2018年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員系列 專題42 弧長(zhǎng)及扇形的面積（含解析）

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1、 考點(diǎn)四十二：弧長(zhǎng)及扇形的面積 聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解 1．弧長(zhǎng)及扇形的面積 (1)半徑為r，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)公式：l＝； (2)半徑為r，n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：S＝＝lr． 2．圓錐的側(cè)面積和全面積 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，若設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2πr. (1)圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)＝πrl； (2)圓錐全面積公式：S圓錐全＝πrl＋πr2． 3．求陰影部分面積的幾種常見(jiàn)方法 (1)公式法； (2)割補(bǔ)法； (3)拼湊法； (4)等積變形構(gòu)造方程法； (5)去重法． 名師點(diǎn)睛☆典例分類 考

2、點(diǎn)典例一、弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用 【例1】（浙江省金華市第五中學(xué)2018屆九年級(jí)上冊(cè)期末模擬）已知扇形的圓心角為45°，半徑長(zhǎng)為10，則該扇形的弧長(zhǎng)為（　　） A. ???????????? B. ????????????????????? C. 3π??????????????? D. 【答案】B 【解析】試題解析：根據(jù)弧長(zhǎng)公式：l= . 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式． 【舉一反三】 （江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣射陽(yáng)湖鎮(zhèn)天平初級(jí)中學(xué)2016屆九年級(jí)下學(xué)期二模）如圖，在6×6的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，其中A、B

3、、C為格點(diǎn)．作△ABC的外接圓⊙O，則弧的長(zhǎng)為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)典例二、扇形面積的計(jì)算 【例2】（廣東省汕頭市龍湖區(qū)2017屆九年級(jí)5月模擬）已知圓心角為120°的扇形面積為12，那么扇形的弧長(zhǎng)為( ) A. 4 B. 2 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】試題分析：根據(jù)扇形的面積計(jì)算公式可得： ，則r=6，根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式可得： . 【點(diǎn)睛】本題主要考查的就是扇形的面積計(jì)算公式和弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，屬于簡(jiǎn)單題.扇形的面積計(jì)算公式為： (S為扇形的面積，l為扇形的弧長(zhǎng)

4、，n為扇形所對(duì)的圓心角的度數(shù)，r為扇形所在的圓的半徑)，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為： (l為扇形的弧長(zhǎng)，n為扇形所對(duì)的圓心角的度數(shù)，r為扇形所在的圓的半徑).在計(jì)算的時(shí)候我們一定要根據(jù)實(shí)際題目選擇合適的公式進(jìn)行計(jì)算. 【舉一反三】 （2016遼寧營(yíng)口第12題）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD垂直平分OB，垂足為點(diǎn)E，連接OD、BC，若BC=1，則扇形OBD的面積為 ． 【答案】． 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；線段垂直平分線的性質(zhì)． 考點(diǎn)典例三、扇形面積公式的運(yùn)用 【例3】（重慶市南岸區(qū)南開(kāi)（融僑）中學(xué)2017年中考數(shù)學(xué)二模）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，已知⊙O的半徑為2，則圖中的陰

5、影部分面積為（?? ） A. ? B. ? C. ? D. 【答案】A 【解析】解：連接OB、OC，連接AO并延長(zhǎng)交BC于H，則AH⊥BC． ∵△ABC是等邊三角形，∴BH=AB=，OH=1，∴△OBC的面積= ×BC×OH=，則△OBA的面積=△OAC的面積=△OBC的面積=，由圓周角定理得，∠BOC=120°，∴圖中的陰影部分面積==．故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、扇形面積的計(jì)算，掌握等邊三角形的性質(zhì)、扇形面積公式是解題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 (2017-2018學(xué)年上學(xué)期蘇州市張家港梁豐初中初三數(shù)學(xué)期末）如圖，半徑為1的四

6、個(gè)圓兩兩相切，則圖中陰影部分的面積為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵半徑為1的四個(gè)圓兩兩相切， ∴四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，圓的面積為π， 陰影部分的面積=2×2?π=4?π， 故選A. 考點(diǎn)典例四、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖 【例4】（江蘇省蘇州市虎丘區(qū)立達(dá)中學(xué)2017年中考二模）圓錐的底面半徑為4cm，高為3cm，則它的表面積為（?? ） A. 12π cm2??????????????? B. 20π cm2???????????????????? C. 26π cm2??????????? D. 36π c

7、m2 【答案】D 【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，勾股定理，圓的面積公式，圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解．注意圓錐表面積＝底面積＋側(cè)面積＝π×底面半徑2＋底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2的應(yīng)用． 【舉一反三】 （2017年內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧七中中考數(shù)學(xué)一模）將一個(gè)半徑為R，圓心角為90°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（無(wú)重疊），設(shè)圓錐底面半徑為r，則R與r的關(guān)系正確的是（　?。? A. R=8r B. R=6r C. R=4r D. R=2r 【答案】C 【解析】試題解析：根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，則 扇形的弧長(zhǎng)是： 即 ∴R=4r. 故選C. 考點(diǎn)典

