2019中考數(shù)學(xué) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題四 二次函數(shù)的綜合探究實(shí)用課件.ppt

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專題綜合強(qiáng)化 第二部分 專題四二次函數(shù)的綜合探究 常考題型 精講 1 二次函數(shù)與等腰三角形存在性問題 1 數(shù)形結(jié)合 注意使用等腰三角形的性質(zhì)與判定 2 函數(shù)問題離不開方程 注意方程與方程組的使用 3 找動(dòng)點(diǎn) 使之與已知兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形 類型1二次函數(shù)與特殊三角形的存在性問題 2 二次函數(shù)與直角三角形存在性問題 1 直角三角形一般涉及勾股定理 注意勾股定理的正定理與逆定理 同時(shí)注意直角三角形的特殊角的三角函數(shù)的運(yùn)用 2 直角三角形與二次函數(shù)屬于代數(shù)與幾何的結(jié)合 把幾何問題數(shù)字化 這類問題要注意平面直角坐標(biāo)系的作用 3 綜合問題注意全等 相似 勾股定理 解直角三角形等知識(shí)的使用 4 找動(dòng)點(diǎn) 使之與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形 例1如圖 拋物線y ax2 2ax 3a a 0 與x軸相交于A B兩點(diǎn) A在B的左側(cè) 且MN x軸 垂足為N 1 若頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4 求拋物線的解析式 根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式用含a的代數(shù)式表示頂點(diǎn)坐標(biāo) 當(dāng)M的縱坐標(biāo)為4時(shí) 求出a的值 思路點(diǎn)撥 2 求AB的長(zhǎng) 令ax2 2ax 3a 0 解一元二次方程 求出x的值 利用x軸上兩點(diǎn)之間距離公式求出AB的值 解答 令ax2 2ax 3a 0 解得x1 1 x2 3 AB 4 思路點(diǎn)撥 思路點(diǎn)撥 4 若直線BM與y軸相交于C 當(dāng) COM為等腰三角形時(shí) 求M的坐標(biāo) 根據(jù)M 1 4a B 3 0 兩點(diǎn)坐標(biāo)確定含系數(shù)a的直線MB的解析式 分類討論 當(dāng)MC OM時(shí) 當(dāng)OC OM時(shí) 當(dāng)OC MC時(shí) 求出系數(shù)a的值 即得到M的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 設(shè)P的縱坐標(biāo)為m 分情況討論 當(dāng)P在M的上方時(shí) 當(dāng)P在M的下方時(shí) 分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 1 解決平行四邊形的存在性問題 具體方法如下 1 假設(shè)結(jié)論成立 2 探究平行四邊形通常有兩類 一類是已知兩定點(diǎn)去求未知點(diǎn)的坐標(biāo) 一類是已知給定的三點(diǎn)去求未知點(diǎn)的坐標(biāo) 第一類 以兩定點(diǎn)連線所成的線段作為要探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€畫出符合題意的平行四邊形 第二類 分別以已知三個(gè)定點(diǎn)中的任意兩個(gè)定點(diǎn)確定的線段為探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€畫出符合題意的平行四邊形 類型2二次函數(shù)與特殊四邊形的存在問題 3 建立關(guān)系式 并計(jì)算 根據(jù)以上分類方法畫出所有符合條件的圖形后 可以利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算 也可利用全等三角形 相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算 要具體情況具體分析 有時(shí)也可以利用直線的解析式方程組 由方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)求解 2 對(duì)于特殊四邊形的存在性問題 也常以探究菱形 矩形 正方形來設(shè)題 具體解決方法如下 若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置已確定 則直接利用四邊形邊的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算 若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置不確定 需分情況討論 1 探究菱形 已知三個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo) 已知兩個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo) 一般會(huì)用到菱形的對(duì)角線互相垂直平分 四邊相等等性質(zhì)列關(guān)系式 2 探究正方形 利用正方形對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算 一般是分別計(jì)算出兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度 令其相等 得到方程再求解 3 探究矩形 利用矩形對(duì)邊相等 對(duì)角線相等列等量關(guān)系式求解 或根據(jù)鄰邊垂直 利用勾股定理列關(guān)系式求解 例2如圖 拋物線y x2 2x 3與x軸相交于A B兩點(diǎn) A在B的左側(cè) 且與y軸交于點(diǎn)C 