6、(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值．
[解] (1)因為a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，則sin x＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0.
于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f (x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因為x∈[0，π]，所以x＋∈，
從而－1≤cos≤.
于是，當(dāng)x＋＝，即x＝0時，f (x)取到最大值3；
當(dāng)x＋＝π，即x＝時，f (x)取到最小值－2.
[命題規(guī)律]
7、
(1)高考對三角函數(shù)圖象的考查主要包括三個方面：一是用五點法作圖，二是圖象變換，三是已知圖象求解析式或求解析式中的參數(shù)的值，常以填空題的形式考查．
(2)高考對三角函數(shù)性質(zhì)的考查是重點，以解答題為主，考查y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、單調(diào)性、對稱性以及最值等，常與平面向量、三角形結(jié)合進(jìn)行綜合考查，試題難度屬中低檔．
(3)三角恒等變換包括三角函數(shù)的概念，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的關(guān)系，和、差角公式和二倍角公式，要抓住這些公式間的內(nèi)在聯(lián)系，做到熟練應(yīng)用，解三角形既是對三角函數(shù)的延伸又是三角函數(shù)的主要應(yīng)用，因此，在一套高考試卷中，既有填空題，還有解答題，總分占20分左右．
預(yù)測201
8、8年高考中，熱點是解答題，可能是三角函數(shù)恒等變換與解三角形綜合，平面向量、三角函數(shù)與解三角形綜合．
———————主干整合·歸納拓展———————
(對應(yīng)學(xué)生用書第16頁)
[第1步▕ 核心知識再整合]
1．三角函數(shù)的定義
設(shè)α是一個任意大小的角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)sin2 α＋cos2α＝1.
(2)tan α＝.
3．巧記六組誘導(dǎo)公式
對于“±α，k∈Z的三角函數(shù)值”與“α角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶：奇變偶不變，符號看象限．
4．辨明常用三
9、種函數(shù)的易誤性質(zhì)
函數(shù)
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象
單調(diào)性
在(k∈Z)上單調(diào)遞增；在(k∈Z)上單調(diào)遞減
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減
在(k∈Z)上單調(diào)遞增
對稱性
對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z)
對稱中心：(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z)
對稱中心：(k∈Z)
5.識破三角函數(shù)的兩種常見變換
6．“死記”兩組三角公式
(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：
①sin(α±β)＝sin αcos β±cos
10、 αsin β.
②cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.
③tan(α±β)＝.
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式：
①sin 2α＝2sin αcos α.
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
③tan 2α＝.
7．“熟記”兩個定理
(1)正弦定理：
＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)．
變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)余弦定理：
a2＝b2＋c2－2b
11、ccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推論：cos A＝，cos B＝，
cos C＝.
變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
a2＋b2－c2＝2abcos C.
[第2步▕ 高頻考點細(xì)突破]
三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
【例1】 (泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－x,6)，且cos α＝，則x的值為________.
【導(dǎo)學(xué)號：56394029】
[解析] 因為r＝，所以＝，解之得x＝－8.
[答案] －8
12、【例2】 (江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)已知3sin α＋4cos α＝5，則tan α＝________.
[解析] ∵3sin α＋4cos α＝5，
∴5sin(α＋β)＝5，
∴sin(α＋β)＝1，
∴α＝2kπ＋－β(k∈Z)，
∴tan α＝tan＝＝.
[答案]
[規(guī)律方法] (1)利用三角函數(shù)定義將角的終邊上點的坐標(biāo)和三角函數(shù)值建立了聯(lián)系，但是注意角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸．
(2)將齊次式用tan α表示．注意角的變換．
[舉一反三]
(江蘇省揚州市2017屆高三上學(xué)期期末)已知cos＝，則sin(π＋α)＝______
13、__.
[∵0＜α＜，
∴＋α∈，
又cos＝，
∴sin＝，
∴sin(π＋α)＝－sin α＝－sin
＝－sincos ＋cossin
＝－×＋×＝.]