8、例五、求陰影部分的面積 【例5】(陜西西安市西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2017屆九年級(jí)五模) 如圖，在中，，，以中點(diǎn)為圓心，作圓心角為的扇形，點(diǎn)恰好在上，下列關(guān)于圖中陰影部分的說(shuō)法正確的是（ ）． A. 面積為 B. 面積為 C. 面積為 D. 面積隨扇形位置的變化而變化 【答案】C 【解析】作于，于，連接，如圖所示： ∵，， ∴， ， ， ∴， ∴四邊形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴四邊形的面積正方形的面積， 又∵，， ∴， ∴． ∴． 故選． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的全等

9、的判定與扇形的面積的計(jì)算的綜合題，正確證明△DMG≌△DNH，得到S四邊形DGCH=S四邊形DMCN是解題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 （2017年湖南省張家界市永定區(qū)中考數(shù)學(xué)一模）已知：AB是⊙O的直徑，直線CP切⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CP于D． （1）求證：CB2=AB?DB； （2）若⊙O的半徑為2，∠BCP=30°，求圖中陰影部分的面積． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析； （2）陰影部分的面積= 【解析】試題分析：（1）由CP是 ⊙O的切線，得出∠BCD=∠BAC，AB是直徑，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出結(jié)論△ACB∽△CDB，從而得出結(jié)論；

10、（2）求出△OCB是正三角形，陰影部分的面積=S扇形OCB-S△OCB=． 試題解析： (1)提示：先證∠ACB=∠CDB=90°， 再證∠BAC=∠BCD, 得△ACB∽△CDB， ∴ (2)解：如圖，連接OC， ∵直線CP是⊙O的切線，∠BCP=30°， ∴∠COB=2∠BCP=60°， ∴△OCB是正三角形， ∵⊙O的半徑為2， ∴S△OCB=，S扇形OCB= ， ∴陰影部分的面積=S扇形OCB－S△OCB=． 課時(shí)作業(yè)☆能力提升 1. （2017年廣東省中考數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)一模）三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，三角板繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)

11、針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在AB邊的起始位置上時(shí)即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則B點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（　　） A. π B. π C. 2π D. 3π 【答案】C 2. （江蘇省蘇州市高新區(qū)2017屆初中畢業(yè)暨升學(xué)考試模擬）如圖，菱形ABCD放置在直線l上(AB與直線l重合)，AB＝4，∠DAB＝60°，將菱形ABCD沿直線l向右無(wú)滑動(dòng)地在直線l上滾動(dòng)，從點(diǎn)A離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)到點(diǎn)A第一次落在直線l上為止，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)度為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】畫(huà)出圖形即可知道，從點(diǎn)A離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)到A第一次落在直線上為止，點(diǎn)A

12、運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度為圖中的弧線長(zhǎng)，由此即可解決問(wèn)題. 解：如圖，從點(diǎn)A離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)到點(diǎn)A第一次落在直線l上為止，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度為圖中的弧線長(zhǎng). 由題意可知=，∠DOA2=120°，DO=4， 所以點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度=， 故選D. 3. （浙江省金華市第五中學(xué)2018屆九年級(jí)上冊(cè)期末模擬）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，則圖中陰影部分的面積為（　?。? A. π﹣4??????????B. ????????????? C. π﹣2??????????? D. 【答案】C 【解析】試題解析：∵∠BAC=45°， ∴∠BOC=90

13、°， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∵OB=2， ∴△OBC的BC邊上的高為： OB=， ∴BC=2 ∴S陰影=S扇形OBC﹣S△OBC=. 故選C． 4. （山東省臨沂市臨沭縣青云鎮(zhèn)中心中學(xué)2017屆九年級(jí)第一次模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 ，則陰影部分圖形的面積為（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】連接OD. ∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD= (垂徑定理)， 又∵∠CDB=30°， ∴∠COB=60°(圓周角定理)， ∴OC=2， 故 .

14、 故選：D. 5. （2017年福建省漳州一中分校九年級(jí)數(shù)學(xué)綜合）如果圓錐的母線長(zhǎng)為6cm，底面圓半徑為3cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（　　） A. 9πcm2 B. 18πcm2 C. 27πcm2 D. 36πcm2 【答案】B 【解析】底面圓半徑為3cm，則底面周長(zhǎng)=6π，圓錐的側(cè)面積=×6π×6=18πcm2． 故選B． 6. （2017年遼寧省鞍山二十中中考數(shù)學(xué)模擬）一個(gè)圓錐形的零件，如果經(jīng)過(guò)圓錐的軸的剖面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，那么圓錐的表面積是（　?。? A. 8πcm2 B. 10πcm2 C. 12πcm2 D. 16πc

15、m2 【答案】C 7.（2017年天津市東麗區(qū)立德中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬）已知如圖，圓錐的母線長(zhǎng)6cm，底面半徑是3cm，在B處有一只螞蟻，在AC中點(diǎn)P處有一顆米粒，螞蟻從B爬到P處的最短距離是（　?。? A. 3cm B. 3cm C. 9cm D. 6cm 【答案】B 【解析】∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，設(shè)該扇形的圓心角為n， 則： =×2×3π，其中r=3， ∴n=180°，如圖所示： 由題意可知，AB⊥AC，且點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)， 在Rt△ABP中，AB=6，AP=3， ∴BP==3cm， 故螞蟻沿線段Bp爬行，路程最短，最短的路程是3cm．

