數(shù)值分析資料報告 第四版 課后習題問題詳解 李慶揚

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1、word 第一章 1、設，x的相對誤差為，求的誤差。 [解]設為x的近似值，則有相對誤差為，絕對誤差為，從而的誤差為， 相對誤差為。 2、設x的相對誤差為2%，求的相對誤差。 [解]設為x的近似值，則有相對誤差為，絕對誤差為，從而的誤差為， 相對誤差為。 3、下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差不超過最后一位的半個單位，試指出它們是幾位有效數(shù)字： ，，，，。 [解]有5位有效數(shù)字；有2位有效數(shù)字；有4位有效數(shù)字；有5位有效數(shù)字；有2位有效數(shù)字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的誤差限，其中均為第3題所給的數(shù)。 （1）； [解]； （2）； [解]；

2、 （3）。 [解]。 5、計算球體積要使相對誤差限為1%，問度量半徑R允許的相對誤差是多少？ [解]由可知， ， 從而，故。 6、設，按遞推公式計算到，若?。ㄎ逦挥行?shù)字，）試問計算將有多大誤差？ [解]令表示的近似值，，則，并且由 ，可知， ，即 ，從而， 而，所以。 7、求方程的兩個根，使它至少具有四位有效數(shù)字（） [解]由與（五位有效數(shù)字）可知， （五位有效數(shù)字）。 而，只有兩位有效數(shù)字，不符合題意。 但是。 8、當N充分大時，怎樣求？ [解]因為，當N充分大時為兩個相近數(shù)相減，設，，則，，從而 ， 因此。 9、正方形的邊長大約為100cm，應

3、怎樣測量才能使其面積誤差不超過1? [解]由可知，若要求，則，即邊長應滿足。 10、設，假定g是準確的，而對t的測量有秒的誤差，證明當t增加時S的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。 [證明]因為， ，所以得證。 11、序列滿足遞推關系，若（三位有效數(shù)字），計算到時誤差有多大？這個計算過程穩(wěn)定嗎？ [解]設為的近似值，，則由與 可知，，，即 ， 從而，因此計算過程不穩(wěn)定。 12、計算，取，利用下列公式計算，哪一個得到的結果最好？，，，。 [解]因為，所以對于， ，有一位有效數(shù)字； 對于， ，沒有有效數(shù)字； 對于， ，有一位有效數(shù)字； 對于，，沒有有效數(shù)字。 13

4、、，求的值。若開平方用六位函數(shù)表，問求對數(shù)時誤差有多大？若改用另一等價公式計算，求對數(shù)時誤差有多大？ [解]因為（六位有效數(shù)字），，所以 ， 。 14、試用消元法解方程組，假定只有三位數(shù)計算，問結果是否可靠？ [解]精確解為。當使用三位數(shù)運算時，得到，結果可靠。 15、已知三角形面積，其中c為弧度，，且測量a，b，c的誤差分別為，證明面積的誤差滿足。 [解]因為， 所以。 第二章 插值法 1、根據(jù)（2.2）定義的德蒙行列式，令 ，證明是n次多項式，它的根是，且。 [證明]由可得求證。 2、當時，，求的二次插值多項式。 [解]。 3、給出的數(shù)值表用線性插值及二次

5、插值計算的近似值。 X [解]若取，， 則，，則 ， 從而。 若取，，，則， ，，則 ， 從而。 4、給出的函數(shù)表，步長，若函數(shù)具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求近似值時的總誤差界。 [解]設插值節(jié)點為，對應的值為，函數(shù)表值為，則由題意可知，，，近似線性插值多項式為，所以總誤差為 ，從而 。 5、設，求。 [解]。 令，則 ，從而極值點可能為 ，又因為 ， ， 顯然，所以 。 6、設為互異節(jié)點，求證： 1）； 2）； [解]1）因為左側(cè)是的n階拉格朗日多項式，所以求證成立。 2）設，則左側(cè)是的n階

6、拉格朗日多項式，令，即得求證。 7、設且，求證。 [解]見補充題3，其中取即得。 8、在上給出的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值求的近似值，要使截斷誤差不超過，問使用函數(shù)表的步長h應取多少？ [解]由題意可知，設x使用節(jié)點，，進行二次插值，則插值余項為， 令，則，從而的極值點為，故，而 ，要使其不超過，則有 ，即。 9、若，求及。 [解]。 。 10、如果是m次多項式，記，證明的k階差分是次多項式，并且（l為正整數(shù)）。 [證明]對k使用數(shù)學歸納法可證。 11、證明。 [證明]。 12、證明。 [證明]因為 ，故得證。 13、證明：。 [證明]。 14、若有n

7、個不同實根，證明 。 [證明]由題意可設，故 ，再由差商的性質(zhì)1和3可知： ，從而得證。 15、證明n階均差有下列性質(zhì)： 1）若，則； 2）若，則。 [證明]1）。 2）。 16、，求，。 [解]，。 17、證明兩點三次埃爾米特插值余項是 ， 并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限。 [解]見P30與P33，誤差限為。 18、XXXXXXXXXX． 19、求一個次數(shù)不高于4次的多項式，使它滿足，，。 [解]設，則，再由，，可得： 解得。從而 。 20、設，把分為n等分，試構造一個臺階形的零次分段插值函數(shù)，并證明當時，在上一致收斂到。 [解]令。 2

