（通用版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題四 概率與統(tǒng)計教學(xué)案 文

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1、 專題四 概率與統(tǒng)計 [研高考·明考點] 年份 卷別 小題考查 大題考查 2017 卷Ⅰ T2·用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 T19·相關(guān)系數(shù)的計算，均值、標(biāo)準(zhǔn)差公式的應(yīng)用 T4·數(shù)學(xué)文化，有關(guān)面積的幾何概型 卷Ⅱ T11·古典概型的概率計算 T19·頻率分布直方圖，頻率估計概率，獨立性檢驗 卷Ⅲ T3·折線圖的識別與應(yīng)用 T18·頻數(shù)分布表，用頻率估計概率 2016 卷Ⅰ T3·古典概型求概率 T19·柱狀圖、頻數(shù)、平均值，用樣本估計總體 卷Ⅱ T8·與時間有關(guān)的幾何概型求概率 T18·頻數(shù)、頻率估計概率，平均值的應(yīng)用 卷Ⅲ T4·統(tǒng)

2、計圖表的應(yīng)用 T18·變量間的線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程的求解與應(yīng)用 T5·古典概型求概率 2015 卷Ⅰ T4·新定義、古典概型求概率 T19·散點圖，求回歸方程及函數(shù)的最值 卷Ⅱ T3·條形圖、兩個變量的相關(guān)性 T18·頻率分布直方圖，方差，用頻率估計概率 [析考情·明重點] 小題考情分析 大題考情分析 ?？键c 1.用樣本估計總體(3年3考) 2.古典概型與幾何概型(3年6考) ?？键c 高考對概率、統(tǒng)計這部分在解答題中的考查綜合性較強(qiáng)，將概率、統(tǒng)計的有關(guān)知識(特別是直方圖、樣本數(shù)字特征等)有機(jī)地交融在一起，有時僅考查利用統(tǒng)計知識(特別是線性回歸方程)解決

3、實際問題，題型主要有： 1.概率與用樣本估計總體交匯問題 2.回歸分析與統(tǒng)計的交匯問題 偶考點 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例 偶考點 獨立性檢驗與統(tǒng)計的交匯問題 第一講 小題考法——概率、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 考點(一) 主要考查用統(tǒng)計圖表估計總體以及利用樣本的數(shù)字特征估計總體，且以統(tǒng)計圖表的考查為主. 用樣本估計總體 [典例感悟] [典例]　(1)(2016·全國卷Ⅲ)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃.下面敘述不正確的是(　　)

4、 A．各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于20 ℃的月份有5個 (2)為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．考慮以下結(jié)論： ①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫； ②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫； ③甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差； ④甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差． 其中根據(jù)莖葉圖能得到

5、的統(tǒng)計結(jié)論的編號為(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ (3)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(　　) A．100,10 B．200,10 C．100,20 D．200,20 [解析]　(1)由圖形可得各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上，A正確；七月的平均溫差約為10 ℃，而一月的平均溫差約為5 ℃，B正確；三月和十一月的平均最高氣溫都在10 ℃左右，基本相同，C正確；平均最高氣溫高于20℃的月份有2個，故D錯誤．

6、 (2)∵甲＝＝29， 乙＝＝30， ∴甲<乙． 又s＝＝， s＝＝2， ∴s甲>s乙．故可判斷結(jié)論①④正確． (3)易知樣本容量為(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200；抽取的高中生人數(shù)為2 000×2%＝40，由于其近視率為50%，所以近視的人數(shù)為40×50%＝20. [答案]　(1)D　(2)B　(3)D [方法技巧] 1．方差的計算與含義 (1)計算：計算方差首先要計算平均數(shù)，然后再按照方差的計算公式進(jìn)行計算． (2)含義：方差是描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)，方差大說明波動大． 2．與頻率分布直方圖有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)已

7、知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可以求出其他數(shù)據(jù)． (2)已知頻率分布直方圖，求某個范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結(jié)合求解． [演練沖關(guān)] 1．(2017·全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至

8、12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 解析：選A　根據(jù)折線圖可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在減少，所以A錯誤．由圖可知，B、C、D正確． 2．(2017·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為(　　) A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7 解析：選A　由兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它們的平均值相等，所以×[56＋62＋65＋74＋(70＋x)]＝×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x＝3. 3．某

