北師大版八年級數(shù)學上冊第四章 一次函數(shù)綜合題專題練習題

北師大版八年級數(shù)學上冊第四章 一次函數(shù) 綜合題專題練習題 專題一　一次函數(shù)圖象與坐標軸圍成的三角形面積 1．已知直線y＝2x＋a(a>0)與坐標軸圍成的三角形面積為1，求常數(shù)a的值． 解：在直線y＝2x＋a中， 因為x＝0時，y＝a；y＝0時，x＝－， 所以直線y＝2x＋a的圖象與x軸的交點A為(－，0)，與y軸的交點B為(0，a)． 因為a>0，所以OA＝，OB＝a. 因為S△OAB＝OA·OB，所以×·a＝1. 所以a＝2. 2．已知直線y＝kx＋b經過點A(，0)，且與坐標軸圍成的三角形的面積為，求該直線所對應的函數(shù)表達式． 解：設直線y＝kx＋b與y軸的交點坐標為B(0，b)，所以OB＝|b|. 因為S△AOB＝，所以S△AOB＝OA·OB＝××|b|＝.所以|b|＝5，即b＝±5. 又因為直線y＝kx＋b經過點(，0)． 所以當b＝5時，0＝k＋5.解得k＝－2. 當b＝－5時，0＝k－5.解得k＝2. 所以該直線對應的函數(shù)表達式為y＝2x－5或y＝－2x＋5. 3．如圖，過點A(2，0)的兩條直線l1，l2分別交y軸于點B，C，且點B在原點上方，點C在原點下方，已知AB＝. (1)求點B的坐標； (2)若△ABC的面積為4，求直線l2的表達式． 解：(1)因為點A的坐標為(2，0)， 所以AO＝2. 在Rt△AOB中， 22＋OB2＝()2， 所以OB＝3. 所以點B的坐標為(0，3)． (2)因為S△ABC＝BC·OA， 即4＝BC×2，所以BC＝4. 所以OC＝BC－OB＝4－3＝1. 所以點C(0，－1)． 設直線l2的表達式為y＝kx＋b， 因為直線l2經過點A(2，0)，C(0，－1)， 所以b＝－1，0＝2k＋b. 把b＝－1代入0＝2k＋b，解得k＝. 所以直線l2的表達式為y＝x－1. 4．如圖，直線l與x軸、y軸分別交于點A(3，0)，B(0，2)，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，點P(1，a)為平面直角坐標系中的一個動點． (1)請直接寫出直線l的表達式； (2)求出△ABC的面積； (3)當△ABC與△ABP面積相等時，求實數(shù)a的值． 解：(1)直線l的表達式為y＝－x＋2. (2)在Rt△ABO中，由勾股定理，得 AB2＝OA2＋OB2＝32＋22＝13， 因為△ABC為等腰直角三角形， 所以S△ABC＝AB2＝. (3)連接BP，PO，PA， ①若點P在第一象限時， 因為S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1， 所以S△ABP＝S△BOP＋S△APO－S△ABO＝， 即1＋a－3＝，解得a＝； ②若點P在第四象限時，如備用圖： 因為S△ABO＝3，S△APO＝－a，S△BOP＝1， 所以S△ABP＝S△AOB＋S△APO－S△BOP＝， 即3－a－1＝，解得a＝－3. 故當△ABC與△ABP面積相等時，實數(shù)a的值為或－3. 5.如圖，一次函數(shù)的圖象經過了點P(6，3)和B(0，－4)，與x軸交于點A. (1)求一次函數(shù)的表達式； (2)在y軸上存在一點M，且△ABM的面積為，求點M的坐標． 解：(1)設一次函數(shù)的表達式為y＝kx＋b，把點P(6，3)和B(0，－4)代入y＝kx＋b，得 解得 所以一次函數(shù)表達式為y＝x－4. (2)令y＝0，則x－4＝0，解得x＝，則A(，0)． 因為△ABM的面積為， 所以S△ABM＝BM·xA＝， 即BM×＝. 所以BM＝3. 因為B(0，－4)，所以M(0，－1)或(0，－7)． 6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝－x＋4與x軸、y軸分別交于點A，B，點D在y軸的負半軸上．若將△DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處． (1)求AB的長； (2)求點C和點D的坐標； (3)在y軸上是否存在一點P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1)由直線y＝－＋4可得A(3，0)，B(0，4)． 