高考數(shù)學大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第一部分 考點八 導數(shù)及其應用 Word版含解析

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1、 考點八　導數(shù)及其應用 一、選擇題 1．求曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的封閉圖形的面積，其中正確的是(　　) A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy 答案　B 解析　依題意，在同一坐標系下畫出曲線y＝x2與直線y＝x的圖象(圖略)，注意到它們的交點坐標分別為(0,0)與(1,1)，結合圖形及定積分的幾何意義可知，相應的圖形的面積可用定積分表示為(x－x2)dx，選B. 2．已知函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x) 的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點的個數(shù)為(　　) A．

2、1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　如圖，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(c)＝0，且在點x＝c附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有1個極小值點，故選A. 3．(2019·天津南開區(qū)模擬)過函數(shù)f(x)＝x3－x2圖象上一個動點作圖象的切線，則切線傾斜角的范圍是(　　) A． B．∪ C． D． 答案　B 解析　因為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以斜率k＝tanα≥－1，解得傾斜角α∈∪. 4．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4

3、 答案　C 解析　f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．因為f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0，所以f(x)max＝f(0)＝2.故選C. 5．已知偶函數(shù)f(x)的定義域為R，且當x<0時，f(x)＝ln (－3x＋1)＋e－x，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為(　　) A．＋e B．＋e C．＋e D．＋e 答案　C 解析　由題意得，偶函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，∴f′(1)＝－f′(－1)，當x<0時，f′(x)＝－e－x，∴f′(－1)＝－－e，則f′(1)＝＋e，故選C. 6．(2019·遼寧丹東質(zhì)量測試

4、二)若x＝1是函數(shù)f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x的極值點，則a的值為(　　) A．－2 B．3 C．－2或3 D．－3或2 答案　B 解析　∵f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)，又f′(1)＝0，∴1＋2(a＋1)－(a2＋a－3)＝0，即a＝3或a＝－2，當a＝3時，f′(x)＝x2＋8x－9＝(x＋9)(x－1)，顯然x＝1是函數(shù)f(x)的極值點；當a＝－2時，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值，不符合題意，舍去，故選B. 7．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax在(－1,1)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范

5、圍是(　　) A．(1，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，3] 答案　B 解析　∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故選B. 8．(2019·黑龍江哈爾濱六中二模)牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點近似解的另一種方法，若定義xk(k∈N)是函數(shù)零點近似解的初始值，過點Pk(xk，f(xk))的切線為y＝f′(xk)(x－xk)＋f(xk)，切線與x軸交點的橫坐標xk＋1，即為函數(shù)零點近似解的下一個初始值，以此類推，滿足精度的初始值即為函數(shù)零點的近似解，設函數(shù)f(

6、x)＝x2－2，滿足x0＝2應用上述方法，則x3＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因為f′(x)＝2x，x0＝2，y0＝2，切線斜率k0＝4，切線方程y－2＝4(x－2)，令y＝0，得x1＝；x1＝，y1＝，切線斜率k1＝3，切線方程為y－＝3，令y＝0，得x2＝；x2＝，y2＝，切線斜率k2＝，切線方程為y－＝，令y＝0，得x3＝，故選D. 二、填空題 9．函數(shù)f(x)＝ln x－x2－x＋5的單調(diào)遞增區(qū)間為________． 答案　 解析　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，再由f′(x)＝－x－1>0可解得0

7、ax的圖象在點(0，f(0))處的切線與曲線y＝－ln x相切，則a＝________. 答案?。? 解析　因為f′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝1＋a，又f(0)＝1，所以切線方程為y＝(1＋a)x＋1，又y＝－ln x的導函數(shù)y′＝－，令切點坐標為(t，－ln t)，則－＝1＋a＝，解得t＝1，a＝－2. 11．設函數(shù)f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，x0>0，則x0＝________. 答案　 解析　依題意得＝3(ax＋b)，即3ax＝9a(a≠0)，x＝3(x0>0)，由此解得x0＝. 12．若函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋x＋6在R上有極值，

8、則實數(shù)m的取值范圍是________． 答案　m>4或m<－1 解析　由題意可知，f′(x)＝0有不等根，即方程3x2＋2mx＋m＋＝0有不等根，所以Δ>0，即4m2－12>0，解得m>4或m<－1. 三、解答題 13．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值4. (1)求實數(shù)a，b的值； (2)當a>0時，求曲線y＝f(x)在點(－2，f(－2))處的切線方程． 解　(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2， ∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b. ∵f(1)＝1＋a＋b＋a2＝4，f′(1)＝3＋2a＋b＝0， ∴或 經(jīng)檢驗都符合題意． (2)當a>