9、電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2017年度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示． (1)直方圖中的a＝________； (2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________． 解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3. (2)區(qū)間[0.3,0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]內(nèi)的頻率為1－0.4＝0.6. 因此，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物

10、者的人數(shù)為0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3　(2)6 000 考點(二) 主要考查線性回歸方程的求解及應(yīng)用，對獨立性檢驗的考查較少. 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例 [典例感悟] [典例]　(1)(2017·蘭州診斷)已知某種商品的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 m 70 根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋17.5，則表中m的值為(　　) A．45 B．50 C．55 D．60 (2)(2017·

11、南昌模擬)設(shè)某中學(xué)的高中女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到回歸直線方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．y與x具有正線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點的中心(，) C．若該中學(xué)某高中女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該中學(xué)某高中女生身高為160 cm，則可斷定其體重必為50.29 kg [解析]　(1)＝＝5， ＝＝. ∵當(dāng)＝5時，＝6.5×5＋17.5＝50， ∴＝50，解得m＝60. (2)因為回歸直線方程＝0.85

12、x－85.71中x的系數(shù)為0.85>0，因此y與x具有正線性相關(guān)關(guān)系，所以選項A正確；由最小二乘法及回歸直線方程的求解可知回歸直線過樣本點的中心(，)，所以選項B正確；由于用最小二乘法得到的回歸直線方程是估計值，而不是具體值，所以若該中學(xué)某高中女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg，所以選項C正確，選項D不正確． [答案]　(1)D　(2)D [方法技巧] 求回歸直線方程的關(guān)鍵及實際應(yīng)用 (1)求回歸直線方程的關(guān)鍵是正確理解，的計算公式和準(zhǔn)確地求解． (2)在分析實際中兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則

13、可通過線性回歸方程估計和預(yù)測變量的值． [演練沖關(guān)] 1．(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)廣告投入對商品的銷售額有較大影響．某電商對連續(xù)5個年度的廣告費x和銷售額y進(jìn)行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示(單位：萬元)： 廣告費x 2 3 4 5 6 銷售額y 29 41 50 59 71 由上表可得回歸方程為＝10.2x＋，據(jù)此模型，預(yù)測廣告費為10萬元時的銷售額約為(　　) A．101.2萬元 B．108.8萬元 C．111.2萬元 D．118.2萬元 解析：選C　根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)表，可得＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(29＋41＋50＋59＋71

14、)＝50，而回歸直線＝10.2x＋經(jīng)過樣本點的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋，解得＝9.2，∴回歸方程為＝10.2x＋9.2.當(dāng)x＝10時，y＝10.2×10＋9.2＝111.2，故選C. 2．(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系時，通過查閱下表來確定“X和Y有關(guān)系”的可信度．如果k>3.841，那么有把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”的百分比為(　　) P(K2>k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323

15、 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.5% B．75% C．99.5% D．95% 解析：選D　由表中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)k>3.841時，有0.05的機(jī)率說明這兩個變量之間的關(guān)系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的機(jī)率，也就是有95%的把握認(rèn)為變量之間有關(guān)系，故選D. 考點(三) 主要考查古典概型及幾何概型概率公式的應(yīng)用. 古典概型與幾何概型 [典例感悟] [典例]　(1)(2016·全國卷Ⅲ)小敏打開計算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,

16、5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. (2)(2017·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) A. B. C. D. (3)(2018屆高三·湖北五市十校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2AD，在CD上任取一點P，△ABP的最大邊是AB的概率為(　　) A. B. C.－1 D.－1 [解析]　(1)

17、∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件總數(shù)有15種． ∵正確的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝. (2)不妨設(shè)正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為π.由題意，得S黑＝S圓＝，故此點取自黑色部分的概率P＝＝. (3)分別以A，B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當(dāng)P在線段P1P2間運動時，能使得△ABP的最大邊是AB，在Rt△P2BC中，BP2＝2，BC＝1，故CP2＝，DP2＝2－，同理

