九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 期末高效復(fù)習(xí) 專題6 直線與圓的位置關(guān)系（含解析） 浙教版

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1、 專題6　直線與圓的位置關(guān)系 題型一　直線與圓的位置關(guān)系 例 1　[2017·余杭區(qū)一模]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(sin45°，cos30°)的直線，與以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的位置關(guān)系是(　A　) A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三者都有可能 【解析】 如答圖，設(shè)直線經(jīng)過的點(diǎn)為A， 例1答圖 ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(sin45°，cos30°)，∴OA＝＝，∵圓的半徑為2，∴OA＜2，∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，∴直線和圓一定相交． 變式跟進(jìn) 1．[2017·市北區(qū)二模]⊙O的半徑r＝5 cm，直線l到圓心O的距離d＝4，則l與⊙O的位置關(guān)系是(　C　) A．相離

2、 　B．相切 C．相交 D．重合 【解析】 ∵⊙O的半徑為5 cm，圓心O到直線l的距離為4 cm，5＞4，即d＜r，∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交． 2．[2017·陽谷一模]已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為6 cm，底邊長(zhǎng)4 cm，以等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)為圓心5 cm為半徑畫圓，那么該圓與底邊的位置關(guān)系是(　A　) A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定 【解析】 如答圖，在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于D，則BD＝CD＝BC＝2，∴AD＝＝＝4＞5，即d＞r，∴該圓與底邊的位置關(guān)系是相離． 　第2題答圖 題型二　切線的性質(zhì) 例 2　[2016·天津]在⊙O中，

3、AB為直徑，C為⊙O上一點(diǎn)． (1)如圖1①，過點(diǎn)C作⊙O的切線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，若∠CAB＝27°，求∠P的大?。? (2)如圖②，D為弧AC上一點(diǎn)，且OD經(jīng)過AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DC并延長(zhǎng)，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小． 圖1 解： (1)如答圖，連結(jié)OC，∵⊙O與PC相切于點(diǎn)C， 例2答圖 ∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°， ∴∠COB＝2∠CAB＝54°， 在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°， ∴∠P＝90°－∠COP＝36°； (2)∵E為AC的中點(diǎn)， ∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°， 在

4、Rt△AOE中，由∠EAO＝10°， 得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°， ∴∠ACD＝∠AOD＝40°， ∵∠ACD是△ACP的一個(gè)外角， ∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°. 【點(diǎn)悟】　已知切線，常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心作半徑． 變式跟進(jìn) 3．已知BC是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連結(jié)AB，AO. (1)如圖2①，求證：∠OAC＝∠DAB； (2)如圖②，AD＝AC，若E是⊙O上一點(diǎn)，求∠E的大?。? 圖2 解：(1)證明：∵AD是⊙O的切線，切點(diǎn)為A， ∴DA⊥AO，∴∠DAO＝90°， ∴∠DAB＋∠BAO＝90

5、°， ∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°， ∴∠BAO＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠DAB； (2)∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C， ∵AD＝AC，∴∠D＝∠C，∴∠OAC＝∠D， ∵∠OAC＝∠DAB，∴∠DAB＝∠D， ∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠D， ∵∠D＝∠C，∴∠ABC＝2∠C， ∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°， ∴2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴∠E＝∠C＝30°. 題型三　切線的判定 例 3　如圖3，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，連結(jié)OC交⊙O于點(diǎn)E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點(diǎn)G. (1)求證：點(diǎn)E

6、是弧BD的中點(diǎn)； (2)求證：CD是⊙O的切線． 圖3 　　例3答圖 證明：(1)如答圖，連結(jié)OD，∵AD∥OC， ∴∠1＝∠A，∠2＝∠ODA，∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA，∴∠1＝∠2， ∴＝，即點(diǎn)E是的中點(diǎn)； (2)在△OCD和△OCB中， ∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC＝∠OBC＝90°， ∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線． 【點(diǎn)悟】　證某直線為圓的切線時(shí)，如果已知直線與圓有公共點(diǎn)，即可作出過該點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于該半徑，即“作半徑，證垂直”；如果不能確定某直線與已知圓有公共點(diǎn)，則過圓心作直線的垂線段，證明它到圓心的距離等

7、于半徑，即“作垂直，證半徑”．在證明垂直時(shí)，常用到直徑所對(duì)的圓周角是直角． 變式跟進(jìn) 4．如圖4，AB是⊙O的直徑，C，D為半圓O上的兩點(diǎn)，CD∥AB，過點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠A＝60°. (1)求證：CE是⊙O的切線； (2)猜想四邊形AOCD是什么特殊的四邊形，并證明你的猜想． 圖4 　　第4題答圖 解：(1)證明：連結(jié)OD，如答圖所示． ∵∠A＝60°，OA＝OD， ∴△OAD是等邊三角形， ∴∠ADO＝∠AOD＝60°， ∵CD∥AB，∴∠ODC＝60°， ∵OC＝OD，∴△COD是等邊三角形， ∴∠COD＝60°

