母必須合成一組出現(xiàn)，三個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種方法共能給多少汽車上牌照？ 【解析】將汽車牌照分為兩類，即字母組合在左．字母組合在右邊. 字母在左時，分6步確定一個牌照的字母與數(shù)字: 第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法； 第2步，從剩余的25個字母中選1個，放在第2位，有25種選法； 第3步，從剩余的24個字母中選1

2、個，放在第3位，有24種選法； 第4步，10個數(shù)字中選1個，放在第4位，有10種選法； 第5步，從剩余的9個數(shù)字中選1個，放在第5位，有9種選法； 第6步，從剩余的8個數(shù)字中選1個，放在第6位，有8種選法； 根據(jù)分步計數(shù)原理，字母組合在左的牌照個數(shù)為 26×25×24×23×10×9×8=11232000. 同理，字母組合在右的牌照個數(shù)也為11232000. 所以，根據(jù)分類計數(shù)原理，共能給 11232000+11232000=22464000. 輛汽車上牌照. 精彩解讀 【試題來源】人教版A版選修2-3第9頁例9． 【母題評析】本題考查利用分類計數(shù)原理與分步計數(shù)

3、原理計算簡單的計數(shù)問題． 【思路方法】認真閱讀試題，探究需要分類還是需要分步，還是既要分類又要分步，然后按分析計算每類（或每步）的不同的方法數(shù)，再根據(jù)相應的計數(shù)原理計算出總的方法數(shù)． II．考場精彩·真題回放 【例2】【20xx高考新課標3理數(shù)】定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0， 項為 1，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有 （ ） （A）18個 （B）16個 （C）14個 （D）12個 【答案】C 【解析】由題意，得必有，，則具體的排法列表如下： 0 0 0 0 1 1 1 1 1

4、 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 【方法點撥】求解計數(shù)問題時，如果遇到情況較為復雜，即分類較多，標準也較多，同時所求計數(shù)的結果不太大時，往往利用表格法、樹枝法將其所有可能一一列舉出來，常常會達到岀奇制勝的效果． 【例3】【高考山東，理】用十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 A. B. C. D. 【答案】B 【命題意圖】本類題問題主要考查利用分類計

5、數(shù)原理和分步計數(shù)原理解決計數(shù)問題，考查考生運算求解能力． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏易，考查利用兩個計數(shù)原理解決實際問題的能力． 【難點中心】解答此類問題的關鍵是認證閱讀試題，弄清需要分類還是需要分步還是既要分類又要分步，判定方法是一種方法是否能獨立完成任務，若能，若完成任務的方法類型不同，則需要分類，否則不需要分類，分類時要做到不重不漏；若一種方法不能獨立完成任務，需要幾步完成都完成才能完成，則需要分布． III．理論基礎·解題原理 考點一 分類加法計數(shù)原理（加法原理） 一般形式：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案

6、中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，……，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=++……+種不同的方法. 考點二 分步乘法計數(shù)原理(乘法原理) 一般形式：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法. 考點三 兩個原理的區(qū)別 1.“每類”間與“每步”間的關系不同：分類加法計數(shù)原理中的每一類方案中的任何一種方法、不同類之間的任何一種方法都是相互獨立，互不依賴的，且是一次性的；而分步乘法計數(shù)原理中的每一步是相互依賴，且是連續(xù)性的. 2.“每類”與“每步”完

7、成的效果不同：分類加法計數(shù)原理中所描述的每一種方法完成后，整個事件就完成了，而分步乘法計數(shù)原理中每一步中的每一種方法得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事. IV．題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題或古典概型、隨機變量分布列大題的形式出現(xiàn)，小題難度中等偏下，大題為中檔難度，有時也會與平面幾何、立體幾何等知識交匯． 【技能方法】 1.計數(shù)問題中應用計數(shù)原理判定方法：如果已知的每類方法中的每一種方法都能單獨完成這件事，用分類加法計數(shù)原理；如果每類方法中的每一種方法只能完成事件的一部分，用分步乘法計數(shù)原理． 2.

8、利用分類計數(shù)原理解決問題時： (1)將一個比較復雜的問題分解為若干個“類別”，先分類解決，然后將其整合，如何合理進行分類是解決問題的關鍵．(2)要準確把握分類加法計數(shù)原理的兩個特點：①根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏；②分類時，注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復；③對于分類問題所含類型較多時也可考慮使用間接法． 3.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即考慮分步的先后順序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個事件．(3)對完成各步的方法數(shù)要準確確定． 4.用兩

9、個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，關鍵是明確需要分類還是分步． (1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)． (2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)． (3)對于復雜問題，可同時運用兩個計數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析，使問題形象化、直觀化． (4)在應用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理． 【易錯指導】 1.分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一

