《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》§4.5道路連通空間.doc

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4.5　道路連通空間 較之于連通空間的概念，道路連通空間這個(gè)概念似覺更符合我們的直覺因而易于理解些． 我們先定義“道路”． 　　定義4.5.1　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．從單位閉區(qū)間[0，1]→X的每一個(gè)連續(xù)映射f:[0，1]→X叫做X中的一條道路，并且此時(shí)f(0)和f(1)分別稱為道路f的起點(diǎn)和終點(diǎn)．當(dāng)x＝f（0）和y＝f（1）時(shí)，稱f是X中從x到y(tǒng)的一條道路．起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的道路稱為閉路，并且這時(shí)，它的起點(diǎn)（也是它的終點(diǎn)）稱為閉路的基點(diǎn)． 　　如果f是X中的一條道路，則道路f的象集f([0，l])稱為X中的一條曲線或弧，并且這時(shí)道路f的起點(diǎn)和終點(diǎn)也分別稱為曲線f([0,1])的起點(diǎn)和終點(diǎn)． 　　或許應(yīng)當(dāng)提醒讀者，“道路”這個(gè)詞在這里所表達(dá)的意思已經(jīng)與我們對(duì)它原有的理解頗有不同，希望讀者不要因此而混淆了我們在這里嚴(yán)格定義的道路和曲線這兩個(gè)不同的概念． 　　定義4.5.2　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．如果對(duì)于任何x，y，存在著X中的一條從x到y(tǒng)的道路（或曲線），我們則稱X是一個(gè)道路連通空間．X中的一個(gè)子集Y稱為X中的一個(gè)道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個(gè)道路連通空間．(Y是否道路連通與X是否道路連通沒有關(guān)系) 　　實(shí)數(shù)空間R是道路連通的．這是因?yàn)槿绻鹸，y∈R，則連續(xù)映射f:[0，1]→R定義為對(duì)于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為起點(diǎn)以y為終點(diǎn)的道路、也容易驗(yàn)證任何一個(gè)區(qū)間都是道路連通的． 　　定理4.5.1　如果拓?fù)淇臻gX是一個(gè)道路連通空間，則X必然是一個(gè)連通空間． 　　證明　對(duì)于任何x，y∈X，由于X道路連通，故存在從x到y(tǒng)的一條道路f:[0，l]→X這時(shí)曲線f（[0,1]），作為連通空間[0，l]在連續(xù)映射下的象，是X中的一個(gè)連通子集，并且我們有x，y∈f（[0，1]）．因此根據(jù)定理4.1.7可見X是一個(gè)連通空間． 　　連通空間可以不是道路連通的．我們已經(jīng)指出例4．4．l中的是一個(gè)連通空間．不難證明（留作習(xí)題，見習(xí)題第3題）它不是道路連通的． 　　道路連通與局部連通之間更沒有必然的蘊(yùn)涵關(guān)系、例如離散空間都是局部連通的，然而包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間不是連通空間，當(dāng)然也就不是道路連通空間了． 　　定理4.5.2　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X是道路連通的，f:X→Y是一個(gè)連續(xù)映射．則 f（X）是道路連通的． 　　證明　設(shè)．由于X是道路連通的，故X中有從到的一條道路g：[0，1]→X．易見，映射h：[0，1]→f(X)，定義為對(duì)于任意t∈[0，1]有h（t）=fg（t），是f（X）中從到的一條道路．這證明f（X）是道路連通的． 　　根據(jù)定理4.5.2可見，空間的道路連通性是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是一個(gè)可商性質(zhì). 　　定理4.5.3　設(shè)是n≥1個(gè)道路連通空間．則積空間 也是道路連通空間． 　　證明　我們只需要對(duì)n＝2的情形加以證明． 　　設(shè)對(duì)于i=l，2，由于是道路連通空間，故在中有從到的一條道路：[0，1]→．定義映射f：[0，1]→，使得對(duì)于任何t∈[0，l]有f（t）＝（)．容易驗(yàn)證（應(yīng)用定理3．2.7）f是連續(xù)的，并且有f(0)=x,f(1)=y．這也就是說f是中從x到y(tǒng)的一條道路．這證明 是一個(gè)道路連通空間． 　　作為定理4.5.3的一個(gè)直接的推論立即可見：n維歐氏空間是一個(gè)道路連通空間．（這個(gè)結(jié)論也容易直接驗(yàn)證．） 　　為了今后的需要我們證明以下引理， 　　定理4.5.4[粘結(jié)引理]　設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個(gè)開集（閉集），并且有X＝A∪B．又設(shè)Y是一個(gè)拓?fù)淇臻g， ：A→Y和：B→Y是兩個(gè)連續(xù)映射，滿足條件： 　　 　　定義映射f:X→Y使得對(duì)于任何x∈X， 　　f（x）＝ 　　則f是一個(gè)連續(xù)映射． 　　證明　首先注意，由于 ，映射f的定義是確切的．因?yàn)楫?dāng)x∈A∩B時(shí)，有 ． 　　其次，我們有：對(duì)于Y的任何一個(gè)子集Z有 　　 　　這是由于 　　現(xiàn)在設(shè)U是Y的一個(gè)開集．由于 都連續(xù)，所以分別是A和B的開集．然而A和B都是X的開集，所以也都是X的開集．