2018年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員系列 專題40 與圓有關(guān)的位置關(guān)系(含解析)

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1、 考點(diǎn)四十:與圓有關(guān)的位置關(guān)系 聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解 一、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 設(shè)⊙O的半徑是r,點(diǎn)P到圓心O的距離為d,則有: dr點(diǎn)P在⊙O外。 二、直線與圓的位置關(guān)系 直線和圓有三種位置關(guān)系,具體如下: (1)相交:直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相交,這時(shí)直線叫做圓的割線,公共點(diǎn)叫做交點(diǎn); (2)相切:直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相切,這時(shí)直線叫做圓的切線, (3)相離:直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離。 如果⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,那么: 直線l與⊙O相交 <====> d<

2、r; 直線l與⊙O相切 <====> d=r; 直線l與⊙O相離 <====> d>r; 切線的判定和性質(zhì) : (1)、切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 (2)、切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。如右圖中,OD垂直于切線。 切線長(zhǎng)定理 : (1)、切線長(zhǎng):在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn) 到圓的切線長(zhǎng)。 (2)、切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn) 的連線平分兩條切線的夾角。 (3)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)(四點(diǎn)共圓的判定條件)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。 (

3、4)、三角形的內(nèi)切圓:與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。如圖圓O是△A'B'C'的內(nèi)切圓。三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn),它叫做三角形的內(nèi)心。 三、圓和圓的位置關(guān)系 1、圓和圓的位置關(guān)系 如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離,相離分為外離和內(nèi)含兩種。 如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn),那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切,相切分為外切和內(nèi)切兩種。 如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。 2、圓心距 兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。 3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定 設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,圓心距為d,那么 兩圓外離d>R+r 兩圓外切d=R

4、+r 兩圓相交R-rr) 兩圓內(nèi)含dr) 4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì) 如果兩圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上,它們是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是兩圓的連心線;相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。 名師點(diǎn)睛☆典例分類 考點(diǎn)典例一、直線與圓的位置關(guān)系 【例1】(2017廣西百色第11題)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,作半徑為2的圓,若直線與相交,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 則若直線y=﹣x+b與⊙O相交,則b的取值范圍是﹣2<b<2.

5、故選D 考點(diǎn):1.直線與圓的位置關(guān)系;2.一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系. 【點(diǎn)睛】考查了直線與圓的位置關(guān)系和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是了解直線與圓的位置關(guān)系與d與r的數(shù)量關(guān)系. 【舉一反三】 在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)B(0,),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),與軸相切于點(diǎn)O,若將⊙P沿軸向左平移,平移后得到(點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′),當(dāng)⊙P′與直線相交時(shí),橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P′共有( ) A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 【答案】C. 【解析】 考點(diǎn)典例二、切線的性質(zhì)及判定 【例2

6、】(2017廣西貴港第24題)如圖,在菱形中,點(diǎn)在對(duì)角線上,且,是的外接圓. (1)求證:是的切線; (2)若求的半徑. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2). 【解析】 試題分析:(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,由PA=PD得弧AP=弧DP,根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD,AE=DE,則∠1+∠OPA=90°,而∠OAP=∠OPA,所以∠1+∠OAP=90°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2,所以∠2+∠OAP=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切; (2)連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)F,根據(jù)菱形的性質(zhì)得DB與AC互相垂直平分,則AF=4,tan∠DAC=,得到DF=

7、2,根據(jù)勾股定理得到AD==2,求得AE=,設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣,OA=R,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論. 試題解析:(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,如圖, ∵PA=PD, ∴弧AP=弧DP, ∴OP⊥AD,AE=DE, ∴∠1+∠OPA=90°, ∵OP=OA, ∴∠OAP=∠OPA, ∴∠1+∠OAP=90°, ∵四邊形ABCD為菱形, ∴∠1=∠2, ∴∠2+∠OAP=90°, ∴OA⊥AB, ∴直線AB與⊙O相切; (2)連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)F,如圖, ∵四邊形ABCD為菱形, ∴DB與AC互相垂直平分, ∵AC=8,tan∠BAC=

8、, ∴AF=4,tan∠DAC==, ∴DF=2, ∴AD==2, ∴AE=, 在Rt△PAE中,tan∠1==, ∴PE=, 設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣,OA=R, 在Rt△OAE中,∵OA2=OE2+AE2, ∴R2=(R﹣)2+()2, ∴R=, 即⊙O的半徑為. 考點(diǎn):切線的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì);解直角三角形. 【點(diǎn)晴】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題是本題的解題關(guān)鍵. 【舉一反三】 (2017江蘇徐州第16題)如圖,與⊙相切于點(diǎn),線段與弦垂直,垂足為,則 . 【答案】60°. 【解析】 試題解析

