北師大版 九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第1章 特殊的平行四邊形單元測(cè)試卷

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1、九年級(jí)（上）數(shù)學(xué) 第1章 特殊的平行四邊形 單元測(cè)試卷 一．選擇題（共10小題） 1．平行四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，下列條件中，不能判定平行四邊形是菱形的是　　 A． B． C． D．平分 2．下列不能判斷是正方形的有　　 A．對(duì)角線互相垂直的矩形 B．對(duì)角線相等的矩形 C．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形 D．對(duì)角線相等的菱形 3．如圖所示，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中，不一定正確的是　　 A．的面積等于的面積 B．當(dāng)時(shí)，它是菱形 C．當(dāng)時(shí)，它是矩形 D．的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng) 4．如圖，菱形的頂點(diǎn)在直線上，若，，則的度數(shù)為　　 A． B． C． D

2、． 5．如圖，以正方形的邊向外作等邊三角形，連接，則的度數(shù)為　　 A． B． C． D． 6．如圖，已知點(diǎn)為的邊上的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到，使得，要使四邊形為矩形，中需添加的條件是　　 A． B． C． D． 7．如圖，、都是矩形，而且點(diǎn)在上，這兩個(gè)矩形的面積分別是，，則，的關(guān)系是　　 A． B． C． D． 8．如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．若，菱形的面積為54，則的長(zhǎng)為　　 A．4 B．4.5 C．8 D．9 9．如圖，已知是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，，作，，、相交于點(diǎn)．四邊形的周長(zhǎng)是20，則　　 A．5 B． C．10 D． 10．如圖，

3、在矩形中，，且，點(diǎn)、分別在、上，連接、，若四邊形是菱形，則的長(zhǎng)為　　 A． B．3 C． D．4 二．填空題（共8小題） 11．已知正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，則正方形的面積為　　． 12．如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，若，則　?。? 13．平行四邊形對(duì)角線互相垂直，若添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使四邊形為正方形．則添加條件可以是　?。ㄖ恍杼砑右粋€(gè)）． 14．如圖，在菱形中，與交于點(diǎn)，若，，則菱形的面積為　?。? 15．如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)是斜梁的中點(diǎn)，立柱，垂直于橫梁，，，則　?。? 16．如圖，在正方形中，是對(duì)角線上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．若，則　?。? 17．如圖，

4、點(diǎn)是矩形的對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，連接，．若，．則圖中陰影部分的面積為　?。? 18．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以每秒的速度運(yùn)動(dòng)，以每秒的速度從點(diǎn)出發(fā)，在、兩點(diǎn)之間做往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)為止（同時(shí)點(diǎn)也停止），這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為　　時(shí)，、、、四點(diǎn)組成矩形． 三．解答題（共7小題） 19．如圖，在矩形中，、分別是，邊上的點(diǎn)，且，若，試判斷四邊形的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由． 20．如圖，正方形和正方形有公共點(diǎn)，點(diǎn)在線段上． （1）判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由： （2）若正方形的邊長(zhǎng)為2，正方形的邊長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)． 21．如圖，在正方形中，是上一點(diǎn)

5、，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且． （1）求證：； （2）若點(diǎn)在上，且，則成立嗎？為什么？ 22．如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，且，． （1）求證：四邊形是菱形． （2）若，，求四邊形的周長(zhǎng)和面積． 23．如圖，是菱形對(duì)角線與的交點(diǎn)，，；過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)． （1）求證：四邊形為矩形； （2）求四邊形的面積． 24．如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接． （1）求證：四邊形是矩形； （2）連接，若，，求的長(zhǎng)度． 25．如圖所示，在菱形中，，，為正三角形，點(diǎn)、分別在菱形的邊、上滑動(dòng)，且、不與、、重合． （1）證明不論、在、上如何滑動(dòng)

6、，總有； （2）當(dāng)點(diǎn)、在、上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形的面積和的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最小值． 參考答案 一．選擇題（共10小題） 1．平行四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，下列條件中，不能判定平行四邊形是菱形的是　　 A． B． C． D．平分 解：、對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形，能判定平行四邊形是菱形，故不符合題意； 、一組鄰邊相等平行四邊形是菱形，故不符合題意； 、根據(jù)一組對(duì)角相等的平行四邊形不能判斷該平行四邊形是菱形，故符合題意； 、一條對(duì)角線平分一角，可得出一組鄰邊相等，也能判定為菱形，故不符合題意． 故選：． 2．下列

