高中數(shù)學(xué) 向量數(shù)量積的物理背景與定義課件 新人教B版必修4

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1、復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧x1 + x2y1 + y2x1 - x2y1 - y2 x1 y11、若向量、若向量a=(x1,y1) ，b=(x2,y2) 則向量則向量a+b=（ ， ）向量向量a-b=（ ， ）向量向量a=（ ， ）2、若已知點(diǎn)、若已知點(diǎn)A(x1,y1) ， B(x2,y2) 則向量則向量AB=（ ， ） x2 x1 y2- y1 3、向量、向量a、b（b0）共線的充要）共線的充要 條件是什么？條件是什么？ a =b若若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ，則共線的充，則共線的充要條件是什么？要條件是什么？x1 y2 - x2 y1=0如果一個(gè)物體在力F作用下產(chǎn)生位移S，那么F所

2、做的功為:表示力F的方向與位移S的方向的夾角。位移SOAFFSW=FW=FS SCOSCOS一一.力做功的計(jì)算力做功的計(jì)算二二.兩個(gè)向量的夾角兩個(gè)向量的夾角baOAOB已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a、b， =a， = b.則則AOB稱作向量稱作向量a和向量和向量b的夾角的夾角,記作記作.并規(guī)定并規(guī)定0 BOA（1）求兩向量的夾角，應(yīng)保證兩個(gè)向量有公共起點(diǎn)，若沒有，須平移使它們有公共起點(diǎn)共起點(diǎn)；baBOAOAaBbBbaOAAaOBb（2）a ，b=b ，a；（3）范圍0a ，b；（4）a ，b=0時(shí), a、b同向；a ，b=時(shí)，a、b反向；a ，b= 90時(shí)， a b.（5）規(guī)定：在討論垂

3、直問題時(shí)，零向量與任意向量垂直零向量與任意向量垂直.幾點(diǎn)說明如圖，等邊三角形中，求 （1）AB與AC的夾角； （2）AB與BC的夾角。ABC 通過平移通過平移變成共起點(diǎn)！變成共起點(diǎn)！12060C練習(xí)練習(xí)1 1三三.向量在軸上的正射影向量在軸上的正射影 （1）概念：）概念： 已知向量已知向量a和軸和軸l，作，作 =a，過點(diǎn)，過點(diǎn)O，A分別作軸分別作軸l的垂線，垂足分別為的垂線，垂足分別為O1，A1，則，則向量向量 叫做向量叫做向量a在軸在軸l上的正射影上的正射影. OA1 1 O A（2）正射影的數(shù)量：）正射影的數(shù)量：cosla a 向量向量a的正射影在軸的正射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作上的坐標(biāo)，稱

4、作a在在軸軸l上的數(shù)量或在軸上的數(shù)量或在軸l方向上的數(shù)量方向上的數(shù)量.記作：記作： al向量向量a的方向與軸的方向與軸l的正方向所成的角為的正方向所成的角為，則有則有 1. a在軸l上的數(shù)量或在軸l方向上的數(shù)量是一個(gè)數(shù)量，不是向量.2. 當(dāng)為銳角時(shí)，數(shù)量為正值；3. 當(dāng)為鈍角時(shí)，數(shù)量為負(fù)值；4. 當(dāng)為直角時(shí)，數(shù)量為0；5. 當(dāng) = 0時(shí)，數(shù)量為 |a|；6. 當(dāng) = 180時(shí)，數(shù)量為 |a|. 幾點(diǎn)說明alxlOA2O1A1alaa例1.已知軸l（1）.向量OA=5, OA, l=60,求OA在l上的正射影的數(shù)量OA1（2）.向量OB=5, OB,l =120,求OB在l上的正射影的數(shù)量OB1