9、:∵OA⊥BC,BC=2, ∴根據(jù)垂徑定理得:BD=BC=1. 在Rt△ABD中,sin∠A=. ∴∠A=30°. ∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B, ∴∠ABO=90°. ∴∠AOB=60°. 考點(diǎn):切線的性質(zhì). 考點(diǎn)典例三、圓和圓的位置關(guān)系 【例3】如圖,當(dāng)半徑分別是5和r的兩圓⊙O1和⊙O2外切時(shí),它們的圓心距O1O2=8,則⊙O2的半徑r為( ?。?   A. 12 B. 8 C. 5 D. 3 【答案】D. 【解析】 試題分析:根據(jù)兩圓外切,圓心距等于兩圓半徑之和,得該圓的半徑是8-5=3. 故選D. 考點(diǎn):圓與圓的

10、位置關(guān)系. 【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.注意:兩圓外切,圓心距等于兩圓半徑之和. 【舉一反三】 如圖,等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),⊙O1經(jīng)過(guò)⊙O2的圓心O2,連接AO1并延長(zhǎng)交⊙O1于點(diǎn)C,則∠ACO2的度數(shù)為( ) A.60° B.45° C.30° D.20° 【答案】C. 【解析】 試題分析:如答圖,連接O1O2,AO2, ∵等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),⊙O1經(jīng)過(guò)⊙O2的圓心O2,連接AO1并延長(zhǎng)交⊙O1于點(diǎn)C, ∴AO1=AO2=O1O2. ∴△AO1O2是等邊三角形. ∴∠AO1O2=

11、60°. ∴∠ACO2的度數(shù)為30°. 故選C. 課時(shí)作業(yè)☆能力提升 一.選擇題 1.(2016湖南湘西州第18題)在RT△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以點(diǎn)C為圓心,以2.5cm為半徑畫(huà)圓,則⊙C與直線AB的位置關(guān)系是( ?。? A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定  【答案】A. 考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系. 2. (2017浙江寧波第9題)如圖,在中,,,以的中點(diǎn)為圓心分別與,相切于,兩點(diǎn),則的長(zhǎng)為( ) A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 試題解析:如圖,連接OD,OE ∵AC

12、,AB是圓O的切線 ∴OE⊥AC,OD⊥AB ∵O是BC的中點(diǎn) ∴點(diǎn)E,點(diǎn)D分別是AC,AB的中點(diǎn) ∴OE=AB,OD= AC ∵OE=OD ∴AC=AB ∵BC=2 由勾股定理得AB=2 ∴OE=1 的弧長(zhǎng)==. 故選B. 3. (2017貴州如故經(jīng)9題)如圖,⊙O的直徑AB=4,BC切⊙O于點(diǎn)B,OC平行于弦AD,OC=5,則AD的長(zhǎng)為( ?。? A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題解析:連接BD. ∵AB是直徑,∴∠ADB=90°. ∵OC∥AD,∴∠A=∠BOC,∴cos∠A=cos∠BOC. ∵BC切⊙O于點(diǎn)B,∴OB⊥

13、BC, ∴cos∠BOC=, ∴cos∠A=cos∠BOC=. 又∵cos∠A=,AB=4, ∴AD=. 故選B. 4. (2017江蘇無(wú)錫第9題)如圖,菱形ABCD的邊AB=20,面積為320,∠BAD<90°,⊙O與邊AB,AD都相切,AO=10,則⊙O的半徑長(zhǎng)等于( ?。? A.5 B.6 C.2 D.3 【答案】C. 【解析】 試題解析:如圖作DH⊥AB于H,連接BD,延長(zhǎng)AO交BD于E. ∵菱形ABCD的邊AB=20,面積為320, ∴AB?DH=32O, ∴DH=16, 在Rt△ADH中,AH==12, ∴HB=AB﹣AH=8, 在R