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【例3】 (泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知函數(shù)f (x)＝Asin的部分圖象如圖5－1所示，P，Q 分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標(biāo)為(2，A)，點R的坐標(biāo)為(2,0)．若∠PRQ＝，則y＝f (x)的最大值是________．
圖5－1
[解析] 由題設(shè)可知T＝＝12，則P(2，A)，R(2,0)，Q(8，－A)，所以PR＝A，PQ＝，RQ＝，由余弦定理可得
14、
4A2＋36＝A2＋A2＋36－2Acos 120°，解之得A＝2.
[答案] 2
【例4】 (泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)函數(shù)f (x)＝sin x－cos x
(－π≤x≤0)的單調(diào)增區(qū)間是________．
[解析] 因為f (x)＝sin x－cos x＝2sin，所以增區(qū)間為2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，即2kπ－≤x≤2kπ＋，取k＝0可得－≤x≤，又－π≤x≤0，故－≤x≤0.
[答案]
【例5】 (江蘇省蘇州市2017屆高三上學(xué)期期中)已知函數(shù)f (x)＝sin(ω＞0)，將函數(shù)y＝f (x)的圖象向右平移π個單位長度后，所得圖象與原
15、函數(shù)圖象重合，則ω的最小值等于________．
[解析] ∵函數(shù)y＝sin的圖象向右平移π個單位后與原圖象重合，
∴π＝n×，n∈Z，
∴ω＝3n，n∈Z，
又ω＞0，故其最小值是3.
[答案] 3
[規(guī)律方法] (1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是在其定義域內(nèi)，先化簡三角函數(shù)式，盡量化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．
(2)對于形為y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函數(shù)，要通過引入輔助角化為y＝sin(ωx＋φ)(cos φ＝，sin φ＝)的形式來求．
(3)對于y＝Asin(ωx＋φ)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時，一般將ω化
16、為大于0的值．
[舉一反三]
1．(江蘇省如東高級中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研)如圖5－2所示為函數(shù)f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，現(xiàn)將函數(shù)y＝f (x)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的解析式為________.
【導(dǎo)學(xué)號：56394030】
圖5－2
sin [因為T＝－＝π，所以T＝π＝，故ω＝2，又A＝1，sin＝1，即φ＋＝，也即φ＝，所以f (x)＝sin，向右平移個單位后得g(x)＝sin＝sin.]
2．(江蘇省南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)將函數(shù)y＝3sin的圖象向右平移φ個單位后，所得函數(shù)為
17、偶函數(shù)，則φ＝________.
[由題意得y＝3sin為偶函數(shù)，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈Z)，又0＜φ＜，所以φ＝.]
三角恒等變換和解三角形
【例6】 (江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面積S＝，則邊AC等于________．
[解析] 由三角形面積公式得BC·BA·sin B＝?·1·BA·sin ＝?BA＝4，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝16＋1－2×1×4×＝13，AC＝.
[答案]
【例7】 (2016－2017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)已知函數(shù)
f (
18、x)＝2sin·cos x.
(1)若0≤x≤，求函數(shù)f (x)的值域；
(2)設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A為銳角且f (A)＝，b＝2，c＝3，求cos(A－B)的值．
[解] (1)f (x)＝cos x＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，
由0≤x≤得，≤2x＋≤，－≤sin≤1，
∴0≤sin＋≤1＋，
即函數(shù)f (x)的值域為.
(2)由f (A)＝sin＋＝得sin＝0，
又由0＜A＜，∴＜2A＋＜，
∴2A＋＝π，A＝，
在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，
19、得a＝，
由正弦定理＝，得sin B＝＝，
∵b＜a，∴B＜A，∴cos B＝，
∴cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝×＋×＝.
