2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型二 新運(yùn)算型

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1、類型二 新運(yùn)算型 1．定義一種運(yùn)算 例1規(guī)定一種新的運(yùn)算：，則 ． 【解答】解：把代入式子計(jì)算即可：． 2．定義一個(gè)規(guī)則 例2為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密規(guī)則為：明文對(duì)應(yīng)密文， .例如：明文1，2，3，4對(duì)應(yīng)的密文5，7，18，16.當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時(shí)，則解密得到的明文為（ ） A．4，6，1，7 B．4，1，6，7 C．6，4，1，7 D．1，6，4，7 【解答】解：根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以求得；代入得；在代入得；代入得．故選C． 3．定義一種變換 例3把一個(gè)圖形先沿

2、著一條直線進(jìn)行軸對(duì)稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動(dòng)對(duì)稱變換．在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖甲）．結(jié)合軸對(duì)稱變換和平移變換的有關(guān)性質(zhì)，你認(rèn)為在滑動(dòng)對(duì)稱變換過(guò)程中，兩個(gè)對(duì)應(yīng)三角形（如圖乙）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是( ) A．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直 B．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸平分 C．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分 D．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線互相平行 【解答】：D 4．定義一類數(shù) 例4定義為一次函數(shù)的特征數(shù)． （1）若特征數(shù)是的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求的值； （2）設(shè)點(diǎn)分別為拋物線與軸的交點(diǎn)，其中，且的面積為4，為

3、原點(diǎn)，求圖象過(guò)兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù)． 【解答】解：（1）特征數(shù)為的一次函數(shù)為， ，． （2）拋物線與軸的交點(diǎn)為， 與軸的交點(diǎn)為． 若，則； 若，則． 當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)條件． 此時(shí)拋物線為． 它與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為， 一次函數(shù)為或， 特征數(shù)為或． 5．定義一個(gè)函數(shù) 例5設(shè)關(guān)于的一次函數(shù)與，則稱函數(shù)（其中）為此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)與的生成函數(shù)的值； （2）若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，判斷點(diǎn)P是否在此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由． 【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)， （2）點(diǎn)在此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

4、 ∵， ∴當(dāng)時(shí)，， ， 即點(diǎn)在此兩個(gè)函數(shù)的生成圖象上． 6．定義一個(gè)公式 例6閱讀材料：如圖1，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出 一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半． B C 鉛垂高 水平寬 h a

5、 圖1 圖2 x C O y A B D 1 1 解答下列問題： 如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0)，交y軸于點(diǎn)B. （1）求拋物線和直線AB的解析式； （2）點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及； （3）是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為： 把A（3,0）代入解析式求得 所以

6、 設(shè)直線AB的解析式為： 由求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為 把，代入中 解得：，所以 （2）因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(１,4) 所以當(dāng)x＝１時(shí)，y1＝4，y2＝2，所以CD＝4-2＝2 （平方單位） （3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h， 則 由S△PAB=S△CAB，得： 化簡(jiǎn)得：，解得， 將代入中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為 7．定義一個(gè)圖形 7.1定義“點(diǎn)” 例7聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念． 定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心． 舉例：如圖1，若PA=PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心． 應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三

7、角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數(shù)． 探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長(zhǎng)． 【解答】解：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC， ∵CD為等邊三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°， ∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB， 與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC， ②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC， ③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD， ∴∠APD=45°，故∠APB=90°； 探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC=， ①若PB=PC，設(shè)PA

8、=x，則，∴，即PA=， ②若PA=PC，則PA=2， ③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能． 故PA=2或． 7.2定義“線” 例8如圖，定義：若雙曲線y＝(k＞0)與它的其中一條對(duì)稱軸y＝x相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為雙曲線y＝(k＞0)的對(duì)徑． （1）求雙曲線y＝的對(duì)徑； （2）若雙曲線y＝(k＞0)的對(duì)徑是10，求k的值； （3）仿照上述定義，定義雙曲線y＝(k＜0)的對(duì)徑． 【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，如圖， (1)解方程組，得， ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)， ∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝， ∴AB

9、＝2OA＝，∴雙曲線y＝的對(duì)徑是； (2)∵雙曲線的對(duì)徑為，即AB＝，OA＝， ∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(5，5)， 把A(5，5)代入雙曲線y＝ (k＞0)得k＝5×5＝25， 即k的值為25； (3)若雙曲線y＝(k＜0)與它的其中一條對(duì)稱軸y＝－x相交于A、B兩點(diǎn)， 則線段AB的長(zhǎng)稱為雙曲線y＝(k＞0)的對(duì)徑． 7.3定義“角” 例9如圖，A、B是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A，B重合），我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角． （1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角． ①若AB是⊙O的直徑，則∠APB= ；

10、 ②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數(shù). （2）已知O2是⊙O1外一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心做一個(gè)圓與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB是⊙O1上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交⊙O2于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系． 【解答】解：（1）①∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB=90°. ②∵OA=OB=1, AB=，∴OA2+OB2=1+1=2=AB2 ∴△AOB是直角三角形 ∴∠AOB=90°. ∴∠APB=∠AOB=45°

11、 圖1 圖2 （2）當(dāng)P在優(yōu)弧AB上時(shí)，如圖1，這時(shí)∠MAN是△PAN的外角， 因而∠APB=∠MAN-∠ANB； 當(dāng)P在劣弧AB上時(shí)，如圖2，這時(shí)∠APB是△PAN的外角， 因而∠APB=∠MAN+∠ANB； 7.4定義“三角形” A y O B x 例10（2010浙江紹興）在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形,叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形.例如，圖中的一次函數(shù)的 圖象與x,y軸分別交于點(diǎn)A,B,則△OAB為此函數(shù)的坐標(biāo)三角形． （1）求函數(shù)y＝x＋3的坐標(biāo)三角形的三

12、條邊長(zhǎng)； （2）若函數(shù)y＝x＋b（b為常數(shù)）的坐標(biāo)三角形周長(zhǎng)為16, 求此三角形面積． 【解答】解：(1) ∵ 直線y＝x＋3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）， ∴函數(shù)y＝x＋3的坐標(biāo)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為3,4,5. (2) 直線y＝x＋b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（,0），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,b）， 當(dāng)b>0時(shí),，得b =4，此時(shí)，坐標(biāo)三角形面積為； 當(dāng)b<0時(shí)，，得b =－4，此時(shí)，坐標(biāo)三角形

13、面積為. 綜上，當(dāng)函數(shù)y＝x＋b的坐標(biāo)三角形周長(zhǎng)為16時(shí)，面積為． 7.5定義“四邊形” 例11我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊． （1）寫出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱 ， ； （2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），，，請(qǐng)你畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形； 圖1 圖2 （3）如圖2，將繞頂點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，． 求證：，即四邊形是勾股四邊形． 【解答】解：（1）正方形、長(zhǎng)方形、直角梯形．（任選兩個(gè)均可） （2）答案如圖所示．或． （3）證明：連結(jié) ， ， ，即四邊形是勾股四邊形 8