7、不能判斷是正方形的有　　 A．對(duì)角線互相垂直的矩形 B．對(duì)角線相等的矩形 C．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形 D．對(duì)角線相等的菱形 解：、對(duì)角線互相垂直的矩形可得是正方形，故此選項(xiàng)不符合題意； 、對(duì)角線相等的矩形，不能判定為正方形，故此選項(xiàng)符合題意； 、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形可得是正方形，故此選項(xiàng)不符合題意； 、對(duì)角線相等的菱形可得是正方形，故此選項(xiàng)不符合題意； 故選：． 3．如圖所示，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中，不一定正確的是　　 A．的面積等于的面積 B．當(dāng)時(shí)，它是菱形 C．當(dāng)時(shí)，它是矩形 D．的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng) 解： 、由平行四邊

8、形的性質(zhì)可得，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得：的面積等于的面積，故選項(xiàng)正確，不符合題目要求； 、四邊形是平行四邊形， ， ， ， ， ，四邊形是菱形，故選項(xiàng)正確，不符合題目要求； 、，， 四邊形是平行四邊形， 四邊形是矩形； 、，， 的周長(zhǎng)不等于的周長(zhǎng)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題目要求， 綜上所述，符合題意是選項(xiàng)； 故選：． 4．如圖，菱形的頂點(diǎn)在直線上，若，，則的度數(shù)為　　 A． B． C． D． 解： 四邊形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， 故選：． 5．如圖，以正方形的邊向外作等邊三角形，連接，則的度數(shù)為　　 A． B． C．

9、 D． 解：四邊形為正方形， ，， 為等邊三角形， ，， ，， ， 故選：． 6．如圖，已知點(diǎn)為的邊上的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到，使得，要使四邊形為矩形，中需添加的條件是　　 A． B． C． D． 解：點(diǎn)為的邊上的中點(diǎn)， ，且， 四邊形是平行四邊形， 有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形， 添加條件為， 故選：． 7．如圖，、都是矩形，而且點(diǎn)在上，這兩個(gè)矩形的面積分別是，，則，的關(guān)系是　　 A． B． C． D． 解：矩形的面積，而，即． 故選：． 8．如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．若，菱形的面積為54，則

10、的長(zhǎng)為　　 A．4 B．4.5 C．8 D．9 解：四邊形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， 故選：． 9．如圖，已知是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，，作，，、相交于點(diǎn)．四邊形的周長(zhǎng)是20，則　　 A．5 B． C．10 D． 解：，， 四邊形是平行四邊形． 四邊形是矩形， ， ， 四邊形是菱形； 四邊形的周長(zhǎng)是20， ， ， 四邊形是矩形， ， 又， 是等邊三角形， ， ． 故選：． 10．如圖，在矩形中，，且，點(diǎn)、分別在、上，連接、，若四邊形是菱形，則的長(zhǎng)為　　 A． B．3 C． D．4 解：四邊形是菱形， ， ，

11、且， ， 設(shè)，則， 在中，， ， 解得：， 故選：． 二．填空題（共8小題） 11．已知正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，則正方形的面積為　32?。? 解：四邊形為正方形， ，， 正方形的面積， 故答案為：32． 12．如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，若，則　60　． 解：四邊形是矩形， ，，， ， ， ， 是等邊三角形， ． 故答案為60． 13．平行四邊形對(duì)角線互相垂直，若添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使四邊形為正方形．則添加條件可以是　對(duì)角線相等或　（只需添加一個(gè)）． 解：平行四邊形對(duì)角線互相垂直， 四邊形是菱形， 當(dāng)對(duì)角線或時(shí)， 平行四邊形是矩形， 四邊形是正

12、方形； 故答案為：對(duì)角線相等或， 14．如圖，在菱形中，與交于點(diǎn)，若，，則菱形的面積為　24　． 解：四邊形是菱形， ， ，， 菱形的面積為； 故答案為：24． 15．如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)是斜梁的中點(diǎn)，立柱，垂直于橫梁，，，則　2?。? 解：立柱、垂直于橫梁， ， ， 是中點(diǎn)， ， ， 是的中位線， ， 在中，， ． 故答案為：2． 16．如圖，在正方形中，是對(duì)角線上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．若，則　22?。? 解：正方形中，，， ，， ，，， ， ， 是的外角， ， 故答案為：22． 17．如圖，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線上一