18、CP1＝2－，所以P1P2＝2－(2－)×2＝2－2，所以＝－1，即△ABP的最大邊是AB的概率為－1. [答案]　(1)C　(2)B　(3)D [方法技巧] 1．利用古典概型求概率的關(guān)鍵及注意點 (1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)． (2)對于較復(fù)雜的題目條件計數(shù)時要正確分類，分類時應(yīng)不重不漏． 2．幾何概型的適用條件及求解關(guān)鍵 (1)當(dāng)構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解． (2)求解關(guān)鍵是尋找構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域． [演練沖關(guān)] 1．

19、(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)從集合A＝{－2，－1,2}中隨機(jī)選取一個數(shù)記為a，從集合B＝{－1,1,3}中隨機(jī)選取一個數(shù)記為b，則直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　從集合A，B中隨機(jī)選取一個數(shù)后組合成的數(shù)對有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9對，要使直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限，則需a≥0，b≥0，共有2對滿足，所以所求概率P＝，故選A. 2．(2017·長春質(zhì)檢)如圖，扇形AOB的圓心角為120°，點P在弦AB上，且AP

20、＝AB，延長OP交弧AB于點C，現(xiàn)向扇形AOB內(nèi)投一點，則該點落在扇形AOC內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)OA＝3，則AB＝3，AP＝，由余弦定理可求得OP＝，則∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面積為，又扇形AOB的面積為3π，從而所求概率為＝. 3．(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a，b，則一共有25個不同的數(shù)組(a，b)，其中滿足a＞b的數(shù)組共有10

21、個，分別為(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝＝. 4．(2017·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍(lán))，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍(lán)，綠)，(藍(lán)，紫)，(綠，紫)．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)

22、，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率P＝＝. 5．(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________． 解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，則所求概率P＝＝. 答案： [必備知能·自主補(bǔ)缺] (一) 主干知識要記牢 1．概率的計算公式 (1)古典概型的概率計算公式 P(A)＝； (2)互斥事件的概率計算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (3)對立事

23、件的概率計算公式 P()＝1－P(A)； (4)幾何概型的概率計算公式 P(A)＝. 2．抽樣方法 (1)三種抽樣方法的比較 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨 機(jī)抽樣 是不放回抽樣，抽樣過程中，每個個體被抽到的機(jī)會(概率)相等 從總體中逐個抽取 總體中的個數(shù)較少 系統(tǒng) 抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則，在各部分抽取 在起始部分抽樣時，采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中的個數(shù)比較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 各層抽樣時，采用簡單隨機(jī)抽樣或者系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 (2)分層抽樣中公式的運用

24、 ①抽樣比＝＝； ②層1的數(shù)量∶層2的數(shù)量∶層3的數(shù)量＝樣本1的容量∶樣本2的容量∶樣本3的容量． 3．用樣本數(shù)字特征估計總體 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 定義 特點 眾數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，不受極端值的影響，而且不唯一 中位數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 中位數(shù)不受極端值的影響，僅利用了排在中間數(shù)據(jù)的信息，只有一個 平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，只有一個 (2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差 方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大小． ①方差： s2

25、＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]； ②標(biāo)準(zhǔn)差： s＝ . (二) 二級結(jié)論要用好 1．頻率分布直方圖的3個結(jié)論 (1)小長方形的面積＝組距×＝頻率． (2)各小長方形的面積之和等于1. (3)小長方形的高＝，所有小長方形高的和為. 2．與平均數(shù)和方差有關(guān)的4個結(jié)論 (1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a； (2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x＝x1＋a，x＝x2＋a，…，x＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變； (3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…

26、，axn＋b的方差為a2s2； (4)s2＝(xi－)2＝－2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方． 求s2時，可根據(jù)題目的具體情況，結(jié)合題目給出的參考數(shù)據(jù)，靈活選用公式形式． 3．線性回歸方程 線性回歸方程＝x＋一定過樣本點的中心(，)． [針對練1]　(2018屆高三·惠州調(diào)研)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進(jìn)行了5次試驗．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)： 零件數(shù)x/個 10 20 30 40 50 加工時間y/分鐘 62 68 75 81 89 由最小二乘法求得回歸方程＝0.67x＋，則的值為________． 解析：因為＝＝