點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn) 拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E 連接BD 1 求直線BD的解析式 點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn) 利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo) 令 x2 2x 3 0 求出x的值 即可得到A B兩點(diǎn)的坐標(biāo) 再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式 思路點(diǎn)撥 2 若H K分別為拋物線 y軸負(fù)半軸上的點(diǎn) 且使四邊形BDHK為平行四邊形 求H的坐標(biāo) 根據(jù)二次函數(shù)圖象得到K的橫坐標(biāo) BDHK為平行四邊形 由平行四邊形的性質(zhì) 可求出H的橫坐標(biāo) 將橫坐標(biāo)代入y x2 2x 3 得到H的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 解答 如答圖1 可得K的橫坐標(biāo)為0 四邊形BDHK為平行四邊形 H的橫坐標(biāo)為 2 將x 2代入y x2 2x 3 得y 2 2 2 2 3 5 即H的坐標(biāo)為 2 5 3 若H K分別為線段BD與x軸上的點(diǎn) 將 BHK沿HK翻折 點(diǎn)B剛好落在y軸的Q處 且四邊形BHQK恰好為平行四邊形 求H與B的水平距離 根據(jù)折疊的性質(zhì) 可得BH HQ 四邊形BHQK恰好為平行四邊形 得出四邊形BHQK為菱形 根據(jù)BHQK為菱形的性質(zhì)知QH x軸 設(shè)H的橫坐標(biāo)為a 表示出H的縱坐標(biāo) 過點(diǎn)H作x軸的垂線 垂足為R 用系數(shù)a可得HR BR的長(zhǎng)度 由勾股定理可得BH2 BR2 HR2 3 a 2 2a 6 2 5a2 30a 45 由HQ2 BH2 求出a的值 從而求出H與B的水平距離 思路點(diǎn)撥 解答 如答圖2 由翻折可得BH HQ 又 四邊形BHQK恰好為平行四邊形 四邊形BHQK為菱形 QH x軸 設(shè)H的橫坐標(biāo)為a 則H的縱坐標(biāo)為 2a 6 過點(diǎn)H作x軸的垂線 垂足為R 可得HR 2a 6 BR 3 a 4 點(diǎn)P 2 m 是線段BD上一點(diǎn) 過點(diǎn)P作PF x軸于點(diǎn)F G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn) M為x軸上一動(dòng)點(diǎn) N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn) 當(dāng)以F M N G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí) 請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo) 將 2 m 代入 可得m的值 即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo) 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 n 0 得到點(diǎn)G的坐標(biāo) 以F M N G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形 FM MG 解得n的值 即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 解答 將 2 m 代入y 2x 6 可得m y 2 2 6 2 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 2 2 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 n 0 則點(diǎn)G的坐標(biāo)為 n n2 2n 3 以F M N G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形 FM MG 即 2 n n2 2n 3 當(dāng)2 n n2 2n 3時(shí) 探究三角形相似的一般思路 解答三角形相似的存在性問題時(shí) 要運(yùn)用分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合的思想 具體方法步驟如下 1 假設(shè)結(jié)論成立 分情況討論 探究三角形相似時(shí) 往往沒有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角 尤其是以文字形式出現(xiàn)要證明兩個(gè)三角形相似的題目 或者涉及動(dòng)點(diǎn)問題 因動(dòng)點(diǎn)問題中點(diǎn)位置的不確定 此時(shí)應(yīng)考慮不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系 分情況討論 類型3二次函數(shù)與相似三角形的存在性問題 2 確定分類標(biāo)準(zhǔn) 在分類時(shí) 先要找出分類的標(biāo)準(zhǔn) 看兩個(gè)相似三角形是否有對(duì)應(yīng)相等的角 若有 找出對(duì)應(yīng)相等的角后 再根據(jù)其他角進(jìn)行分類討論來確定相似三角形成立的條件 若沒有 則分別按三對(duì)角對(duì)應(yīng)來分類討論 3 建立關(guān)系式 并計(jì)算 由相似三角形列出相應(yīng)的比例式 將比例式中的線段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來 其長(zhǎng)度多借助勾股定理運(yùn)算 整理可得一元一次方程或者一元二次方程 解方程可得字母的值 再通過計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo) 例3拋物線y x2 bx