14、t△BDH中,BD=, 設(shè)⊙O與AB相切于F,連接AF. ∵AD=AB,OA平分∠DAB, ∴AE⊥BD, ∵∠OAF+∠ABE=90°,∠ABE+∠BDH=90°, ∴∠OAF=∠BDH,∵∠AFO=∠DHB=90°, ∴△AOF∽△DBH, ∴, ∴, ∴OF=2. 故選C. 考點(diǎn):1.切線的性質(zhì);2.菱形的性質(zhì). 5.已知兩圓半徑分別為3、5,圓心距為8,則這兩圓的位置關(guān)系為( ) A. 外離 B. 內(nèi)含 C. 相交 D. 外切 【答案】D. 【解析】 考點(diǎn):圓與圓的位置關(guān)系. 6. (2017四川自貢第10題

15、)AB是⊙O的直徑,PA切⊙O于點(diǎn)A,PO交⊙O于點(diǎn)C;連接BC,若∠P=40°,則∠B等于( ?。? A.20° B.25° C.30° D.40° 【答案】B. 【解析】 試題解析:∵PA切⊙O于點(diǎn)A, ∴∠PAB=90°, ∵∠P=40°, ∴∠POA=90°﹣40°=50°, ∵OC=OB, ∴∠B=∠BCO=25°, 故選B. 考點(diǎn):切線的性質(zhì). 7. (2016貴州遵義第12題)如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,連接AC,⊙P和⊙Q分別是△ABC和△ADC的內(nèi)切圓,則PQ的長(zhǎng)是( ?。? A.      B.      C.      D.

16、【答案】B. 【解析】 試題分析:∵四邊形ABCD為矩形,∴△ACD≌△CAB,∴⊙P和⊙Q的半徑相等. 在Rt△BC中,AB=4,BC=3,∴AC==5,∴⊙P的半徑r===1. 連接點(diǎn)P、Q,過(guò)點(diǎn)Q作QE∥BC,過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB交QE于點(diǎn)E,則∠QEP=90°,如圖所示. 在Rt△QEP中,QE=BC﹣2r=3﹣2=1,EP=AB﹣2r=4﹣2=2,∴PQ===.故選B. 考點(diǎn):三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;矩形的性質(zhì). 二.填空題 8. (2016湖南永州第20題)如圖,給定一個(gè)半徑長(zhǎng)為2的圓,圓心O到水平直線l的距離為d,即OM=d.我們把圓上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)

17、數(shù)記為m.如d=0時(shí),l為經(jīng)過(guò)圓心O的一條直線,此時(shí)圓上有四個(gè)到直線l的距離等于1的點(diǎn),即m=4,由此可知: (1)當(dāng)d=3時(shí),m=      ; (2)當(dāng)m=2時(shí),d的取值范圍是     ?。? 【答案】(1)1;(2)0<d<3. 【解析】 試題分析:(1)當(dāng)d=3時(shí),因3>2,即d>r,直線與圓相離,則m=1,;(2)當(dāng)m=2時(shí),則圓上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為2,可得直線與圓相交或相切或相離,所以0<d<3,即d的取值范圍是0<d<3. 考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系. 9. (2017浙江衢州第15題)如圖,在直角坐標(biāo)系中,⊙A的圓心A的坐標(biāo)為(-1,0),半徑為1

18、,點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線,切點(diǎn)為Q,則切線長(zhǎng)PQ的最小值是__________ 【答案】. 【解析】 試題解析:連接AP,PQ, 當(dāng)AP最小時(shí),PQ最小, ∴當(dāng)AP⊥直線y=﹣x+3時(shí),PQ最小, ∵A的坐標(biāo)為(﹣1,0),y=﹣x+3可化為3x+4y﹣12=0, ∴AP==3, ∴PQ=. 考點(diǎn):1.切線的性質(zhì);2.一次函數(shù)的性質(zhì). 10. (2017黑龍江齊齊哈爾第15題)如圖,是的切線,切點(diǎn)為,是的直徑,交于點(diǎn),連接,若,則的度數(shù)為 . 【答案】80° 【解析】 試題分析:∵AC是⊙O的切線,∴∠C=90°,∵∠A=

19、50°,∴∠B=40°,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB=40°, ∴∠COD=2×40°=80° 考點(diǎn):切線的性質(zhì). 11. (2017上海第17題)如圖,已知Rt△ABC,∠C=90°,AC=3,BC=4.分別以點(diǎn)A、B為圓心畫(huà)圓.如果點(diǎn)C在⊙A內(nèi),點(diǎn)B在⊙A外,且⊙B與⊙A內(nèi)切,那么⊙B的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是  ?。? 【答案】8<r<10 【解析】 試題分析:如圖1,當(dāng)C在⊙A上,⊙B與⊙A內(nèi)切時(shí), ⊙A的半徑為:AC=AD=4, ⊙B的半徑為:r=AB+AD=5+3=8; 如圖2,當(dāng)B在⊙A上,⊙B與⊙A內(nèi)切時(shí), ⊙A的半徑為:AB=AD=5, ⊙B的半徑