27、30， ＝＝75， 所以回歸直線一定過樣本點的中心(30,75)， 將其代入＝0.67x＋，可得75＝0.67×30＋，解得＝54.9. 答案：54.9 (三) 易錯易混要明了 1．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和． 2．正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件． 3．混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯． 4．在求解幾何概型的概率時，要注意分清幾何

28、概型的類別(體積型、面積型、長度型、角度型等)． [針對練2]　一種小型電子游戲的主界面是半徑為r的圓，點擊圓周上的點A后，該點在圓周上隨機(jī)轉(zhuǎn)動，最后落在點B處，當(dāng)線段AB的長不小于r時自動播放音樂，則一次轉(zhuǎn)動能播放音樂的概率為________． 解析：如圖，當(dāng)|AB|≥r，即點B落在劣弧CC′上時才能播放音樂．又劣弧CC′所對應(yīng)的圓心角為，所以一次轉(zhuǎn)動能播放音樂的概率為＝. 答案： [課時跟蹤檢測] A組——12＋4提速練 一、選擇題 1．(2017·南昌模擬)某校

29、為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一1 000人、高二1 200人、高三n人中，抽取81人進(jìn)行問卷調(diào)查．已知高二被抽取的人數(shù)為30，那么n＝(　　) A．860 B．720 C．1 020 D．1 040 解析：選D　根據(jù)分層抽樣方法，得×81＝30，解得n＝1 040. 2．(2018屆高三·西安八校聯(lián)考)某班對八校聯(lián)考成績進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時，先將60個同學(xué)按01,02,03，…，60進(jìn)行編號，然后從隨機(jī)數(shù)表第9行第5列的數(shù)開始向右讀，則選出的第6個個體是(　　) (注：下表為隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行) 第8行 第9行 A．07 B．25

30、 C．42 D．52 解析：選D　依題意得，依次選出的個體分別為12,34,29,56,07,52，…因此選出的第6個個體是52，故選D. 3．(2017·寶雞質(zhì)檢)對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測，樣本容量為200，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間[25,30)的為一等品，在區(qū)間[20,25)和[30,35)的為二等品，其余均為三等品，則該樣本中三等品的件數(shù)為(　　) A．5 B．7 C．10 D．50 解析：選D　根據(jù)題中的頻率分布直方圖可知，三等品的頻率為1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.

31、25，因此該樣本中三等品的件數(shù)為200×0.25＝50，故選D. 4．(2016·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　因為x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對應(yīng)的數(shù)

32、對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點所對應(yīng)的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個．用隨機(jī)模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝. 5．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　) A．－1 B．0 C. D．1 解析：選D　因為所有樣本點都在直線y＝x＋1上，所以這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1. 6．甲、乙兩位歌手在“中國新歌聲”選拔賽中，5次得分情況如圖所示．記甲、乙兩人的平均得分分別為甲，

33、乙，則下列判斷正確的是(　　) A.甲＜乙，甲比乙成績穩(wěn)定 B.甲＜乙，乙比甲成績穩(wěn)定 C.甲＞乙，甲比乙成績穩(wěn)定 D.甲＞乙，乙比甲成績穩(wěn)定 解析：選B　甲＝＝85， 乙＝＝86， s＝[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52， s＝[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6， 所以甲＜乙，s＞s，故乙比甲成績穩(wěn)定，故選B. 7．(2017·洛陽統(tǒng)考)若θ∈[0，π]，則sin>成立的概率為(　　) A. B. C. D．1 解析：選B　

34、依題意，當(dāng)θ∈[0，π]時，θ＋∈，由sin>得≤θ＋<，即0≤θ<.因此，所求的概率為＝. 8．將一枚骰子先后拋擲兩次，并記朝上的點數(shù)分別為m，n，m為2或4時，m＋n>5的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　依題意得，先后拋擲兩次骰子所得的點數(shù)對(m，n)為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，…，(6,5)，(6,6)，共有36組，其中當(dāng)m＝2或4時，相應(yīng)的點數(shù)對(m，n)共有12組．當(dāng)m＝2時，滿足m＋n>5，即n>3的點數(shù)對(m，n)共有3組；當(dāng)m＝4時，滿足m＋n>5，即n>1的點數(shù)對(m，n)共有5組，因此所求的概率為＝.