9、0時，由(1)得f(x)＝x3＋3x2－9x＋9， ∴f′(x)＝3x2＋6x－9. f(－2)＝31，f′(－2)＝－9. ∴所求的切線方程為y－31＝－9(x＋2)， 即9x＋y－13＝0. 14．已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝－(a為實常數(shù))． (1)當a＝1時，求函數(shù)φ(x)＝f(x)－g(x)在x∈[4，＋∞)上的最小值； (2)若方程e2f(x)＝g(x)(其中e＝2.71828…)在區(qū)間上有解，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當a＝1時，函數(shù)φ(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－＋，∴φ′(x)＝－＝. ∵x∈[4，＋∞)，∴φ′(x)>0. ∴函數(shù)

10、φ(x)＝f(x)－g(x)在x∈[4，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴當x＝4時，φ(x)min＝2ln 2－. (2)方程e2f(x)＝g(x)可化為x2＝－. ∴a＝x－x3. 設y＝x－x3，則y′＝－3x2. ∵x∈， ∴函數(shù)y＝x－x3在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． ∵x＝時，y＝；x＝時，y＝；x＝1時，y＝， ∴y∈，∴a∈. 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)＝x·2x，則下列結論正確的是(　　) A．當x＝時，f(x)取最大值 B．當x＝時，f(x)取最小值 C．當x＝－時，f(x)取最大值 D．當x＝－時，f(x)取最小值 答案　D 解析　由題意知，

11、f′(x)＝2x＋x·2xln 2，令f′(x)＝0，得x＝－，又當x<－時，f′(x)<0；當x>－時，f′(x)>0.∴當x＝－時，f(x)取最小值． 2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值為3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為(　　) A．0 B．－5 C．－10 D．－37 答案　D 解析　由題意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，當x<0或x>2時，f′(x)>0，當0

12、)＝－37，∴最小值為－37. 3．(2019·晉冀魯豫中原名校第三次聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝2x3－3ax2＋1在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．(1,2) 答案　B 解析　f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)．①當a≤0時，若x∈(0，＋∞)，則f′(x)>0，此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；②當a>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(a，＋∞)上單調(diào)遞增，因為f(0)＝1>0，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)有兩個零點，有f(a)＝2a3－

13、3a3＋1＝1－a3<0，得a>1，故選B. 4．(2019·江西吉安一模)過點P(1,1)且與曲線y＝x3相切的直線的條數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　若直線與曲線切于點(x0，y0)(x0≠0)，則k＝＝＝x＋x0＋1，又∵y′＝3x2，∴k＝3x，∴2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－，∴過點P(1，1)與曲線C：y＝x3相切的直線方程為3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0，故選C. 5．設f(x)＝(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　D 解析　依題意得，f(x)dx＝x2dx＋dx＝

14、x3＋ln x＝＋1＝. 6．曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋8＝0的最短距離是(　　) A．2 B．2 C．2 D． 答案　A 解析　當y′＝＝2時，x＝1，則點(1,0)到直線2x－y＋8＝0的距離是曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋8＝0的最短距離，即最短距離為＝2，故選A. 7．(2019·廣東揭陽二模)以下四個數(shù)中，最大的是(　　) A．ln B． C． D． 答案　B 解析　由題意，令f(x)＝，則f′(x)＝，∴x>e時，f′(x)<0，∴f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，又由e<3<π<，∴f(e)>f(3)>f(π)>f()

15、，則ln e>ln 3>ln π>ln ()， ∴>ln >>ln 15，故選B. 8．(2019·江西景德鎮(zhèn)二檢)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意x∈(0，＋∞)，都有f′(x)f(－b)－f(－a)，則下列關系式中正確的是(　　) A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)b2 D．a(chǎn)2

16、(x)，所以g(x)為偶函數(shù)，因為f(a)－f(b)>f(－b)－f(－a)?f(a)＋f(－a)>f(b)＋f(－b)?g(a)>g(b)，所以|a|<|b|，即a2

17、1對x∈R恒成立，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為________． 答案　10x＋4y－5＝0 解析　∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，　① ∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，　② 聯(lián)立①②，得f(x)＝－x3－x＋，則 f′(x)＝－x2－1，∴f′(1)＝－－1＝－， 又f(1)＝－－1＋＝－， ∴切線方程為y＋＝－(x－1)，即10x＋4y－5＝0. 11．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm.要使體積最大，則高為________ cm. 答案　 解析　設高為h cm，則底面半徑r＝(cm)，所以體積V＝r2h＝h(400