5、(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,=600,則向量a在向量b上的正射影的數(shù)量解：4cos600=2解：OA1=5COS600=5( )=5/2-5/2四四.向量的數(shù)量積（內(nèi)積）向量的數(shù)量積（內(nèi)積） 定義：定義： 叫做向量叫做向量a和和b的數(shù)量的數(shù)量積（或內(nèi)積）積（或內(nèi)積）記作：記作：ab .即即 ab = cos,a ba bcos,a ba bab BAO cos baba cos|b1數(shù)量積數(shù)量積a b等于等于a的長度與的長度與b在在a方向上正方向上正射影的數(shù)量射影的數(shù)量|b|cos 的乘積的乘積.幾點(diǎn)說明2兩個(gè)向量的兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，符號由，符號由cos

6、a，b的符號所決定；而數(shù)乘向量是的符號所決定；而數(shù)乘向量是一個(gè)向量。一個(gè)向量。OABab 1BOABab )(1B為銳角時(shí)，為銳角時(shí)，| b | cos0為鈍角時(shí)，為鈍角時(shí)，| b | cos0為直角時(shí)，為直角時(shí)，| b | cos=0BOAab 1B量的數(shù)量積為03.規(guī)定零向量與任意向00a4. a b不能寫成不能寫成ab ，ab 表示向量的另一種運(yùn)算表示向量的另一種運(yùn)算兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，為兩個(gè)非零向量，e是與是與b的單位向量的單位向量.1. e a = a e =|a|cos ;2. a b a b = 03. a a = |a|2或或aaa |4. cos

7、 = ；|baba5.|a b| |a|.|b| .內(nèi)積為零是判定兩向量垂直的條件內(nèi)積為零是判定兩向量垂直的條件用于計(jì)算向量的模用于計(jì)算向量的模用于計(jì)算向量的夾角用于計(jì)算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀以及判斷三角形的形狀例例2.已知已知|a|=5，|b|=4，=120，求，求ab.解：解： a b =|a|b|cos =54cos120 = 10. 練習(xí)2 已知已知|a|，|b|，當(dāng)，當(dāng)ab，ab，a與與b的夾角是的夾角是60時(shí)，分別求時(shí)，分別求abab時(shí)，時(shí)， ab =18；ab時(shí)，時(shí)，ab=0； a與與b的夾角是的夾角是60時(shí)，時(shí)，ab=9. ,1:平行且方向相同與因?yàn)榻釨CAD.0的夾

8、角為與BCAD91330cosBCADBCAD180的夾角是與CDAB16144180cosCDABCDAB120的夾角是與DAAB62134120cosDAABDAAB120例3、 BCADDABADABABCD.1:,60, 3, 4,求已知中在平行四邊形如圖 CDAB.2 DAAB.3BACD60且方向相反平行與,2CDAB,.603的夾角是與ADAB練習(xí)練習(xí)3 3已知已知|a|=3, |b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的數(shù)量及上的正射影的數(shù)量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的數(shù)量。數(shù)量。解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?cos| |5a bab 12|cos|5a

9、bab |cos4|a bba 所以所以a在在b方向上的正射影的數(shù)量是方向上的正射影的數(shù)量是b在在a方向上的正射影的數(shù)量是方向上的正射影的數(shù)量是(1)的的形形狀狀是是，則則中中，）在在（ABCBCABABC 02A 銳角三角形銳角三角形C 鈍角三角形鈍角三角形D 不能確定不能確定B 直角三角形直角三角形D的的形形狀狀是是，則則中中，）在在（ABCBCABABC 03CA A 銳角三角形銳角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 鈍角三角形鈍角三角形D D 不能確定不能確定判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確1.若若a=0,則對任意向量則對任意向量b，有，有a b=0.2.若若a0,則對任意非零向量則對任意非零向量b，有，有a b0.3.若若a0,且且a b=0,則則b=0.4.若若ab=0，則，則a=0或或b=0.5.對任意的向量對任意的向量a，有，有a2=a2.6.若若a0,且且a b=a c,則則b=c.( )()( )()()()練習(xí)練習(xí)4 4課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.兩個(gè)向量的夾角2.向量在軸上的正射影 正射影的數(shù)量cosla a3.向量的數(shù)量積（內(nèi)積） cos,a ba bab=4.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：(1). ab ab = 0(2). aa = |a|2或aaa |(3). cos =|baba范圍0a ，b；