所以AB＝5. (2)由折疊可知，OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝3＋5＝8. 所以C(8，0)． 設OD＝x，則CD＝DB＝x＋4. 在Rt△OCD中，DC2＝OD2＋OC2， 即(x＋4)2＝x2＋82，解得x＝6.所以D(0，－6)． (3)存在，點P的坐標為(0，12)或(0，－4)． 7.如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x＋1與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點C(1，m)為直線y＝x＋1上一點，直線y＝－x＋b過點C. (1)求m和b的值； (2)直線y＝－x＋b與x軸交于點D，動點P在射線DA上從點D開始以1個單位長度/秒的速度運動．設點P的運動時間為t秒． ①若△ACP的面積為S，請求出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍； ②是否存在t的值，使得S△CPD＝2S△ACP？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由． 解：(1)由直線y＝x＋1可得A(－1，0)，B(0，1)． 因為點C(1，m)在直線y＝x＋1上，則m＝1＋1＝2，故點C(1，2)． 將點C的坐標代入y＝－x＋b，得2＝－＋b， 解得b＝.故m＝2，b＝. (2)①因為直線的表達式為y＝－x＋，令y＝0，則x＝5，故點D(5，0)，則點P(5－t，0)， S＝AP·yC＝×|5－t＋1|×2＝|6－t|， 即S＝ ②存在．理由：當點P在線段AD上時， S△CPD＝2S△ACP，則PD＝2AP， 即t＝PD＝AD＝×6＝4； 當點P在線段DA的延長線上時，如圖： S△CPD＝2S△ACP，則AP＝AD， 所以t＝DP＝2AD＝2×6＝12. 綜上所述，t的值為4或12. 專題二　一次函數(shù)的實際應用 　　　　　　　　　　　　　　　 1．為了解某品牌轎車的耗油情況，將油箱加滿后進行了耗油試驗，得到如下數(shù)據(jù)： 轎車行駛的 路程s/km 0 10 20 30 40 … 油箱剩余 油量w/L 50 49.2 48.4 47.6 46.8 … (1)該轎車油箱的容量為50L，行駛120 km時，油箱剩余油量為40.4L； (2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，寫出油箱剩余油量w(L)與轎車行駛的路程s(km)之間的表達式w＝50－0.08s； (3)某人將油箱加滿后，駕駛該轎車從A地前往B地，到達B地時油箱剩余油量為22 L，求A，B兩地之間的距離． 解：令w＝22，即50－0.08s＝22，解得s＝350. 答：A，B兩地之間的距離為350 km. 2．甲、乙兩人從M地出發(fā)，甲先出發(fā)，乙后出發(fā)，都勻速騎車前往N地．乙在騎行途中休息片刻后，以原速度繼續(xù)騎行，已知乙的速度是甲的1.6倍．甲、乙兩人離M地的距離y(米)與乙行駛的時間x(分鐘)之間的關系如圖，請根據(jù)圖象回答問題． (1)M，N兩地之間的距離為6_400米，甲的速度為200米/分鐘； (2)求線段BD所表示的y與x之間的函數(shù)表達式； (3)直接寫出當x取何值時，甲、乙兩人在到達N地之前相遇？ 解：(2)甲車走完全程需6 400÷200＝32(分鐘)， 32－30＝2(分鐘)， 所以yD＝2×200＝400. 所以D(0，400)． 因為B(30，6 400)， 設BD的函數(shù)表達式為y＝kx＋400， 所以30k＋400＝6 400，解得k＝200. 所以線段BD的表達式為y＝200x＋400(0≤x≤30)． (3)根據(jù)題意，得 320x＝200x＋400或400＋200x＝3 200， 解得x＝或x＝14. 答：當x＝或14時，甲、乙兩人在到達N地之前相遇． 3．一輛公交車從A站出發(fā)勻速開往B站．在行駛時間相同的前提下，如果車速是60千米/時，就會超過B站0.2千米；如果車速是50千米/時，就還需行駛0.8千米才能到達B站． (1)求A站和B站相距多少千米？行駛時間是多少？