2018屆高考數(shù)學(xué)（理）二輪復(fù)習(xí)講學(xué)案：考前專題3 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第2講 三角變換與解三角形.doc

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1、 第2講　三角變換與解三角形 正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查： 1．邊和角的計算． 2．三角形形狀的判斷． 3．面積的計算． 4．有關(guān)參數(shù)的范圍問題．由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實際問題結(jié)合起來進(jìn)行命題將是今后高考的一個關(guān)注點，不可輕視． 熱點一　三角恒等變換 1．三角求值“三大類型” “給角求值”“給值求值”“給值求角”． 2．三角函數(shù)恒等變換“四大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)項的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α

2、＝(α－β)＋β等． (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 例1　(1)(2017·貴陽市第一中學(xué)適應(yīng)性考試)已知sin α－2cos α＝，則tan 2α等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　∵sin α－2cos α＝， ∴sin2α－4sin α·cos α＋4cos2α＝， 即－2sin 2α＋4×＝， 化簡得4sin 2α＝3cos 2α， ∴tan 2α＝＝，故選C. (2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則角β等于(　　) A. B. C.

3、 D. 答案　C 解析　因為α，β均為銳角，所以－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝. 又sin α＝，所以cos α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 所以β＝. 思維升華　(1)三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況． (2)求角問題要注意角的

4、范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解． 跟蹤演練1　(1)(2017·河北省衡水中學(xué)三調(diào))若α∈，且3cos 2α＝sin，則sin 2α的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　由3cos 2α＝sin(－α)， 可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)， 于是3(cos α＋sin α)＝， 所以1＋2sin αcos α＝， 所以sin 2α＝－，故選C. (2)(2017屆山東省師大附中模擬)已知sin－cos α＝，則cos＝_______. 答案　 解析　∵sin－cos α＝cos α－sin

5、α－cos α＝－sin＝， ∴sin＝－. 則cos＝1－2sin2＝. 熱點二　正弦定理、余弦定理 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 例2　(2017·全國Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1

6、)求c； (2)設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積． 解　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝. 在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos ， 即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4. 所以c＝4. (2)由題設(shè)可得∠CAD＝， 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝. 故△ABD的面積與△ACD的面積的比值為＝1. 又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC＝2， 所以△ABD的面積為. 思維升華　關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)

7、一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口． 跟蹤演練2　(2017·廣西陸川縣中學(xué)知識競賽)在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足acos C＝(2b－c)cos A. (1)求角A； (2)若a＝7，△ABC的面積S△ABC＝10，求b＋c的值． 解　(1)由acos C＝(2b－c)cos A， 得sin Acos C＝(2sin B－sin C)cos A， 即sin Acos C＋cos Asin C＝2sin Bcos A， 即sin(A＋C)＝2sin Bcos A，即sin B＝2sin Bcos A. ∵sin

8、B≠0，∴cos A＝，而00，x∈R)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω 的值及

9、f(x)的對稱軸方程； (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f(A)＝，sin C＝，a＝，求b 的值. 解　(1)f(x)＝cos ωx＋cos2ωx－ ＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－ ＝sin 2ωx＋(1＋cos 2ωx)－ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin， 由函數(shù)y＝f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，得T＝，＝π，求得ω＝1. 當(dāng)ω＝1時，f(x)＝sin. 由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，求得x＝＋(k∈Z)． 即f(x)的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)． (2)由(1)知f(A)＝sin＝，即sin＝.

10、所以2A＋＝2kπ＋或2A＋＝2kπ＋，k∈Z， 解得A＝kπ或A＝＋kπ，k∈Z，又A∈(0，π)，所以A＝. 由sin C＝，C∈(0，π)，sin A＝知，C<， 求得cos C＝. 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝， 又a＝，由正弦定理得b＝＝＝. 思維升華　解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對最值或范圍問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來求． 跟蹤演練3　(2017屆青島市統(tǒng)一質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos＋msin 2x(m∈R)，f?＝2. (1)求m的值； (2)在△ABC中，角

