2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型三 二次函數(shù)與圖形面積問題

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1、類型三 二次函數(shù)與圖形面積問題 例1、如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C． （1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo); （2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積; （3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由． 【解析】解：（1）令，得 解得 令，得 ∴ A B C （2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO= ∵AP∥CB， ∴PAB= 過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形 令O

2、E=，則PE= ∴P ∵點(diǎn)P在拋物線上 ∴ G M C B y P A 解得，（不合題意，舍去） ∴PE= ∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE= (3)． 假設(shè)存在 ∵PAB=BAC = ∴PAAC ∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G， ∴MGA=PAC = 在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC= 在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M ①點(diǎn)M在軸左側(cè)時，則 (ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時，有= ∵AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去） (ⅱ) 當(dāng)MAG PCA時有=

3、 即 解得：（舍去） ∴M G M C B y P A ② 點(diǎn)M在軸右側(cè)時，則 (ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時有= ∵AG=，MG= ∴ 解得（舍去） ∴M (ⅱ) 當(dāng)MAGPCA時有= 即 解得：（舍去） ∴M ∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似 M點(diǎn)的坐標(biāo)為，， 例2、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D． （1）求b,c的值； （2）點(diǎn)E是直角三

4、角形ABC斜邊AB上一動點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5） ∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）B(4,5) ∴ 解得：b=-2 c=-3 （2）如２６題圖：∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0） B(4,5) ∴直線AB的解析式為：y=x+1 ∵二次函數(shù) ∴

5、設(shè)點(diǎn)E(t， t+1),則F（t，） ∴EF= 　　= ∴當(dāng)時，EF的最大值= ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，） （3）①如２６題圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形ＥＢＦＤ． 可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4） S　=　S　+　S = = 　 ②如２６題備用圖：ⅰ)過點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(m,) 則有： 解得:, ∴,　 ⅱ）過點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于，設(shè)（n，） 則有： 　　解得： ，（與點(diǎn)F重合，舍去） ∴ 綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：，（. 能使△EFP組成以EF為直角邊的

6、直角三角形． 例3、如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為C（1，－2）. （1）求此函數(shù)的關(guān)系式； （2）作點(diǎn)C關(guān)于軸的對稱點(diǎn)D，順次連接A、C、B、D.若在拋物線上存在點(diǎn)E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得△PEF是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△PEF的面積；若不存在，請說明理由. 【解析】（1）∵的頂點(diǎn)為C（1，－2）， ∴，． （2）設(shè)直線PE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 由題意，四邊形ACBD是菱形. 故直線PE必過菱形ACBD的

7、對稱中心M． 由P(0，－1)，M（1，0），得．從而， 設(shè)E(，)，代入，得． 解之得，，根據(jù)題意，得點(diǎn)E(3，2) （3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，可設(shè)F(，)． 過點(diǎn)F作FG⊥軸，垂足為點(diǎn)G. 在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°， ∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP. ∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即． 解得，，根據(jù)題意，得F(1，－2)． 故點(diǎn)F(1，－2)即為所求． ． 例4、如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q，且與軸交于點(diǎn)C

8、，與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD∥軸，交AC于點(diǎn)D． (1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)△ADP是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)在問題(2)的結(jié)論下，若點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【解析】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，－1）∴設(shè) 將C（0，3）代入上式，得 ∴， 即 （2）分兩種情況： ①當(dāng)點(diǎn)P1為直角頂點(diǎn)時,點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合(如圖) 令=0, 得 解之得, ∵點(diǎn)A在

9、點(diǎn)B的右邊, ∴B(1,0), A(3,0)∴P1(1,0) ②解:當(dāng)點(diǎn)A為△APD2的直角頂點(diǎn)是(如圖) ∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2= 當(dāng)∠D2AP2=時, ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2 又∵P2D2∥軸, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2關(guān)于軸對稱 設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為 將A(3,0), C(0,3)代入上式得 , ∴∴ ∵D2在上, P2在上, ∴設(shè)D2(,), P2(,)∴()+()=0 , ∴, (舍)∴當(dāng)=2時, ==－1 ∴P2的坐標(biāo)為P2(2,－1)(即為拋物線頂點(diǎn)) ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(1,0), P2(2,－1) (3)解: 由題(2)知,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1,0)時,不能構(gòu)成平行四邊形 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2(2,－1)(即頂點(diǎn)Q)時, 平移直線AP(如圖)交軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F. 當(dāng)AP=FE時,四邊形PAFE是平行四邊形 ∵P(2,－1), ∴可令F(,1)∴ 解之得: , ∴F點(diǎn)有兩點(diǎn), 即F1(,1), F2(,1) 8