16、 8. （2017年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)模擬）如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)都為1的方格紙中，△ABO的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，將△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△A1B1O，則點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)____． 【答案】 9.（2017年湖北省黃岡市白蓮中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模）如圖，一扇形紙扇完全打開(kāi)后，外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB長(zhǎng)為30cm，AD長(zhǎng)為12cm，則貼紙（兩面貼）的面積是_____cm2． 【答案】504π 【解析】試題解析：設(shè)AB=R，AD=r，則有 S貼紙=2（πR2-πr2） =π（R2-r2） =π（R+r）（R-r） =π（30+

17、12）（30-12） =504π（cm2）． 故答案為504π． 10. （2017年遼寧省營(yíng)口市大石橋市水源鎮(zhèn)中考數(shù)學(xué)模擬）如圖，△ABC中，∠C=90°，tanA=，以C為圓心的圓與AB相切于D．若圓C的半徑為1，則陰影部分的面積S=_____． 【答案】 【解析】連接CD， ∵以C為圓心的圓與AB相切于D，⊙C的半徑為1，∠ACB=90°， ∴CD⊥AB，CD=1，S扇形CEF=， ∵tanA=，CD=1， ∴AD=， ∴在Rt△ADC中，由勾股定理可得：AC=， 又∵在Rt△ABC中，tanA= ， ∴BC=， ∴S△ACB=AC?BC=， ∴S陰影=S

18、△ABC﹣S扇形CEF=. 故答案為： . 11.（2017年廣東省韶關(guān)市南雄市中考數(shù)學(xué)模擬）如圖，三個(gè)同心圓扇形的圓心角∠AOB為120o，半徑OA為6cm，C、D是圓弧AB的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積等于_____cm2． 【答案】4π 【解析】解：扇形面積==4π（cm2）． 12.（2017年廣東省東莞市中堂六校中考數(shù)學(xué)三模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=12cm，將△ABC以點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D處，則AC邊掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積是_____cm2．（結(jié)果保留π）． 【答案】36π 【解析

19、】∵∠C是直角，∠ABC=60°， ∴∠BAC=90°﹣60°=30°， ∴BC=AB=×12=6cm， ∵△ABC以點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BDE， ∴S△BDE=S△ABC，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=120°， ∴陰影部分的面積=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC =S扇形ABE﹣S扇形BCD=-=48π﹣12π=36πcm2 點(diǎn)睛：能根據(jù)題意確定出出陰影部分的面積=S扇形ABE﹣S扇形BCD，是解題的關(guān)鍵. 13.（2017年安徽省六安八中中考數(shù)學(xué)模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），將OP繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′

20、． （1）在圖中畫(huà)出線段OP′； （2）求P′的坐標(biāo)和的長(zhǎng)度． 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. 【解析】試題分析： （1）按要求在圖中畫(huà)出線段OP′即可； （2）①根據(jù)（1）中所畫(huà)線段OP′對(duì)照?qǐng)D形寫(xiě)出點(diǎn)P′的坐標(biāo)即可；②先由點(diǎn)P的坐標(biāo)計(jì)算出OP的長(zhǎng)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式： 弧長(zhǎng)=計(jì)算即可. 試題解析： （1）所畫(huà)線段OP′如下圖： （2）①由圖可知：點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣4，3）； ②∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）， ∴OP=， 又∵旋轉(zhuǎn)角∠POP′=90°， ∴弧長(zhǎng)PP′=. 14.（浙江省湖州市九校2017屆九年級(jí)四月聯(lián)合模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的

21、延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E． （1）求證：∠BDC=∠A; （2）若CE=2，DE=2，求AD的長(zhǎng)， （3）在（2）的條件下，求弧BD的長(zhǎng)。 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4 （3） 試題解析： 證明：連接, ∵是切線， ∴， 即 ∵為的直徑， 即 在直角 中, 是等邊三角形,則 則的長(zhǎng)是 15.（遼寧營(yíng)口大石橋市水源鎮(zhèn)九年一貫制學(xué)校2017屆中考數(shù)學(xué)模擬） 如圖，在△ABC中，AB=AC

22、，以AB為直徑的⊙O分別交線段BC，AC于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，線段FD，AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G． （1）求證：DF是⊙O的切線； （2）若CF=2，DF=2，求圖中陰影部分的面積． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】（1）連接AD、OD，由AB為直徑可得出點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，由此得出OD為△BAC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得出OD⊥DF，從而證出DF是⊙O的切線； （2）CF=1，DF=，通過(guò)解直角三角形得出CD=2、∠C=60°，從而得出△ABC為等邊三角形，再利用分割圖形求面積法即可得出陰影部分的面積． （1）證明：連接AD、OD，如圖所示． ∵AB為直徑， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC，∵AC=AB， ∴點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)． ∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)， ∴OD為△BAC的中位線， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切線． 20