10、種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的． 2.分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關聯(lián)的． V．舉一反三·觸類旁通 考向1 分類計數(shù)原理應用 【例1】【四川瀘州市高三教學診斷性考試三數(shù)學（理）】某學校一共排7節(jié)課（其中上午4節(jié)，下午3節(jié)），某教師某天高三年級1班和2班各有一節(jié)課，但他要求不能連排2節(jié)課（其中上午第4節(jié)和下午第1節(jié)不算連排），那么該教師這一天的課的所有可能的排法種數(shù)共有（ ） A．16 B．15 C．32 D．30 【答案】C 【解析】運用分類計數(shù)原理求解：若第

11、一節(jié)排課，則有種排課方式；若第二節(jié)排課,則有種排課方式；若第三節(jié)排課,則有種排課方式；若第四節(jié)排課,則有種排課方式；若第五節(jié)排課,則有種排課方式。由分類計數(shù)原理共有種排課方式.故應選C。 【方法指導】對只有一個限定條件的排列問題，可以用分類計數(shù)原理計算.　 【跟蹤訓練】 【20xx-20xx學年廣西賓陽中學高二3月月考理】從甲地到乙地有兩種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地共有__________種不同的走法． 【答案】11 【解析】直接從甲地到丙地有三種走法,經過乙地到丙地有種走法,所以合計有種走法 考向2 分步計數(shù)原理應用 【

12、例】【20xx-20xx學年福建師大附中高二下期末數(shù)學（理）】如圖，電路中共有個電阻與一個電燈，若燈不亮，則因電阻斷路的可能性的種數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【思路點睛】每個電阻都有斷路與通路兩種情況，圖中從上到下有3條支線，分別記為a、b、c，支線a、b中，至少有一個電阻斷路的情況有3種，c中至少有一個電阻斷路的情況有23-1=7種，再根據(jù)分步計數(shù)原理求得結果．　 【跟蹤訓練】 【20xx-20xx學年海南文昌中學高二下期末理】北京奧運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其

13、中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 （ ） A．48種 B．36種 C．18種 D．12種 【答案】B 【解析】先安排后兩項工作，共有種方案，再安排前兩項工作，共有種方案，故不同的選派方案共有種方案，選B. 考向3 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的綜合應用 【例3】【四川省成都市石室中學高三5月一模理】從9名高三年級優(yōu)秀學生中挑選3人擔任年級助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為（ ） A．20 B．36 C．49 D

14、．56 【答案】B 【解析】第1類，甲、乙恰有1人入選，第1步在甲、乙中選1人，有2種不同方法，第2步，在除過甲、乙、丙外6人中選2人有種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，有=30種不同方法；第2類，甲乙都入選，在除過甲、乙、丙外6人中選1人有6種不同方法，根據(jù)分類計數(shù)原理，不同選法數(shù)為30+6=36，故選B. 【方法指導】對計數(shù)問題，要分析是需要分類還是需要分步，在每類或每步中在考慮分類或分步. 【跟蹤訓練】 【20xx-20xx學年湖北省黃岡市蘄春縣高二下期中理】某地政府召集5家企業(yè)的負責人開會，其中甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能

15、情況的種數(shù)為（ ） A．14 B．16 C．20 D．48 【答案】B 考向4 住店問題 【例4】【湖南省高考沖刺卷（理）（三）數(shù)學卷】某校高一開設門選修課, 有名同學, 每人只選一門, 恰有門課程沒有同學選修, 共有 種不同的選課方案．(用數(shù)字作答) 【答案】 【解析】先確定同學選修的門：,再確定名同學選法，共有種不同的選課方案. 【方法指導】對于“住店”問題，首項要分析清楚誰選誰的問題，然后逐個安排，然后用分類計數(shù)原理計算.　 【跟蹤訓練】 【20xx-20xx學年山西省懷仁一中高二下期末理科數(shù)學試卷】四名同學報名參加三項課外

16、活動，每人限報其中的一項，不同報名方法共有（ ） A．12 B．64 C．81 D．7 【答案】C 【解析】對于三項活動來講，每名同學都能選報，因此有種報名方法，應選C. 考向5 染色問題 【例5】【內蒙古杭錦后旗奮斗中學高三上入學摸底】用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為的個小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標號為“3,5,7”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有（ ）種 A．18 B．36 C．72 D．108 【答

17、案】D 【解析】．故選D． 【名師點睛】利用兩個計數(shù)原理解決應用問題的一般思路 （1）弄清完成一件事是做什么. （2）確定是先分類后分步,還是先分步后分類. （3）弄清分步、分類的標準是什么. （4）利用兩個計數(shù)原理求解. 【跟蹤訓練】 【20xx-20xx學年江西省于都三中高二第三次月考理】用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為的個小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標號為“3,5,7”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有（ ）種 A．18 B．36 C．72 D．108 【答案】D