11、A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2，f?＝，△ABC的面積是，求△ABC的周長． 解　(1)∵f?＝2， ∴f?＝sin＋cos＋msin＝sin ＋cos ＋＝2， 解得m＝1. (2)由(1)知 f(x)＝sin＋cos＋sin 2x ＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋cos 2xcos －sin 2xsin ＋sin 2x ＝cos 2x＋sin 2x＝2sin， ∴f?＝2sin＝. ∵0

12、c＝4， ∴(a＋c)2＝4＋12＝16，∴a＋c＝4， ∴△ABC的周長為a＋b＋c＝6. 真題體驗 1．(2017·山東改編)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，則下列等式成立的是______．(填序號) ①a＝2b; ②b＝2a; ③A＝2B; ④B＝2A. 答案?、? 解析　∵等式右邊＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin B， 等式左邊＝s

13、in B＋2sin Bcos C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B. 由cos C＞0，得sin A＝2sin B. 根據(jù)正弦定理，得a＝2b. 2．(2017·北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱．若sin α＝，cos(α－β)＝________. 答案?。? 解析　由題意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)， ∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，又sin α＝， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1 ＝2×－1＝－. 3．(

14、2017·江蘇)若tan＝，則tan α＝________. 答案　 解析　方法一　∵tan＝＝＝. ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝. 方法二　tan α＝tan ＝＝＝. 4．(2017·浙江)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.點D為AB延長線上一點，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________. 答案　　 解析　依題意作出圖形，如圖所示， 則sin∠DBC＝sin∠ABC. 由題意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 則sin∠ABC＝，cos∠ABC＝， 所以S△BDC＝B

15、C·BD·sin∠DBC ＝×2×2×＝. 因為cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－ ＝＝， 所以CD＝. 由余弦定理，得cos∠BDC＝＝. 押題預(yù)測 1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C，并且a＝，則△ABC的面積為________． 押題依據(jù)　三角形的面積求法較多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此題很好地體現(xiàn)了綜合性考查的目的，也是高考的重點． 答案　 解析　因為0

16、in C＝cos C＋sin C， 結(jié)合sin2C＋cos2C＝1，得sin C＝，cos C＝. 于是sin B＝cos C＝. 由a＝及正弦定理＝，得c＝. 故△ABC的面積S＝acsin B＝. 2．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期為. (1)求ω的值； (2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，求此時f(A)的值域． 押題依據(jù)　三角函數(shù)和解三角形的交匯點命題是近幾年高考命題的趨勢，本題綜合考查了三角變換、余弦定理和三角函數(shù)的值域，還用到數(shù)列、基本不等式等知識，對學(xué)生能力要求較高． 解　(1)f(x

17、)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1)＝sin－， 因為函數(shù)f(x)的周期為T＝＝， 所以ω＝. (2)由(1)知f(x)＝sin－， 易得f(A)＝sin－. 因為sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列， 所以sin2A＝sin Bsin C， 所以a2＝bc， 所以cos A＝＝≥＝(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號)． 因為0

18、a＝，c＝3，cos A＝，則b等于(　　) A. B. C．2 D．3 答案　C 解析　由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A，可得10＝b2＋9－2·b·3· , b2－b－1＝0，所以(b－2)(b＋)＝0，解得b＝2(舍負(fù))，故選C. 2．tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　因為tan 120°＝＝－， 即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－. 3．(2017·荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)已知α為第四象限角，sin α＋cos

19、 α＝，則tan 的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　由sin α＋cos α＝平方，得1＋2sin αcos α＝?2sin αcos α＝－?(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝. 因為α為第四象限角， 所以sin α<0，cos α>0，sin α－cos α＝－， 因此sin α＝－，cos α＝， tan ＝＝＝＝＝－，故選C. 4．(2017·合肥一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，則△ABC的外接圓的面積為(　　) A．4π B．8π C．

20、9π D．36π 答案　C 解析　∵bcos A＋acos B＝2， ∴b·＋a·＝2， ∴c＝2，由cos C＝， 得sin C＝，∴2R＝＝＝6，R＝3， S＝π×32＝9π，故選C. 5．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　) A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　∵sin 2α＝，α∈， ∴cos 2α＝－且α∈， 又∵sin(β－α)＝，β∈， ∴cos(β－α)＝－， ∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ＝×＋×＝－，