8、＝∠ADO，∴OC∥AE， ∵CE⊥AE，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切線； (2)四邊形AOCD是菱形．證明： 由(1)得△OAD和△COD是等邊三角形， ∴OA＝AD＝CD＝OC，∴四邊形AOCD是菱形． 題型四　切線長(zhǎng)定理及三角形的內(nèi)切圓 例 4　[2017·鄒平模擬]Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，內(nèi)切圓半徑為1，則三角形的周長(zhǎng)為(　B　) A．15 　B．12 C．13 D．14 【解析】如答圖，連結(jié)OA，OB，OC，OD，OE，OF，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，AD＝AE，BE＝BF，∴∠ODC

9、＝∠OFC＝∠ACB＝90°，∵OD＝OF，∴四邊形ODCF是正方形，∴CD＝OD＝OF＝CF＝1，∵AD＝AE，BF＝BE，且AE＋BE＝AB＝5，∴AD＋BF＝5，∴△ABC的周長(zhǎng)是AC＋BC＋AB＝AD＋CD＋CF＋BF＋AB＝5＋1＋1＋5＝12. 例4答圖 【點(diǎn)悟】　(1)求證三角形內(nèi)切圓的問題時(shí)，常用到面積法：S△ABC＝(a＋b＋c)r，其中r為△ABC的內(nèi)切圓半徑，a，b，c為△ABC的三條邊的長(zhǎng)度；(2)已知直角三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c(其中c為斜邊)，則內(nèi)切圓半徑r＝；(3)解三角形與圓相切的問題時(shí)，常利用切線長(zhǎng)定理及勾股定理等列方程(組)來求半徑長(zhǎng)． 變式跟進(jìn)

10、 5．在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，如圖5所示，I是△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，則∠ICD的度數(shù)是(　C　) A．50° 　B．55° C．60° D．65° 圖5 【解析】 ∵△ABC中，∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝180°－50°－60°＝70°，又∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BCD＝∠BAD＝∠BAC＝35°，∠BCI＝∠ACB＝25°，∴∠BCD＋∠BCI＝35°＋25°＝60°，即∠ICD＝60°. 6．如圖6，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠P＝60°. (1)求∠BAC的度數(shù)； (

11、2)當(dāng)OA＝2時(shí)，求AB的長(zhǎng)． 圖6 　　第6題答圖 解：(1)∵PA，PB是⊙O的切線， ∴AP＝BP，∵∠P＝60°， ∴∠PAB＝60°，∵PA是⊙O的切線， ∴∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°； (2)如答圖，連結(jié)OP，則在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4， 由勾股定理得AP＝2， ∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等邊三角形， ∴AB＝AP＝2. 過關(guān)訓(xùn)練 1．同學(xué)們玩過滾鐵環(huán)嗎？鐵環(huán)的半徑是30 cm，手柄長(zhǎng)40 cm.當(dāng)手柄的一端勾在環(huán)上，另一端到鐵環(huán)的圓心的距離為50

12、 cm時(shí)，鐵環(huán)所在的圓與手柄所在的直線的位置關(guān)系為(　C　) A．相離 B．相交 C．相切 D．不能確定 【解析】 根據(jù)題意畫出圖形，如答圖所示． 第1題答圖 由已知得BC＝30 cm，AC＝40 cm，AB＝50 cm，∵BC2＋AC2＝302＋402＝900＋1 600＝2 500，AB2＝502＝2 500， ∴BC2＋AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC， ∴AC為圓B的切線， 即此時(shí)鐵環(huán)所在的圓與手柄所在的直線的位置關(guān)系為相切． 2．[2017·臨沂模擬]如圖1，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，點(diǎn)A在MB上，以AB為直徑作⊙O與

13、MC相切于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為(　C　) 圖1 A. B. C．2 D．3 【解析】 在Rt△BCM中，tan60°＝＝，得到BC＝＝2，∵AB為⊙O的直徑，且AB⊥BC，∴BC為⊙O的切線，又∵CD也為⊙O的切線，∴CD＝BC＝2. 3．[2017·西湖區(qū)校級(jí)二模]如圖2，用一把帶有刻度的角尺：(1)可以畫出兩條平行的直線a與b，如圖①；(2)可以畫出∠AOB的平分線OP，如圖②所示；(3)可以檢驗(yàn)工件的凹面是否為半圓，如圖③所示；(4)可以量出一個(gè)圓的半徑，如圖④所示．這四種說法中正確的個(gè)數(shù)有(　D　) 圖2 A．1 　B．2 C．3 D．4 【解析】 (1

14、)根據(jù)平行線的判定：同位角相等，兩直線平行，可知正確；(2)可以畫出∠AOB的平分線OP，可知正確；(3)根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，可知正確；(4)此作法正確．所以正確的有4個(gè)． 4．[2017·金鄉(xiāng)三模]已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列選項(xiàng)中⊙O半徑為的是(　A　) 　 A　　　　B　 　　C　　 　　D 【解析】 B．設(shè)AB切⊙O于F，圓的半徑是y，連結(jié)OF，則△BCA∽△OFA，得出＝，代入求出y＝；C.設(shè)AC，BC分別切⊙O于E，D，連結(jié)OE，OD，得到∠OEC＝∠ODC＝∠C＝90°，證出四邊形OECD是正方