c與x軸交于A B 1 0 兩點(diǎn) 點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè) 與y軸交于點(diǎn)C 且OC 3 1 求拋物線的解析式 由OC 3 可得點(diǎn)C的坐標(biāo) 將 1 0 0 3 代入y x2 bx c 即可得到拋物線的解析式 思路點(diǎn)撥 2 求直線AC的解析式 由拋物線的解析式得到對(duì)稱軸 又B 1 0 得到點(diǎn)A的坐標(biāo) 設(shè)直線AC的解析式為y kx m 將A 3 0 C 0 3 代入y kx m 求出直線AC的解析式 思路點(diǎn)撥 3 若拋物線的頂點(diǎn)為M 試判斷AC與MC的位置關(guān)系 并說明理由 由二次函數(shù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo) 從求出AC MC AM的值 判斷出AC MC AM三條線段存在的數(shù)量關(guān)系 即可確定AC與MC的位置關(guān)系 思路點(diǎn)撥 4 點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 連接OP 是否存在點(diǎn)P 使得以點(diǎn)O C P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似 若存在 求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 由 PCO BAC 45 分情況討論 當(dāng) PCO BAC時(shí) 當(dāng) PCO CAB時(shí) 分別求出PC的長(zhǎng) 過點(diǎn)P作PH y軸于點(diǎn)H 則 PHC為等腰直角三角形 求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可 思路點(diǎn)撥 1 三角形面積的最大值問題 1 拋物線上是否存在一點(diǎn) 使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大 的問題 簡(jiǎn)稱 一邊固定兩邊動(dòng)的問題 方法1 首先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定線段的長(zhǎng)度 然后利用上面的方法 求出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到該定直線的最大距離 類型4二次函數(shù)與面積最值問題 2 三邊均動(dòng)的動(dòng)三角形面積最大 的問題 簡(jiǎn)稱 三邊均動(dòng) 的問題 先把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形 有一邊在x軸或y軸上的三角形 或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形 稱為基本模型的三角形 面積之差 設(shè)出動(dòng)點(diǎn)在x軸或y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo) 而此類題型 題中一定含有一組平行線 從而可以得出分割后的一個(gè)三角形與圖中另一個(gè)三角形相似 常為圖中最大的那一個(gè)三角形 利用相似三角形的性質(zhì) 對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比 可表示出分割后的一個(gè)三角形的高 從而可以表示出動(dòng)三角形的面積的一個(gè)開口向下的二次函數(shù)關(guān)系式 相應(yīng)問題也就輕松解決了 2 四邊形面積的最大值問題 1 拋物線上是否存在一點(diǎn) 使之和另外三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積最大 的問題 由于該四邊形有三個(gè)定點(diǎn) 從而可把動(dòng)四邊形分割成一個(gè)動(dòng)三角形與一個(gè)定三角形 連接兩個(gè)定點(diǎn) 即可得到一個(gè)定三角形 的面積之和 所以只需動(dòng)三角形的面積最大 就會(huì)使動(dòng)四邊形的面積最大 而動(dòng)三角形面積最大值的求法與1中 三角形面積的最大值問題 的求法類似 2 定四邊形面積的求解 問題 有兩種常見的解決方案 方案一 連接一條對(duì)角線 分成兩個(gè)三角形面積之和 方案二 過不在x軸或y軸上的四邊形的一個(gè)頂點(diǎn) 向x軸 或y軸 作垂線 或者把該點(diǎn)與原點(diǎn)連接起來 分割成一個(gè)梯形 常為直角梯形 和一些三角形的面積之和 或差 或幾個(gè)基本模型的三角形面積的和 差 思路點(diǎn)撥 2 求直線BC的解析式 當(dāng)x 0時(shí) 代入解析式 求出點(diǎn)C的坐標(biāo) 設(shè)直線BC的解析式為y kx b k 0 將B 8 0 C 0 4 代入y kx b 求出直線BC的解析式 思路點(diǎn)撥 3 若點(diǎn)M是拋物線上B C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 不與點(diǎn)B 點(diǎn)C重合 過點(diǎn)M作y軸的平行線 交直線BC于點(diǎn)N 交x軸于點(diǎn)H 當(dāng)點(diǎn)M與拋物線頂點(diǎn)重合時(shí) 求 BCM的面積 思路點(diǎn)撥 4 在第 3 問結(jié)論下 當(dāng)MN將 BCM的面積分割為1 2時(shí) 求點(diǎn)N的坐標(biāo) 當(dāng)CN BN 1 2或CN BN 2 1時(shí) MN將 BCM的面積分割為1 2 此時(shí) 可得OH BH 1 2或OH BH 2 1 分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的x的值 即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 5 在第 3 問結(jié)論下 是否存在一點(diǎn)M 使 MBC的面積最大 