35、 9．(2017·惠州調(diào)研)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中各隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)田忌的上、中、下三個等次的馬分別為A，B，C，齊王的上、中、下三個等次的馬分別為a，b，c，從雙方的馬匹中各隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽的所有可能結(jié)果有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9種，田忌馬獲勝有Ab，Ac，Bc，共3種，所以田忌的馬獲勝的概率為. 10．(2018屆高三·西安八校

36、聯(lián)考)在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}內(nèi)隨機(jī)投入一點P，則點P的坐標(biāo)(x，y)滿足y≤2x的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　依題意得，不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的正方形ABCD的內(nèi)部(含邊界)，其面積為1×1＝1，不等式組表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分(含邊界)，其面積為××1＝，因此所求的概率為. 11．(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　若直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交，則圓心到直線的距離

37、d＝<1，解得－m C．n＝m D．不能確定 解析：選A　由題意可得，＝， ＝， 則＝＝·＋·＝·＋·＝a＋(1－a)，所以＝a，＝1－a，又0

38、x1，x2，…，x2 017的方差是4，若yi＝2xi－1(i＝1,2，…，2 017)，則y1，y2，…，y2 017的方差為________． 解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則yi＝2xi－1的平均數(shù)為2－1，則y1，y2，…，y2 017的方差為[(2x1－1－2＋1)2＋(2x2－1－2＋1)2＋…＋(2x2 017－1－2＋1)2]＝4×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x2 017－)2]＝4×4＝16. 答案：16 14．(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝logax＋log8(a>0，且a≠1)，在集合，，，3,4,5，6,7中任取一個數(shù)a，則f(3a＋1)

39、>f(2a)>0的概率為________． 解析：∵3a＋1>2a，f(3a＋1)>f(2a)，f(x)＝logax－loga8，∴a>1.又f(2a)>0，∴2a>8，即a>4，符合條件的a的值為5,6,7，故所求概率為. 答案： 15．(2017·張掖模擬)在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個數(shù)θ，則使≤sin θ＋cos θ≤2成立的概率為________． 解析：由≤sin θ＋cos θ≤2，得≤sinθ＋≤1，結(jié)合θ∈[0，π]，得滿足條件的θ∈，∴使≤sin θ＋cos θ≤2成立的概率為＝. 答案： 16．甲、乙兩人在5次綜合測評中成績的莖葉圖如圖所示，其中一個數(shù)字被污

40、損，記甲、乙的平均成績分別為甲，乙，則甲>乙的概率是________． 解析：設(shè)污損處的數(shù)字為m，由(84＋85＋87＋90＋m＋99)＝(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即當(dāng)m＝5時，甲、乙兩人的平均成績相等．m的取值有0,1,2,3，…，9，共10種可能，其中，當(dāng)m＝6,7,8,9時，甲>乙，故所求概率為＝. 答案： B組——能力小題保分練 1．(2017·成都模擬)兩位同學(xué)約定下午5：30～6：00在圖書館見面，且他們5：30～6：00之間到達(dá)的時刻是等可能的，先到的同學(xué)須等待，若15分鐘后還未見面便離開．則這兩位同學(xué)能夠見面的概率是(　　) A. B. C.

41、 D. 解析：選D　如圖所示，以5：30作為原點O，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)兩位同學(xué)到達(dá)的時刻分別為x，y，設(shè)事件A表示兩位同學(xué)能夠見面，所構(gòu)成的區(qū)域為A＝{(x，y)||x－y|≤15}，即圖中陰影部分，根據(jù)幾何概型概率計算公式得P(A)＝＝. 2．(2017·廣州模擬)四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著一枚完全相同的硬幣，所有人同時拋出自己的硬幣．若硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續(xù)坐著．那么沒有相鄰的兩個人站起來的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　四個人按順序圍成一桌，同時拋出自己的硬幣拋出的硬幣正面記為0，反面記為1，則總的基

42、本事件為(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,0,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,0)，(1,0,1,1)，(1,1,0,0)(1,1,0,1)，(1,1,1,0)，(1,1,1,1)，共有16種情況．若四個人同時坐著，有1種情況；若三個人坐著，一個人站著，有4種情況；若兩個人坐著，兩個人站著，此時沒有相鄰的兩個人站起來有2種情況．所以沒有相鄰的兩個人站起來的情況共有1＋4＋2＝7種，故所求概率為. 3．一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差