15、形，設(shè)⊙O的半徑是r，證△ODB∽△AEO，得出＝，代入即可求出r＝；D.設(shè)⊙O的半徑是x，圓切AC于E，切BC于D，切AB于F，同樣得到正方形OECD，根據(jù)a＋x＝c＋b－x，求出x＝. 5．[2017·溧水區(qū)一模]如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，內(nèi)切圓O與邊AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則∠DEF的度數(shù)為__75°__． 圖3 【解析】 如答圖，連結(jié)DO，F(xiàn)O， 第5題答圖 ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵內(nèi)切圓O與邊AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴∠ODA＝∠OFA＝90°，∴∠DOF＝150°

16、，∴∠DEF的度數(shù)為75°. 6．如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于E. (1)求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)； (2)當(dāng)∠B＝__45__°時(shí)，四邊形ODEC是正方形． 圖4 　　第6題答圖 解：(1)證明：如答圖，連結(jié)DO， ∵∠ACB＝90°，AC為直徑， ∴EC為⊙O的切線． 又∵ED也為⊙O的切線，∴EC＝ED， 又∵∠EDO＝90°，∴∠BDE＋∠ADO＝90°， ∴∠BDE＋∠A＝90°，又∵∠B＋∠A＝90°， ∴∠BDE＝∠B，∴EB＝ED， ∴

17、EB＝EC，即點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)； (2)當(dāng)∠B＝45°時(shí)，四邊形ODEC是正方形， ∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°， ∵OA＝OD，∴∠ADO＝45°， ∴∠AOD＝90°，∴∠DOC＝90°， ∵∠ODE＝90°，∴四邊形ODEC是矩形， ∵OD＝OC，∴矩形ODEC是正方形． 7．如圖5，⊙O的直徑AB＝6，∠ABC＝30°，BC＝6，D是線段BC的中點(diǎn)． (1)試判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； (2)過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，求證：直線DE是⊙O的切線． 圖5 　　第7題答圖 解：(1)點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系是

18、D在⊙O上， 理由：設(shè)BC交⊙O于F，如答圖，連結(jié)AF， ∵AB為⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°， ∵AB＝6，∠ABC＝30°，∴AF＝AB＝3， 由勾股定理得BF＝3， ∵BC＝6，D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝3， 即D，F(xiàn)互相重合，∴D在⊙O上； (2)證明：連結(jié)OD，∵D為BC的中點(diǎn)，AO＝BO， ∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE， ∵OD為半徑，∴直線DE是⊙O的切線． 8．如圖6，已知PA，PB分別切⊙O于A，B，E為劣弧AB上一點(diǎn)，過E點(diǎn)的切線交PA于C，交PB于D. (1)若PA＝6，求△PCD的周長(zhǎng)； (2)若∠P＝50°，求∠DOC的大小．

19、 圖6 　　第8題答圖 解：(1)如答圖，連結(jié)OE，∵PA，PB與⊙O相切， ∴PA＝PB＝6，同理可得AC＝CE，BD＝DE， ∴△PCD的周長(zhǎng)＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PA＋PB＝12； (2)∵PA，PB與⊙O相切， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠P＝50°， ∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°， 在Rt△AOC和Rt△EOC中， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)， ∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD， ∴∠DOC＝∠AOB＝65°. 9．[2017·曲靖模擬]如圖7

20、，C為以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D. (1)求證：AC平分∠BAD； (2)若CD＝3，AC＝3，求⊙O的半徑長(zhǎng)． 圖7 　　第9題答圖 解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OC， ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO， ∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴AD∥CO， ∴∠DAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO， ∴AC平分∠BAD； (2)過點(diǎn)O作OE⊥AC于E， ∵CD＝3，AC＝3， 在Rt△ADC中，AD＝＝6， ∵OE⊥AC， ∴AE＝AC＝， ∵∠CAO＝∠DAC，∠AEO＝

21、∠ADC＝90°， ∴△AEO∽△ADC， ∴＝，即＝，解得AO＝， ∴⊙O的半徑為. 10．[2017·廣安模擬]如圖8，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線EF，交AB和AC的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn). (1)求證：FE⊥AB； (2)當(dāng)AE＝6，sinF＝時(shí)，求EB的長(zhǎng)． 圖8 　　第10題答圖 解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OD. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC， ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB， ∴∠ODF＝∠AEF，∵EF與⊙O相切， ∴OD⊥EF，∴EF⊥AB； (2)設(shè)OA＝OD＝OC＝r， 由(1)知，OD∥AB，OD⊥EF， 在Rt△AEF中，sinF＝＝，AE＝6， ∴AF＝10，∵OD∥AB， ∴△ODF∽△AEF，∴＝， ∴＝，解得r＝， ∴AB＝AC＝2r＝， ∴EB＝AB－AE＝－6＝. 12