若存在 請(qǐng)求出 MBC的最大面積 若不存在 試說明理由 思路點(diǎn)撥 類型5二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問題 例5如圖 拋物線y ax2 bx 4與x軸交于A 3 0 B 4 0 兩點(diǎn) 與y軸交于點(diǎn)C 連接AC BC 點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m 過點(diǎn)P作PM x軸 垂足為點(diǎn)M PM交BC于點(diǎn)Q 1 求拋物線的解析式 將A 3 0 B 4 0 代入y ax2 bx 4 求出拋物線的解析式 思路點(diǎn)撥 2 當(dāng) BOP 45 時(shí) 求點(diǎn)M的坐標(biāo) 根據(jù)題意 可得點(diǎn)P的坐標(biāo) 當(dāng) BOP 45 時(shí) OM PM 求出m的值 從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 3 試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中 是否存在這樣的點(diǎn)Q 使得以A C Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形 若存在 請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 根據(jù)已知求出AC的值 得到直線BC的解析式 設(shè)Q m m 4 0 m 4 分別表示出AQ2 CQ2 分CQ CA AQ AC QA QC三種情況 分別求得m的值 從而得到Q點(diǎn)坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 4 在 3 的條件下 求 ACQ面積的最大值 易得到AB OC的長(zhǎng)度 即可得到 ABC的面積 從而求得 ACQ面積的最大值 思路點(diǎn)撥 5 過點(diǎn)P作PE AC交x軸于點(diǎn)E 交BC于點(diǎn)F 請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段QF的長(zhǎng) 并求出m為何值時(shí)QF有最大值 思路點(diǎn)撥 6 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí) 拋物線與x軸上是否分別存在G H兩點(diǎn) 使以M Q G H為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 若存在 求出點(diǎn)H的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 思路點(diǎn)撥 理解并記住常見的 將軍飲馬 模型輔助線添加方法 對(duì)常見的軸對(duì)稱圖形 如等腰三角形 正方形 圓 的對(duì)稱軸要靈活運(yùn)用 常見考法有 1 將軍飲馬 與坐標(biāo)系結(jié)合 2 利用菱形的對(duì)角線 3 利用圓的直徑 類型6二次函數(shù)與線段最值問題 下表給出幾何最值問題的幾種中考題型及解題作圖方法 例6如圖 直線y x 3分別與x軸 y軸相交于A B兩點(diǎn) 經(jīng)過A B兩點(diǎn)的拋物線y x2 bx c與x軸的另一交點(diǎn)為C 1 求拋物線的解析式 根據(jù)題意可得B 0 3 A 3 0 將A 3 0 B 0 3 代入y x2 bx c 即可得到拋物線的解析式 思路點(diǎn)撥 2 點(diǎn)D為線段AO上的一動(dòng)點(diǎn) 過點(diǎn)D作x軸的垂線PD PD分別與拋物線y x2 bx c 直線y x 3相交于P E兩點(diǎn) 設(shè)D的橫坐標(biāo)為m 在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中 求線段PE的最大值 由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m 用系數(shù)m表示出點(diǎn)P E的縱坐標(biāo) 從而用系數(shù)m表示PE的長(zhǎng)度 利用配方法求出PE的最大值 思路點(diǎn)撥 3 在 2 的條件下 當(dāng)PE AE時(shí) 求點(diǎn)P的坐標(biāo) 易得OA OB的值 從而tan OAB 1 即 BAO 45 得到PE AE 3 m 求出m的值 即可得點(diǎn)P的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 4 在 2 的條件下 當(dāng)線段PE最長(zhǎng)時(shí) Q為PD上一點(diǎn) 是否存在BQ CQ的值最小的情況 若存在 請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 思路點(diǎn)撥 5 若M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn) 求 BCM周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x 1 由拋物線的軸對(duì)稱可知 A C兩點(diǎn)關(guān)于直線x 1對(duì)稱 連接AB 則直線AB與直線x 1的交點(diǎn)為M 此時(shí) BCM周長(zhǎng)最小 由 2 3 可得OC OB OA的值 由勾股定理可得BC AB的值 得到 BCM周長(zhǎng)的最小值 將x 1代入y x 3 即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo) 6 若M N為拋物線對(duì)稱軸上的兩點(diǎn) 點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方 且MN 1 當(dāng)四邊形BCNM的周長(zhǎng)最小值時(shí) 求點(diǎn)M N的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