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1、
考點六:二次根式
聚焦考點☆溫習理解
1、二次根式
式子叫做二次根式,二次根式必須滿足:含有二次根號“”;被開方數a必須是非負數。
2、最簡二次根式
若二次根式滿足:被開方數的因數是整數,因式是整式;被開方數中不含能開得盡方的因數或因式,這樣的二次根式叫做最簡二次根式。
化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟:
(1)如果被開方數是分數(包括小數)或分式,先利用商的算數平方根的性質把它寫成分式的形式,然后利用分母有理化進行化簡。
(2)如果被開方數是整數或整式,先將他們分解因數或因式,然后把能開得盡方的因數或因式開出來。
3、同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式以
2、后,如果被開方數相同,這幾個二次根式叫做同類二次根式。
4、二次根式的性質
(1)
(2)
(3)
(4)
5、二次根式混合運算
二次根式的混合運算與實數中的運算順序一樣,先乘方,再乘除,最后加減,有括號的先算括號里的(或先去括號)。
名師點睛☆典例分類
考點典例一、二次根式概念與性質
【例1】使二次根式有意義的的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】
試題分析:使二次根式有意義的條件是被開方數a≥0,所以使二次根式有意義的條件是x-1≥0,即x≥1,故答案選D.
考
3、點:二次根式有意義的條件.
【點睛】本題考查的知識點為:二次根式的被開方數是非負數.
【舉一反三】
1. 下列各式一定是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
2.(2017陜西西安一模)若,則化簡________.
【答案】
【解析】.
考點:二次根式性質.
考點典例二、二次根式的運算
【例2】(濟寧)如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:①,②,③其中正確的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】B.
【解析】
試題分析:由ab>0,a+b
4、<0先求出a<0,b<0,再進行根號內的運算.
試題解析:∵ab>0,a+b<0,
∴a<0,b<0
①,被開方數應≥0a,b不能做被開方數,(故①錯誤),
②(故②正確),
③(故③正確).
故選:B.
答案:二次根式的乘除法.
【點睛】二次根式化簡依據:,,本題是考查二次根式的乘除法,解答本題的關鍵是明確a<0,b<0.
【舉一反三】
1.計算的結果是 ?。?
【答案】.
【解析】
試題分析:
考點:二次根式化簡.
2. 下列二次根式中,不能與是合并的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
考點典例三、
5、二次根式混合運算
【例3】(荊門)計算:
【答案】.
【解析】
試題分析:
根據二次根式的乘法法則和零指數冪的意義得到原式=,然后合并即可;
試題解析:原式=
=
=.
考點:二次根式的混合運算
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算:先把各二次根式化為最簡二次根式,再進行二次根式的乘除運算,然后合并同類二次根式.
【舉一反三】
1.化簡的結果為( ?。?
A.0 B.2 C. D.
【答案】D.
【解析】
試題分析:==,故選D.
考點:二次根式的加減法.
2. 計算(-)÷的結果為__________________.
【答案
6、】
【解析】
試題分析:原式=(4?3)÷26√=÷2=.故答案為.
考點典例四、二次根式運算中的技巧
【例4】(德州)若y=-2,則(x+y)y=
【答案】.
【解析】
試題分析:根據被開方數大于等于0,列式求出x,再求出y,然后代入代數式進行計算即可得解.
試題解析:由題意得,x-4≥0且4-x≥0,
解得x≥4且x≤4,
∴x=4,
y=-2,
∴x+y)y=(4-2)-2=.
考點:二次根式有意義的條件
【點睛】本題考查的知識點為:二次根式的被開方數是非負數.
【舉一反三】
1. (福州)若(m-1)2+=0,則m+n的值是( )
7、
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】A.
考點:非負數的性質:算術平方根;非負數的性質:偶次方.
2. 觀察下列等式:
①;②;③;……
回答下列問題:
(1)利用你觀察到的規(guī)律,化簡:
(2)計算: +++……+
【答案】(1)- (2)9
【解析】
試題分析:(1)根據已知的3個等式發(fā)現規(guī)律: ,把n=22代入即可求解;
(2)先利用上題的規(guī)律將每一個分數化為兩個二次根式的差的形式,再計算即可.