如果要在行駛時間點恰好到達B站，行駛的速度是多少？ (2)圖1是這輛公交車線路的收支差額y(票價總收入減去運營成本)與乘客數(shù)量x的函數(shù)圖象．目前這條線路虧損，為了扭虧，有關部門舉行了提高票價的聽證會．乘客代表認為：公交公司應節(jié)約能源，改善管理，降低運營成本，以此舉實現(xiàn)扭虧．公交公司認為：運營成本難以下降，公司已盡力，提高票價才能扭虧．根據(jù)這兩種意見，可以把圖1分別改畫成圖2和圖3. ①說明圖1中點A和點B的實際意義； ②你認為圖2和圖3兩個圖象中，反映乘客意見的是圖3，反映公交公司意見的是圖2． 解：(1)設行駛時間為m小時，則 60m－0.2＝50m＋0.8， 解得m＝0.1. 60×0.1－0.2＝5.8(千米).5.8÷0.1＝58(千米/時)． 答：A站和B站相距5.8千米，行駛時間是0.1小時，如果要在行駛時間點恰好到達B站，行駛的速度是58千米/時． (2)①A點表示公交公司的該條公交線路的運營成本為1萬元；B點表示當乘客數(shù)量為1.5萬人時，公交公司的該條公交線路收支恰好平衡． 4.甲、乙兩店銷售同一種蔬菜種子．在甲店，不論一次購買的數(shù)量是多少，價格均為4.5元/kg.在乙店，價格為5元/kg，如果一次購買2 kg以上的種子，超出2 kg部分的種子價格打8折．設小明在同一個店一次購買種子的數(shù)量為x kg(x＞0)． (1)根據(jù)題意填表： 一次購買數(shù)量/kg 1.5 2 3.5 6 … 在甲店花費/元 6.75 9 15.75 27 … 在乙店花費/元 7.5 10 16 26 … 　　(2)設在甲店花費為y1元，在乙店花費為y2元，分別求y1，y2關于x的函數(shù)表達式； (3)根據(jù)題意填空： ①若小明在甲店和在乙店一次購買種子的數(shù)量相同，且花費相同，則他在同一個店一次購買種子的數(shù)量為4kg； ②若小明在同一個店一次購買種子的數(shù)量為3 kg，則他在甲、乙兩個店中的甲店購買花費少； ③若小明在同一個店一次購買種子花費了45元，則他在甲、乙兩個店中的乙店購買種子數(shù)量多． 解：由題意，得y1＝4.5x. 當0≤x≤2時，y2＝5x， 當x＞2時，y2＝5×2＋(x－2)×5×0.8＝4x＋2， 即y2＝ 5.某市為了鼓勵居民節(jié)約用水，采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的水費，月用水量不超過20立方米時，按2元/立方米計費；月用水量超過20立方米時，其中的20立方米仍按2元/立方米收費，超過部分按2.6元/立方米計費．設每戶家庭用水量為x立方米時，應交水費y元． (1)寫出y與x之間的函數(shù)表達式； (2)小明家第二季度交納水費的情況如下： 月份 四月份 五月份 六月份 交費金額 30元 34元 47.8元 　　小明家這個季度共用水多少立方米？ 解：(1)由題意可得， 當0≤x≤20時，y＝2x， 當x＞20時，y＝20×2＋(x－20)×2.6＝2.6x－12. 由上可得，y＝ (2)因為x＝20時，y＝40， 所以令30＝2x，得x＝15； 令34＝2x，得x＝17； 令47.8＝2.6x－12，得x＝23. 所以四月份用水15立方米，五月份用水17立方米，六月份用水23立方米，15＋17＋23＝55(立方米)， 即小明家這個季度共用水55立方米． 6.在一次蠟燭燃燒實驗中，甲、乙兩根蠟燭燃燒時剩余部分的高度y(cm)與燃燒時間x(h)的關系如圖所示．請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題： (1)甲、乙兩根蠟燭燃燒前的高度分別是30_cm，25_cm，從點燃到燃盡所用的時間分別是2_h，2.5_h； (2)分別求甲、乙兩根蠟燭燃燒時y與x之間的函數(shù)關系式． 解：設甲蠟燭燃燒時y與x之間的函數(shù)關系式為y＝k1x＋b1. 由圖可知，b1＝30①，2k1＋b1＝0②. 將①代入②，得2k1＋30＝0，解得k1＝－15. 所以y＝－15x＋30. 設乙蠟燭燃燒時y與x之間的函數(shù)關系式為y＝k2x＋b2. 由圖可知，b2＝25③，2.5k2＋b2＝0④. 將③代入④，得2.5k2＋25＝0，解得k2＝－10. 所以y＝－10x＋25. 12 / 12