[規(guī)律方法] (1)在三角形中考查三角函數(shù)式的變換， 是近幾年高考的熱點．這種題是在新的載體上進(jìn)行的三角變換，因此要時刻注意它的兩重性：其一，作為三角形問題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，應(yīng)及時進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；其二，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問題獲得解決的突破口．
(2)在解三角形時，三角形內(nèi)角的余弦值為正，該角一定為銳角，且有唯一解，因此，在
20、解三角形中，若有求角問題，應(yīng)盡量求余弦值．
[舉一反三]
(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測試)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2acos A.
(1)求A的大?。?
(2)若·＝，求△ABC的面積．
[解] 法一 在△ABC中，由正弦定理，及bcos C＋ccos B＝2acos A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin Acos A，
即sin A＝2sin Acos A，
因為A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A＝，
所以A＝.
法二 在△ABC中，由余弦定理，及bcos C＋cco
21、s B＝2acos A，
得b·＋c·＝2a·，
所以a2＝b2＋c2－bc，
所以cos A＝＝，
因為A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由·＝cbcos A＝，得bc＝2，
所以△ABC的面積為S＝bcsin A＝×2sin 60°＝.
解三角形在實際生活中的應(yīng)用
【例8】 (蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)某城市有一直角梯形綠地ABCD，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝2 km，BC＝1 km.現(xiàn)過邊界CD上的點E處鋪設(shè)一條直的灌溉水管EF，將綠地分成面積相等的兩部分．
圖5－3 圖5－4
(1)如圖
22、5－3，若E為CD的中點，F(xiàn)在邊界AB上，求灌溉水管EF的長度；
(2)如圖5－4，若F在邊界AD上，求灌溉水管EF的最短長度.
【導(dǎo)學(xué)號：56394031】
[解] (1)因為AD＝DC＝2，BC＝1，∠ABC＝∠BAD＝90°，所以AB＝，
取AB中點G，
則四邊形BCEF的面積為S梯形ABCD＝S梯形BCEG＋S△EFG，
即××(1＋2)＝×＋GF×，
解得GF＝，
所以EF＝＝(km)．
故灌溉水管EF的長度為km.
(2)設(shè)DE＝a，DF＝b，在△ABC中，CA＝＝2，
所以在△ADC中，AD＝DC＝CA＝2，
所以∠ADC＝60°，
所以△
23、DEF的面積為S△DEF＝absin 60°＝ab，
又S梯形ABCD＝，所以ab＝，即ab＝3.
在△DEF中，由余弦定理，得EF＝≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，取“＝”．
故灌溉水管EF的最短長度為 km.
[規(guī)律方法] 將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型，利用正弦定理、余弦定理、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識求解．
[舉一反三]
(江蘇省揚州市2017屆高三上學(xué)期期末)如圖5－5，矩形ABCD是一個歷史文物展覽廳的俯視圖，點E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在△ADE區(qū)域內(nèi)參觀，在AE上點P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控攝像頭，∠MPN為監(jiān)控角，其中M、N在線段D
24、E(含端點)上，且點M在點N的右下方，經(jīng)測量得知：AD＝6米，AE＝6米，AP＝2米，∠MPN＝，記∠EPM＝θ(弧度)，監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域△PMN的面積為S平方米．
圖5－5
(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的取值范圍；(參考數(shù)據(jù)：tan ≈3)
(2)求S的最小值．
[解] (1)在△PME中，∠EPM＝θ，PE＝4米，∠PEM＝，∠PME＝－θ，
由正弦定理可得PM＝＝，
同理，在△PNE中，PN＝，
∴S△PMN＝PM·PN·sin∠MPN＝＝，
M與E重合時，θ＝0，N與D重合時，tan∠APD＝3，即θ＝－，∴0≤θ≤－，
綜上所述，S△PMN＝，
25、0≤θ≤－；
(2)當(dāng)2θ＋＝即θ＝時，S取得最小值＝8(－1)平方米．
[第3步▕ 高考易錯明辨析]
1．忽視函數(shù)的定義域出錯
已知函數(shù)f (x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)求f (x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
[錯解] (1)f (x)＝－sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋3sin 2x－cos 2x
?f (x)＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin，
所以f (x)的最小正周期為T＝＝π.