20、為:r=2AB=10; ∴⊙B的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是:8<r<10. 故答案為:8<r<10. 考點(diǎn):1.圓與圓的位置關(guān)系;2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;3.勾股定理. 三、解答題 12. (2017浙江衢州第19題)如圖,AB為半圓O的直徑,C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CD切半圓O于點(diǎn)D。連結(jié)OD,作BE⊥CD于點(diǎn)E,交半圓O于點(diǎn)F。已知CE=12,BE=9 (1)求證:△COD∽△CBE; (2)求半圓O的半徑的長(zhǎng) 【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2) 【解析】 試題分析: 試題解析: (1)∵CD切半圓O于點(diǎn)D, ∴CD⊥OD, ∴∠CDO=90°, ∵BE⊥CD, ∴

21、∠E=90°=∠CDO, 又∵∠C=∠C, ∴△COD∽△CBE. 考點(diǎn):1. 切線的性質(zhì);2.相似三角形的判定與性質(zhì). 13. (2017山東德州第20題)如圖,已知RtΔABC,∠C=90°,D為BC的中點(diǎn).以AC為直徑的圓O交AB于點(diǎn)E. (1)求證:DE是圓O的切線. (2)若AE:EB=1:2,BC=6,求AE的長(zhǎng). 【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2). 【解析】: 試題分析:利用思路:知(連)半徑,證垂直,證明DE是圓O的切線;利用射影定理或相似三角形證明:BE2=BE×BA,再列方程,求AE的長(zhǎng). 試題解析:(1)如圖所示,連接OE,CE ∵AC

22、是圓O的直徑 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中點(diǎn) ∴ED=BC=DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圓O上的一點(diǎn) ∴DE是圓O的切線. (2)由(1)知∠BEC=90° 在RtΔBEC與RtΔBCA中,∠B為公共角, ∴ΔBEC∽ΔBCA ∴ 即BC2=BE×BA ∵AE:EB=1:2,設(shè)AE=x,則BE=2x,BA=3x. 又∵BC=6 ∴62=2x×3x ∴x=,即AE=. 考點(diǎn):圓切線判定定理及相似三角形 14

23、. (2017甘肅慶陽(yáng)第27題)如圖,AN是⊙M的直徑,NB∥x軸,AB交⊙M于點(diǎn)C. (1)若點(diǎn)A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求點(diǎn)B的坐標(biāo); (2)若D為線段NB的中點(diǎn),求證:直線CD是⊙M的切線. 【答案】(1) B(,2).(2)證明見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析:(1)在Rt△ABN中,求出AN、AB即可解決問(wèn)題; (2)連接MC,NC.只要證明∠MCD=90°即可 試題解析:(1)∵A的坐標(biāo)為(0,6),N(0,2), ∴AN=4, ∵∠ABN=30°,∠ANB=90°, ∴AB=2AN=8, ∴由勾股定理可知:NB=, ∴B(,2).

24、 ∴∠MCN+∠NCD=90°, 即MC⊥CD. ∴直線CD是⊙M的切線. 考點(diǎn):切線的判定;坐標(biāo)與圖形性質(zhì). 15. (2017江蘇鹽城第25題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的斜邊AB在y軸上,邊AC與x軸交于點(diǎn)D,AE平分∠BAC交邊BC于點(diǎn)E,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上,⊙F與y軸相交于另一點(diǎn)G. (1)求證:BC是⊙F的切線; (2)若點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為A(0,-1),D(2,0),求⊙F的半徑; (3)試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)⊙F的半徑為;(3)AG=AD+2CD.證明見(jiàn)解析. 試題解析:(1)連接EF, ∵AE平分∠BAC, ∴∠FAE=∠CAE, ∵FA=FE, ∴∠FAE=∠FEA, ∴∠FEA=∠EAC, ∴FE∥AC, ∴∠FEB=∠C=90°,即BC是⊙F的切線; (2)連接FD, 設(shè)⊙F的半徑為r, 則r2=(r-1)2+22, 解得,r=,即⊙F的半徑為; 考點(diǎn):圓的綜合題. 23

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