因此是X的一個(gè)開集．這便證明了f是一個(gè)連續(xù)映射． 　　當(dāng)A和B都是X的閉集時(shí)，證明是完全類似的． 　　我們現(xiàn)在按建立連通分支概念完全類似的方式建立道路連通分支的概念． 　　定義4.5.3　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x，y∈X．如果X中有一條從x到y(tǒng)的道路，我們則稱點(diǎn)x和y是道路連通的．(注意:是“點(diǎn)”道路連通) 　　根據(jù)定義可見，如果x，y，z都是拓?fù)淇臻gX中的點(diǎn)，則 　　（1）x和x道路連通；（因?yàn)槿〕Ｖ档挠成鋐: [0，1]→X（它必然是連續(xù)的）便是一條從x到x的道路．） 　?。?）如果x和y連通，則y和x也連通；(設(shè)f:[0，1]→X是X中從x到y(tǒng)的一條道路．定義映射j：[0，l]→X，使得對(duì)于任何t∈[0，l]有j（t）＝f（1－t）．容易驗(yàn)證j是一條從y到x的道路．) 　?。?）如果x和y連通，并且y和z連通，則x和z連通．（設(shè)：[0，1]→X分別是X中從x到y(tǒng)和從y到z的道路．定義映射f:[0，1]→X使得對(duì)于任何t∈[0，l]， 　　 　　應(yīng)用粘結(jié)引理立即可見f是連續(xù)的，此外我們有f（0）＝（0）=x和f(1)=(1)=z．因此f是從x到z的一條道路．） 　　以上結(jié)論歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的道路連通關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系． 　　定義4.5.4　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．對(duì)于X中的點(diǎn)的道路連通關(guān)系而言的每一個(gè)等價(jià)類稱為拓?fù)淇臻gX的一個(gè)道路連通分支． 　　如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集．Y作為X的子空間的每一個(gè)道路連通分支稱為X的子集Y的一個(gè)道路連通分支． 　　拓?fù)淇臻gX的每一個(gè)道路連通分支都不是空集；X的不同的道路連通分支無交；以及X的所有道路連通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X屬于X的同一個(gè)道路連通分支當(dāng)且僅當(dāng)x和y道路連通． 　　拓?fù)淇臻gX的子集A中的兩個(gè)點(diǎn)x和y屬于A的同一個(gè)道路連通分支的充分必要條件是A中有一條從x到y(tǒng)的道路． 　　根據(jù)定義易見，拓?fù)淇臻g中每一個(gè)道路連通分支都是一個(gè)道路連通子集；根據(jù)定理4.5.1，它也是一個(gè)連通子集；又根據(jù)定理4．3．l，它必然包含在某一個(gè)連通分支之中． 　　作為定理4.5.l在某種特定情形下的一個(gè)逆命題，我們有下述定理： 　　定理4.5.5　n維歐氏空間 的任何一個(gè)連通開集都是道路連通的． 　　證明 首先我們注意n維歐氏空間中的任何一個(gè)球形鄰域都是道路連通的，這是因?yàn)樗哂趎維歐氏空間本身． 　　其次證明n維歐氏空間的任何一個(gè)開集的任何一個(gè)道路連通分支都是一個(gè)開集：設(shè)U是的一個(gè)開集，C是U的一個(gè)道路連通分支．設(shè)x∈C．因?yàn)閁是一個(gè)包含x的開集，所以也包含著以x為中心的某一個(gè)球形鄰域B（x，ε）．由于球形鄰域B(x,ε)是道路連通的，并且B（x，ε）∩C包含著x，故非空,這導(dǎo)致B（x，ε）C．所以C是一個(gè)開集． 　　最后,設(shè)V是的一個(gè)連通開集．如果V，則沒有什么要證明的．下設(shè)V．V是它的所有道路連通分支的無交并，根據(jù)前一段中的結(jié)論，每一個(gè)道路連通分支都是開集．因此如果V有多于一個(gè)道路連通分支，易見這時(shí)V可以表示為兩個(gè)無交的非空開集之并，因此V是不連通的，這與假設(shè)矛盾．因此V只可能有一個(gè)道路連通分支，也就是說V是道路連通的． 　　推論4.5.6　n維歐氏空間中任何開集的每一個(gè)道路連通分支同時(shí)也是它的一個(gè)連通分支． 　　證明　由于n維歐氏空間是一個(gè)局部連通空間，根據(jù)定理4．4．1，它的任何開集的任何連通分支都是開集.根據(jù)定理4.5.5，的任何開集的任何連通分支都是道路連通的，因此包含于這個(gè)開集的某一個(gè)道路連通分支之中．另一方面．任何一個(gè)集合的道路連通分支，由于它是連通的，因此包含于這個(gè)集合的某一個(gè)連通分支之中，本推論的結(jié)論成立． 　　通過引進(jìn)局部道路連通的概念，定理4.5.5和推論4.5.6的結(jié)論可以得到推廣．（參見習(xí)題5．） 　　 作業(yè): 　　P132 1. 2. 　　 本章總結(jié)： 　?。?）有關(guān)連通、局部連通、道路連通均為某個(gè)集合的概念，與這個(gè)集合的母空間是否連通、局部連通、道路連通無關(guān)． 　?。?）掌握連通、局部連通、道路連通這三者之間的關(guān)系． 　　（3）記住中的哪些子集是連通、局部連通、道路連通的． 　?。?）連通、局部連通、道路連通分支是一個(gè)分類原則，即每個(gè)集合都是若干個(gè)某某分支的并，任兩個(gè)不同的分支無交，每個(gè)分支非空．若兩個(gè)分支有交，則必是同一個(gè)分支． 　?。?）連通是本章的重點(diǎn)． 　?。?）掌握證明連通、不連通及道路連通的方法．特別注意反證法． 　?。?）掌握連通性、局部連通性、道路連通是否是連續(xù)映射所保持的、有限可積的、可遺傳的．