2020年中考數(shù)學考點總動員 第21講 圓的基本性質(zhì)（含解析）

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1、第21講　圓的基本性質(zhì) 1．圓的基本概念及性質(zhì) (1)基本概念 ①圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓定點叫圓心，定長叫半徑，以O為圓心的圓記作⊙O. ②弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫弧，連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，直徑 是最長的弦． ③圓心角：頂點在圓心，角的兩邊與圓相交的角叫圓心角． ④圓周角：頂點在圓上，角的兩邊與圓相交的角叫圓周角． ⑤等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的?。? (2)性質(zhì)： ①對稱性：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是過圓心的任一條直線；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心． ②旋轉(zhuǎn)不變性：圓繞著它的

2、圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的圖形重合． 2．垂徑定理及其推論 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。? 垂徑定理的推論： ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦 ，并且平分弦所對的兩條??； ②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧； ③平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。? 3．弦、弧、圓心角的關系定理及推論 ①弦、弧、圓心角的關系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等． ②推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．

3、 4．圓周角定理及推論： 圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半． 圓周角定理的推論： ①同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑． 注意：圓周角定理運用在“同圓或等圓”中，一條弦對應兩條弧，對應兩個互補的圓周角；一條弧只對應一個圓心角，對應無數(shù)圓周角． 5．四邊形和圓 圓內(nèi)接四邊形的對角互補，如圖，∠D＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°. 考點1：垂徑定理 【例題1】（2018·浙江衢州·3分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC

4、，過點O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長度是（　?。? A．3cm　　　　　　B． cm　　　　　　C．2.5cm　　　　　　D． cm 【答案】D 【考點】垂徑定理 【分析】根據(jù)垂徑定理得出OE的長，進而利用勾股定理得出BC的長，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可． 【解答】解：連接OB， ∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=． ∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=

5、90°． ∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=． 故選D． 歸納：1．垂徑定理兩個條件是過圓心、垂直于弦的直線，三個結(jié)論是平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧與劣?。? 2．圓中有關弦的證明與計算，通過作弦心距，利用垂徑定理，可把與圓相關的三個量，即圓的半徑，圓中一條弦的一半，弦心距構(gòu)成一個直角三角形，從而利用勾股定理，實現(xiàn)求解． 3．事實上，過點E任作一條弦，只要確定弦與AB的交角，就可以利用垂徑定理和解直角三角形求得這條弦長． 考點2：圓周角定理及其推論 【例題2】．(2017·臨沂)如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，∠ABC的平分線交AD于點E.

6、(1)求證：DE＝DB； (2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑． 【解析】：(1)證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. ∴＝. ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝DB. (2)連接CD. ∵＝，∴CD＝BD＝4. ∵∠BAC＝90°，∴BC是直徑． ∴∠BDC＝90°. ∴BC＝＝4. ∴△ABC外接圓的半徑為2. 歸納：利用圓周角定理在解答具體問題時，找準同弧所對的圓周角及圓心角，然后利用圓周角定理

7、進行角度的相關計算，常作的輔助線有：已知直徑，作其所對的圓周角；已知90°圓周角作其所對弦，即直徑．同圓的半徑相等，有時需要連接半徑，用它來構(gòu)造等腰三角形， 再根據(jù)等腰三角形等邊對等角以及三線合一來進行證明和計算. 考點3：圓內(nèi)接四邊形 【例題3】如圖，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠DOR的度數(shù)是（　?。? A．60 B．65 C．72 D．75 【答案】D 【考點】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求． 【解答】解：連結(jié)

8、OD，如圖， ∵△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形， ∴PQ=PR=QR， ∴∠POR=×360°=120°， ∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形， ∴∠AOD=90°， ∴∠DOP=×90°=45°， ∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°． 故選D． 歸納：1．找圓內(nèi)角(圓周角，圓心角)和圓外角(頂角在圓外，兩邊也在圓外或頂點在圓上，一邊在圓內(nèi)，另一邊在圓外)的數(shù)量關系時，常常會用到圓內(nèi)接四邊形的對角互補和三角形外角的性質(zhì)． 2．在同圓或等圓中，如果一條弧等于另一條弧的兩倍，則較大弧所對的圓周角是較小弧所對圓周角的兩倍． 一、選擇題： 1. （2017四川眉山）如

9、圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB=8cm，DC=2cm，則OC=　5　cm． A．6 B．4 C．3 D．5 【答案】D 【解答】解：連接OA， ∵OC⊥AB， ∴AD=AB=4cm， 設⊙O的半徑為R， 由勾股定理得，OA2=AD2+OD2， ∴R2=42+（R﹣2）2， 解得R=5 ∴OC=5cm． 故答案為5． 2. （2018·山東青島·3分）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，點B是的中點，則∠D的度數(shù)是（　?。? A．70° B．55° C．35.5° D．35° 【答案】D 【解答】