43、不為0的等差數(shù)列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是(　　) A．13,12 B．13,13 C．12,13 D．13,14 解析：選B　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝a＝64，即(8－2d)(8＋4d)＝64，又d≠0，所以d＝2，故樣本數(shù)據(jù)為：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均數(shù)為＝＝13，中位數(shù)為＝13. 4．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 7 y 4.0 a－5.4 －0.5 0.5 b－0.6 得到的回歸方程為＝bx＋a.若樣本點的中心

44、為(5,0.9)，則當(dāng)x每增加1個單位時，y就(　　) A．增加1.4個單位 B．減少1.4個單位 C．增加7.9個單位 D．減少7.9個單位 解析：選B　依題意得，＝0.9，故a＋b＝6.5；① 又樣本點的中心為(5,0.9)，故0.9＝5b＋a，② 聯(lián)立①②，解得b＝－1.4，a＝7.9，則＝－1.4x＋7.9， 所以當(dāng)x每增加1個單位時，y就減少1.4個單位． 5．正六邊形ABCDEF的邊長為1，在正六邊形內(nèi)隨機(jī)取點M，則使△MAB的面積大于的概率為________． 解析：如圖所示，作出正六邊形ABCDEF，其中心為O，過點O作OG⊥AB，垂足為G，則OG的長為

45、中心O到AB邊的距離． 易知∠AOB＝＝60°，且OA＝OB，所以△AOB是等邊三角形，所以O(shè)A＝OB＝AB＝1，OG＝OA·sin 60°＝1×＝，即對角線CF上的點到AB的距離都為. 設(shè)△MAB中AB邊上的高為h，則由S△MAB＝×1×h>，解得h>. 所以要使△MAB的面積大于，只需滿足h>，即需使M位于CF的上方．故由幾何概型得，△MAB的面積大于的概率P＝＝. 答案： 6．某班運動隊由足球運動員18人、籃球運動員12人、乒乓球運動員6人組成(每人只參加一項)，現(xiàn)從這些運動員中抽取一個容量為n的樣本，若分別采用系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法，則都不用剔除個體；當(dāng)樣本容量為n＋1時

46、，若采用系統(tǒng)抽樣法，則需要剔除1個個體，那么樣本容量n為________． 解析：總體容量為6＋12＋18＝36.當(dāng)樣本容量為n時，由題意可知，系統(tǒng)抽樣的抽樣距為，分層抽樣的抽樣比是，則采用分層抽樣法抽取的乒乓球運動員人數(shù)為6×＝，籃球運動員人數(shù)為12×＝，足球運動員人數(shù)為18×＝，可知n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，故n＝6,12,18.當(dāng)樣本容量為n＋1時，剔除1個個體，此時總體容量為35，系統(tǒng)抽樣的抽樣距為，因為必須是整數(shù)，所以n只能取6，即樣本容量n為6. 答案：6 第二講 大題考法——概率與統(tǒng)計 題型(一) 主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型、頻率分布直方圖、莖葉圖等的應(yīng)用.

47、 概率與用樣本估計總體的交匯問題 [典例感悟] [典例1]　(2016·全國卷Ⅰ)某公司計劃購買1臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 記x表示1臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，n表示購機(jī)的同時購買的易損零件數(shù)． (1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式； (2)若要

48、求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值； (3)假設(shè)這100臺機(jī)器在購機(jī)的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機(jī)器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機(jī)器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？ [解]　(1)當(dāng)x≤19時，y＝3 800； 當(dāng)x＞19時，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，所以y與x的函數(shù)解析式為 y＝(x∈N)． (2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19. (3)若每臺機(jī)器在購機(jī)同時都購買1

49、9個易損零件，則這100臺機(jī)器中有70臺在購買易損零件上的費用為3 800(元)，20臺的費用為4 300(元)，10臺的費用為4 800(元)，因此這100臺機(jī)器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)． 若每臺機(jī)器在購機(jī)同時都購買20個易損零件，則這100臺機(jī)器中有90臺在購買易損零件上的費用為4 000(元)，10臺的費用為4 500(元)，因此這100臺機(jī)器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機(jī)器的同時應(yīng)購買19個易損零件． [備課