試題解析:(1);
(2)計算:
=
=
=10-1
=9.
考點典例五、估算大小
【例5】(
8、河北)a,b是兩個連續(xù)整數,若a<<b,則a,b分別是( ?。?
A.2,3 B.3,2 C.3,4 D.6,8
【答案】A.
考點:估算無理數的大小.
【舉一反三】
1. (2017重慶一中一模)估計的運算結果應在( )之間.
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
【答案】C
【解析】
試題解析:=
,1.4<
所以3.1<。
故選C.
2.(吉林)若a<<b,且a,b為連續(xù)正整數,則b2-a2=
【答案】7.
【解析】
試題分析:因為32<13<42
9、,所以3<<4,求得a、b的數值,進一步求得問題的答案即可.
試題解析:∵32<13<42,
∴3<<4,
即a=3,b=4,
∴b2-a2=7.
考點:估算無理數的大?。?
課時作業(yè)☆能力提升
1.與是同類二次根式的是( ?。?
A. B. C. D.
【答案】C.
考點:同類二次根式
2.下列計算正確的是( ?。?
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
試題分析:A.,正確;
B.,故此選項錯誤;
C.,故此選項錯誤;
D.,故此選項錯誤;
故選A.
考點:二次根式的性質與化簡.
3. (2017山東德州二模)函數
10、+中自變量x的取值范圍是( )
A. 1< x < 2 B. 1≤ x ≤ 2 C. x > 1 D. x ≥1
【答案】D
【解析】
試題分析:根據二次根式有意義的條件列不等式,即可求出自變量x的取值范圍.
解:由題可得:,
解得,x ≥1.
故選D.
考點:二次根式有意義的條件.
4. (內江)按如圖所示的程序計算,若開始輸入的n值為,則最后輸出的結果是( ?。?
A.14 B.16 C.8+5 D.14+
【答案】C.
【解析】
考點:實數的運算.
6. 計算3﹣2的結果是( )
A. B.2
11、 C.3 D.6
【答案】A.
【解析】
試題分析:根據二次根式的加減運算法則可得原式=(3﹣2)=.故答案選A.
考點:二次根式的加減法.
7(2017山東壽光一模)一次函數y=ax+b在直角坐標系中的圖象如圖所示,則化簡的結果是( )
A. 2a B. -2a C. 2b D. -2b
【答案】D
【解析】
試題分析:由圖可知a>0,b<0,a+b>0,所以a-b>0,所以=a-b-(a+b)=-2b,
故選D.
8.(2017湖北鄂州聯考)已知0≤x≤3,化簡= ______ .
【答案】3
【解析】∵0≤x≤3,
12、∴x≥0,x?3≤0,
原式=|x|+|x?3|
=x+3?x=3.
故答案為:3.
9.(2017江蘇徐州一模)計算 (a<0)的結果是______.
【答案】-4a
【解析】 (a<0)
==﹣4a.
10.計算﹣的結果精確到0.01是(可用科學計算器計算或筆算)( ?。?
A.0.30 B.0.31 C.0.32 D.0.33
【答案】C.
【解析】
試題分析:用計算器計算可得≈1.732,≈1.414,所以﹣≈1.732﹣1.414=0.318≈0.32.
故答案選C.
考點:計算器的運用.
11.計算的結果是 ?。?
【答案】.
【解析】
試題
13、分析:
考點:二次根式化簡.
12.(2017河北滄州中考模擬)計算: =__.
【答案】12
【解析】
試題分析:根據實數的乘除運算,結合二次根式的性質可求解為:
==12.
故答案為:12.
13. (2017遼寧蓋州中考模擬)計算:(﹣)×=______.
【答案】8
【解析】
試題分析:原式利用乘法分配律及二次根式乘法法則計算即可得:
試題解析:原式= .故答案為:8.
14.(2017天津寧河區(qū)聯考)計算
(1)
(2).
【答案】(1);(2)15+
【解析】試題分析:(1)(2)由題意先開根號,然后再進行加減乘除運算.
試題解析:
(1)
=-+
=
(2)
=— +(8++3)
=4—+11+
=15+
15. (2017山東平邑一輪復習)化簡: .
【答案】原式=.
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