10、解：連接OB， ∵點B是的中點， ∴∠AOB=∠AOC=70°， 由圓周角定理得，∠D=∠AOB=35°， 故選：D． 3. （2018·浙江臨安·3分）如圖，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點，則BC=（　?。? A．6 B．6 C．3 D．3 【答案】A 【解答】解：設OA與BC相交于D點． ∵AB=OA=OB=6 ∴△OAB是等邊三角形． 又根據(jù)垂徑定理可得，OA平分BC， 利用勾股定理可得BD= =3 所以BC=6． 故選：A． 4. （2018?山東菏澤?3分）如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，則∠OBA

11、的度數(shù)是（　?。? A．64° B．58° C．32° D．26° 【答案】D 【解答】解：如圖， 由OC⊥AB，得 =，∠OEB=90°． ∴∠2=∠3． ∵∠2=2∠1=2×32°=64°． ∴∠3=64°， 在Rt△OBE中，∠OEB=90°， ∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°， 故選：D． 5. 已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為（　?。? A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 【答案】C 【解答】解：連接AC，AO， ∵⊙O的直徑CD=10

12、cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 當C點位置如圖1所示時， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM===3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC===4cm； 當C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5﹣3=2cm， 在Rt△AMC中，AC===2cm． 故選：C． 二、填空題： 6. 如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，則∠BOD=　80°?。? 【答案】80 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=40°， ∴∠BOD=2

13、∠C=80°． 故答案為80°． 7. （2018?濟寧）如圖，點B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠BOD的度數(shù)是 . 【答案】100° 【解答】解：圓上取一點A，連接AB，AD， ∵點A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°， 8. （2018?南通模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于點D，則OD的長為 ． 【答案】2 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， ∴AC==4， ∵OD⊥BC， ∴BD=CD， 而OB=O

14、A， ∴OD為△ABC的中位線， ∴OD=AC=×4=2． 故答案為2． 9. 已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是　 　cm． 【答案】2或14． 【解答】解：①當弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF﹣OE=2cm； ②當弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AF=8cm，CE=6cm， ∵OA=OC=10

15、cm， ∴OF=6cm，OE=8cm， ∴EF=OF+OE=14cm． ∴AB與CD之間的距離為14cm或2cm． 故答案為：2或14． 三、解答題： 10. 如圖，AB和CD分別是⊙O上的兩條弦，過點O分別作ON⊥CD于點N，OM⊥AB于點M，若ON=AB，證明：OM=CD． 【考點】垂徑定理；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】設圓的半徑是r，ON=x，則AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的長，然后根據(jù)垂徑定理求得CD的長，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的長，即可證得． 【解答】證明：設圓的半徑是r，ON=x，則AB=2x， 在直角△

16、CON中，CN==， ∵ON⊥CD， ∴CD=2CN=2， ∵OM⊥AB， ∴AM=AB=x， 在△AOM中，OM==， ∴OM=CD． 11. 已知⊙O是△ABC的外接圓，且半徑為4. (1)如圖1，若∠A＝30°，求BC的長； (2)如圖2，若∠A＝45°： ①求BC的長； ②若點C是的中點，求AB的長； (3)如圖3，若∠A＝135°，求BC的長． 圖1 圖2 　　圖3 【點撥】　連接OB，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，構(gòu)建可解

17、的等腰三角形求解． 【解答】　解：(1)連接OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形． ∴BC＝OB＝4. (2)①連接OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形． ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4. ②∵點C是的中點，∴∠ABC＝∠A＝45°. ∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直徑．∴AB＝8. (3)在優(yōu)弧上任取一點D，連接BD，CD，連接BO，CO. ∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°. ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4. 12. （2017山東臨沂）如圖，∠BAC的平分

18、線交△ABC的外接圓于點D，∠ABC的平分線交AD于點E， （1）求證：DE=DB； （2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圓的半徑． 【分析】（1）由角平分線得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圓周角定理得出∠DBC=∠CAD，證出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB； （2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圓周角定理得出BC是直徑，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC= =4，即可得出△ABC外接圓的半徑． 【解答】（1）證明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE

19、=∠CAD， ∴， ∴∠DBC=∠CAD， ∴∠DBC=∠BAE， ∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE， ∴∠DBE=∠DEB， ∴DE=DB； （2）解：連接CD，如圖所示： 由（1）得：， ∴CD=BD=4， ∵∠BAC=90°， ∴BC是直徑， ∴∠BDC=90°， ∴BC==4， ∴△ABC外接圓的半徑=×4=2． 13. 如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H. (1)如果⊙O的半徑為4，CD＝4，求∠BAC的度數(shù)； (2)若點E為的中點，連接OE，CE.求證：CE平分∠OCD； (3)在(1)的

20、條件下，圓周上到直線AC的距離為3的點有多少個？并說明理由． 【解析】：(1)∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2. 在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°. ∴∠BAC＝∠COH＝30°. (2)證明：∵點E是的中點，∴OE⊥AB. 又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC. 又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD. (3)圓周上到直線AC的距離為3的點有2個． 因為上的點到直線AC的最大距離為2，上的點到直線AC的最大距離為6，2＜3＜6，根據(jù)圓的軸對稱性，到直線AC的距離為3的點有2個． 14