50、札記]　 　 [方法技巧] 解決概率與用樣本估計總體交匯問題的方法 [演練沖關(guān)] 1．(2017·全國卷Ⅲ

51、)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫

52、位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率． 解：(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)， 則Y＝6×300

53、＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以Y的所有可能值為900,300，－100. Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 題型(二) 主要考查線性回歸方程的求解與應(yīng)用. 回歸分析與統(tǒng)計的交匯問題 [典例感悟] [典例2]　(2016·全國卷Ⅲ)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

54、 (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量． 參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝，回歸方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－ . [解]　(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55，(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r≈≈0.99. 因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系． (2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0

55、.103.＝－ ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y關(guān)于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t. 將2016年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸． [備課札記]　

56、 　 [方法技巧] 破解回歸分析問題的關(guān)鍵 (1)會依據(jù)表格及公式＝，＝－求線性回歸方程中的參數(shù)的值，注意不要代錯公式； (2)已知變量的某個值去預(yù)測相應(yīng)預(yù)報變量時，只需把該值代入回歸方程＝x＋中． [演練沖關(guān)] 2．(2017·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3

57、 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212, ≈18.439，(xi－)(i－8.5)＝－2.78，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16. (1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答

58、是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|＜0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)． (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． ①從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？ ②在(－3s，＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．(精確到0.01) 附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關(guān)系數(shù) r＝，≈0.09. 解：(1)由樣本數(shù)據(jù)得

59、(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)為r＝＝≈－0.18.由于|r|＜0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。? (2)①由于＝9.97，s≈0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．②剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(16×9.97－9.22)＝10.02，所以這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02，＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.134－9.222－15×10.0

60、22)≈0.008，所以這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為≈0.09. 題型(三) 主要考查抽樣、隨機(jī)事件、古典概型、頻率分布直方圖的應(yīng)用以及K2的計算與應(yīng)用. 獨立性檢驗與概率、統(tǒng)計的交匯問題 [典例感悟] [典例3]　(2017·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50 k

61、g 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較． K2＝. [解]　(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估計值為0.62. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 根據(jù)表中數(shù)據(jù)及K2的計算公式得， K2＝≈15.705. 由于15.705＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)

62、量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法． [備課札記]　

63、 　 [方法技巧] (1)假設(shè)兩個分類變量X與Y無關(guān)系； (2)找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表； (3)由公式K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)計算出K2的觀測值； (4)將K2的觀測值與臨界值進(jìn)行對比，進(jìn)而得出統(tǒng)計推斷，這些臨界值，在考題中常會附在題后． [演練沖關(guān)] 3．(2017·長春質(zhì)檢)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研，力爭有效地改良玉

64、米品種，為農(nóng)民提供技術(shù)支援．現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖(單位：厘米)，設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米． (1)列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)？ (2)為了改良玉米品種，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株，再從這5株玉米中選取2株進(jìn)行雜交試驗，則選取的植株均為矮莖的概率是多少？ 附： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6

65、35 7.879 10.828 解：(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得2×2列聯(lián)表如下： 抗倒伏 易倒伏 總計 矮莖 15 4 19 高莖 10 16 26 總計 25 20 45 由于K2的觀測值k＝≈7.287>6.635，因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)． (2)按照分層抽樣的方法抽到的高莖玉米有2株，設(shè)為A，B，抽到的矮莖玉米有3株，設(shè)為a，b，c，從這5株玉米中取出2株的取法有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種，其中均為矮莖的選取方法有ab，ac，bc，共3種，因此選取的植株均為矮莖的概

66、率是. 概率問題重在“辨”——辨析、辨型 [循流程思維——入題快] 概率問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要找到模型，問題便迎刃而解．而概率模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過程，常常因題設(shè)條件理解不準(zhǔn)，某個概念認(rèn)識不清而誤入歧途．另外，還需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗的區(qū)別，合理劃分復(fù)合事件． [按流程解題——快又準(zhǔn)] [典例]　(2016·全國卷Ⅱ)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機(jī)調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表： 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 (1)記A為事件：“一續(xù)保人