(2)因為正弦函數(shù)y＝sin x(x∈R)的值域為[－1,1]，
所以
26、f (x)＝2sin的值域為，
故函數(shù)f (x)的最大值為2，最小值為－2.
[正解] (1)f (x)＝－sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋3sin 2x－cos 2x
?f (x)＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin，
所以f (x)的最小正周期為T＝＝π.
(2)因為f (x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，
又f (0)＝－2，f ＝2，f ＝2，
故函數(shù)f (x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為－2.
2．忽視邊長的固有范圍
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋
(cos A－sin A)cos B＝0.
(
27、1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范圍．
[錯解] (1)∵－cos(A＋B)＋(cos A－sin A)cos B＝0，
∴sin Asin B－sin Acos B＝0，
∴sin A(sin B－cos B)＝0，
∴sin B－cos B＝0，即2sin＝0，∴B＝ .
(2)在三角形ABC中，由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos ＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝.∴b≥.
[正解] (1)∵－cos(A＋B)＋(cos A－sin A)cos B＝0，
∴sin Asin B－sin Acos B＝0，
∴sin A(sin B
28、－cos B)＝0，∴sin B－cos B＝0，即2sin＝0，
∴B＝.
(2)在三角形ABC中，由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos ＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝.∴b≥.
∵b＜a＋c＝1，∴≤b＜1.
———————專家預(yù)測·鞏固提升———————
(對應(yīng)學(xué)生用書第20頁)
1．若函數(shù)f (x)＝3|cos x|－cos x＋m, x∈(0, 2π)有兩個互異零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．
(－4，－2]∪{0} [令g(x)＝－3|cos x|＋cos x＝在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g(x)圖象，如圖所示：
由其圖象可知當(dāng)直線y＝
29、m，m∈(－4，－2]∪{0}，g(x)＝－3|cos x|＋cos x，x∈(0,2π)的圖象與直線y＝m有且僅有兩個不同的交點．]
2．已知函數(shù)f (x)＝2sin xcos x＋2sin2x－，將y＝f (x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若函數(shù)y＝g(x)在[a，b]上至少含有1 012個零點，則b－a的最小值為________．
[由已知得，f (x)＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x－cos 2x＝2sin，則g(x)＝2sin＋1＝2sin 2x＋1，若函數(shù)y＝g(x)在[a，b]上至少含有1 012個零點，則b
30、－a的最小值為506π－－＝.]
3．已知三個向量m＝，n＝，p＝共線，其中a，b，c，A，B，C分別是△ABC的三條邊及相對的三個角，則△ABC的形狀是________．
等邊三角形 [在三角形中，cos ，cos ，cos 均不為0，故由題意可得：＝＝.
由正弦定理得：＝＝?
sin ＝sin ＝sin ，即A＝B＝C，所以△ABC為等邊三角形．]
4．如圖5－6，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE＝1，連接EC，ED則sin∠CED＝________.
【導(dǎo)學(xué)號：56394032】
圖5－6
[連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠DAE＝∠DAB＝90°，
∵AD＝AE＝1，∴∠AED＝∠ADE＝45°，即∠DEA＝∠CAB＝45°，
∴AC∥ED，
∴∠CED＝∠ECA，
作EF⊥CA，交CA的延長線于點F，∵AE＝1，
∴由勾股定理得：EF＝AF＝，
∵在Rt△EBC中，由勾股定理得：
CE2＝12＋22＝ 5，
∴CE＝，
∴sin ∠CED＝sin∠ECF＝＝.]
17
（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識專題突破 專題5 三角函數(shù)與解三角形學(xué)案