13、點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，連接，．若，．則圖中陰影部分的面積為　16?。? 解：作于，交于． 則有四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形， ，，，，， ， ， 故答案為16 18．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以每秒的速度運(yùn)動(dòng)，以每秒的速度從點(diǎn)出發(fā)，在、兩點(diǎn)之間做往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)為止（同時(shí)點(diǎn)也停止），這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為　或或　時(shí)，、、、四點(diǎn)組成矩形． 解：根據(jù)已知可知：點(diǎn)將4次到達(dá)點(diǎn)； 在點(diǎn)第一次到達(dá)點(diǎn)過(guò)程中， 四邊形是矩形， ， 若， 則四邊形是平行四邊形， ， 設(shè)過(guò)了秒，，則，， ， ， 在點(diǎn)第二次到達(dá)點(diǎn)過(guò)程中， 設(shè)過(guò)

14、了秒，則，， 解得：， 在點(diǎn)第三次到達(dá)點(diǎn)過(guò)程中， 設(shè)過(guò)了秒，則，， 解得：， 在點(diǎn)第四次要到達(dá)點(diǎn)的過(guò)程中， 設(shè)過(guò)了秒，則，， 解得：．無(wú)法構(gòu)成矩形，故此舍去． 故答案為：或或； 三．解答題（共7小題） 19．如圖，在矩形中，、分別是，邊上的點(diǎn)，且，若，試判斷四邊形的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：四邊形是菱形， 理由如下：四邊形是矩形， ，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四邊形是平行四邊形， 又， 四邊形是菱形． 20．如圖，正方形和正方形有公共點(diǎn)，點(diǎn)在線段上． （1）判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由： （2）若正方形的邊長(zhǎng)為2，正方形的邊

15、長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)． 解：（1）， 理由如下：四邊形，四邊形是正方形， ，，，， ， 在和中 ． ，， ，即． ； （2）連接， 正方形的邊長(zhǎng)為2，正方形的邊長(zhǎng)為， ，， 設(shè)，則， 在中，利用勾股定理可得 ， 的長(zhǎng)為． 21．如圖，在正方形中，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且． （1）求證：； （2）若點(diǎn)在上，且，則成立嗎？為什么？ 【解答】（1）證明：四邊形是正方形， ，， 是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ， 在和中， ， ， ； （2）成立， 理由：， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 成立．

16、 22．如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，且，． （1）求證：四邊形是菱形． （2）若，，求四邊形的周長(zhǎng)和面積． 【解答】（1），， 四邊形是平行四邊形， ，， 又矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)， ， ， 四邊形是菱形； （2）如圖，連接，交于點(diǎn)， 由（1）知，四邊形是菱形， ， 菱形的面積： ， 在中，，， ， ， 菱形的周長(zhǎng)為． 23．如圖，是菱形對(duì)角線與的交點(diǎn)，，；過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)． （1）求證：四邊形為矩形； （2）求四邊形的面積． 【解答】（1）證明：，， 四邊形是平行四邊形， 在菱形中，， 四邊形是矩形 （2）解：四

17、邊形是菱形， ，，， 在中，， ， 由（1）得：四邊形為矩形， ，，， 四邊形的面積 24．如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接． （1）求證：四邊形是矩形； （2）連接，若，，求的長(zhǎng)度． 【解答】（1）證明：四邊形是菱形， 且， ， ， ， ， 四邊形是平行四邊形， ， ， 四邊形是矩形； （2）解：四邊形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四邊形是菱形， ， ． 25．如圖所示，在菱形中，，，為正三角形，點(diǎn)、分別在菱形的邊、上滑動(dòng)，且、不與、、重合． （1）證明不論、在、上如何滑動(dòng)，總有； （2）當(dāng)點(diǎn)、在、上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形的面積和的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最小值． 解：（1）如圖，連接， 四邊形為菱形，， ， 是等邊三角形， ， ，， ， ， ， 和為等邊三角形， ，， 在和中， ， ． ； （2）四邊形的面積不變，的周長(zhǎng)發(fā)生變化．理由如下： 由（1）得， 則， 故，是定值， 作于點(diǎn)，則， ． 的周長(zhǎng) 由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形的邊與垂直時(shí)，邊最短． 故的周長(zhǎng)會(huì)隨著的變化而變化，且當(dāng)最短時(shí)，的周長(zhǎng)會(huì)最小． 23 / 23