21、cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝×－×＝， 又α＋β∈，∴α＋β＝，故選A. 6．(2017·全國Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，則cos＝________. 答案　 解析　cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝(cos α＋sin α)． 又由α∈，tan α＝2知，sin α＝，cos α＝， ∴cos＝×＝. 7．(2017屆湖南省百所重點中學(xué)階段性診斷)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜

22、一十五里．里法三百步．欲知為田幾何．”這道題講的是有一個三角形沙田，三邊分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計算，則該沙田的面積為____平方千米. 答案　21 解析　設(shè)△ABC的對應(yīng)邊邊長分別為a＝13里，b＝14里，c＝15里， cos C＝＝?sin C＝?S＝×13×14××250 000＝21×106(平方米) ＝21(平方千米)． 8. (2017·河南省息縣第一高級中學(xué)階段測試)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝，cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，則BC的長為________． 答案　3 解析　因為cos∠BAD＝－， 故

23、sin∠BAD＝＝， 在△ADC中運(yùn)用余弦定理，可得 cos∠CAD＝＝， 則sin∠CAD＝＝， 所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝×＋×＝＝， 在△ABC中運(yùn)用正弦定理，可得 ＝?BC＝××＝3. 9．(2017·全國Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC面積為2，求b. 解　(1)由題設(shè)及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2， 故sin B＝4(1－cos B)． 上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0， 解得c

24、os B＝1(舍去)或cos B＝. 故cos B＝. (2)由cos B＝，得sin B＝， 故S△ABC＝acsin B＝ac. 又S△ABC＝2，則ac＝. 由余弦定理及a＋c＝6， 得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) ＝36－2××＝4， 所以b＝2. 10．(2017·浙江省“超級全能生”聯(lián)考)已知f(x)＝sin(ωx＋φ) 滿足f?＝－f(x)，若其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)． (1)求f(x)的解析式； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2c－a)cos B＝bco

25、s A，求f(A)的取值范圍． 解　(1)∵f?＝－f(x)， ∴f(x＋π)＝－f?＝f(x)， ∴T＝π，∴ω＝2， 則f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為g(x)＝sin，而g(x)為奇函數(shù)，則有＋φ＝kπ，k∈Z，而|φ|<，則有φ＝－， 從而f(x)＝sin. (2)∵(2c－a)cos B＝bcos A， 由正弦定理得2sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C， 又C∈，∴sin C≠0， ∴cos B＝，∴B＝. ∵△ABC是銳角三角形，C＝－A<， ∴

26、 B組　能力提高 11．(2017屆合肥教學(xué)質(zhì)量檢測)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C，若a＝，則b2＋c2的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C，由正弦定理得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝＝，∴A＝，∴B＋C＝.又△ABC為銳角三角形， ∴ ∴

27、sin2C)＝4 ＝4－2cos，又

28、且acos B＋bcos A＝2，則△ABC面積的最大值為________． 答案　 解析　由題設(shè)及余弦定理，可得 a＋b＝2?c＝2， 又由余弦定理可得22＝a2＋b2－2ab×， 即a2＋b2＝ab＋4， 又因為a2＋b2≥2ab， 所以ab＋4≥2ab?ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號， 由cos C＝，可得sin C＝＝＝， 所以三角形的面積S△ABC＝absin C ＝×ab＝ab≤×＝. 14．(2017屆南京市、鹽城市模擬)如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD＝6，BD＝3，DC＝2. (1)若AD⊥BC，求∠BAC的大??； (2)若∠ABC＝，求△ADC的面積． 解　 (1)設(shè)∠BAD＝α，∠DAC＝β. 因為AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2， 所以tan α＝，tan β＝， 所以tan∠BAC＝tan(α＋β) ＝＝＝1. 又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝. (2)設(shè)∠BAD＝α. 在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3. 由正弦定理得＝， 解得sin α＝. 因為AD＞BD，所以α為銳角， 從而cos α＝＝. 因此sin∠ADC＝sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝. △ADC的面積S＝×AD×DC·sin∠ADC ＝×6×2×＝(1＋)．