8、1、設，在上取，按等距節(jié)點求分段線性插值函數(shù)，計算各節(jié)點中點處的與的值，并估計誤差。 [解]由題意可知，，從而當時， 。 22、求在上的分段線性插值函數(shù)，并估計誤差。 [解]設將劃分為長度為h的小區(qū)間，則當，時， 從而誤差為， 故。 23、求在上的分段埃爾米特插值，并估計誤差。 [解]設將劃分為長度為h的小區(qū)間，則當，時， ， 從而誤差為， 故。 24、給定數(shù)據(jù)表如下： 試求三次樣條函數(shù)，并滿足條件： 1）； 2）。 [解]由，，，，及（8.10）式可知，，， ， ，， ， 由（8.11）式可知， 。

9、 。 。從而 1）矩陣形式為：，解得 ，從而。 2）此為自然邊界條件，故 ； ， 矩陣形式為：，可以解得，從而。 25、若，是三次樣條函數(shù)，證明 1）； 2）若，式中為插值節(jié)點，且 則。 [解]1）。 2）由題意可知，，所以 。 補充題：1、令，，寫出的一次插值多項式，并估計插值余項。 [解]由，可知， ， 余項為， 故。 2、設，試利用拉格朗日插值余項定理寫出以為插值節(jié)點的三次插值多項式。 [解]由插值余項定理，有 ， 從而。 3、設在有二階連續(xù)導數(shù)，求證： 。 [證]因為是以a，b為插值節(jié)點的的線性插值多項式，利用插值多項式的余

10、項定理，得到： ，從而 。 4、設，求差商，，和。 [解]因為，， ，所以，， ， ，。 5、給定數(shù)據(jù)表：， 1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛頓插值多項式，并寫出插值余項。 [解] 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商 1 4 2 1 -3 4 0 6 1 7 1 0 由差商表可得4次牛頓插值多項式為： ，插值余項為 。 6、如下表給定函數(shù)：， 0 1 2 3 4 3 6 11 18

11、 27 試計算出此列表函數(shù)的差分表，并利用牛頓向前插值公式給出它的插值多項式。 [解]構造差分表： 0 3 3 2 0 0 1 6 5 2 0 2 11 7 2 3 18 9 4 27 由差分表可得插值多項式為：。 第三章 函數(shù)逼近與計算 1、（a）利用區(qū)間變換推出區(qū)間為的伯恩斯坦多項式； （b）對在上求1次和3次伯恩斯坦多項式并畫出圖形，并與相應的馬克勞林級數(shù)部分和誤差做出比較。 [解]（a）令，則，從而伯恩斯坦多項式為 ，其中。 （b）令，則，從而伯恩斯坦多項式為

12、 ，其中。 ； 。 2、求證：（a）當時，； （b）當時，。 [證明]（a）由及可知， ， 而，從而得證。 （b）當時， 。 3、在次數(shù)不超過6的多項式中，求在的最佳一致逼近多項式。 [解]由可知，，從而最小偏差為1，交錯點為，此即為的切比雪夫交錯點組，從而是以這些點為插值節(jié)點的拉格朗日多項式，可得。 4、假設在上連續(xù)，求的零次最佳一致逼近多項式。 [解]令，，則在上具有最小偏差，從而為零次最佳逼近一次多項式。 5、選擇常數(shù)a，使得達到極小，又問這個解是否唯一？ [解]因為是奇函數(shù)，所以，再由定理7可知，當時，即時，偏差最小。 6、求在上的最佳一次逼近多項式，并

13、估計誤差。 [解]由可得，從而最佳一次逼近多項式為 7、求在上的最佳一次逼近多項式。 [解]由可得，從而最佳一次逼近多項式為 。 8、如何選取r，使在上與零偏差最小？r是否唯一？ [解]由，可知當與零偏差最小時，，從而。 另解：由定理7可知，在上與零偏差最小的二次多項式為，從而。 9、設，在上求三次最佳逼近多項式。 [解]設所求三次多項式為，則由定理7可知 ，從而 。 10、令，求、、、。 [解]由可知，令，則 ，從而。 11、試證是在上帶權的正交多項式。？ 12、在上利用插值極小化求的三次近似最佳逼近多項式。 [解]由題意可知，插值節(jié)點為， 即，則可求得

14、。 13、設在上的插值極小化近似最佳逼近多項式為，若有界，證明對任何，存在常數(shù)，使得 。 [證明]由題意可知，，從而取 ，，則可得求證。 14、設在上，試將降低到3次多項式并估計誤差。 [解]因為，，所以 ， 誤差為。 15、在利用冪級數(shù)項數(shù)節(jié)約求的3次逼近多項式，使誤差不超過0.005。 [解]因為，取前三項，得到 ，誤差為，又因為 ，所以3次逼近多項式為 ，此時誤差為 。 16、是上的連續(xù)奇（偶）函數(shù)，證明不管n是奇數(shù)或偶數(shù)，的最佳逼近多項式也是奇（偶）函數(shù)。 [解]的最佳逼近多項式是由切比雪夫多項式得到的，再由切比雪夫多項式的性質(zhì)4即得。 17、求a、b

15、使為最小，并與1題及6題的一次逼近多項式誤差作比較。 [解]由，，，， ，可得 ，解得。 18、，定義 （a）；（b）。 問它們是否構成積？ [解]（a）因為，但反之不成立，所以不構成積。 （b）構成積。 19、用許瓦茲不等式（4.5）估計的上界，并用積分中值定理估計同一積分的上下界，并比較其結果。 [解]。 因為，所以。 20、選擇a，使下列積分取最小值：，。 [解]，從而。 當時，，當時，由，可得交點為， 若，則， 若，則 。同理可知，當時，，當時，，從而當時，積分取得最小。 21、設，，分別在上求一元素，使其為的最佳平方逼近，并比較其結果。 [解]由

16、，，，可知， ，解得，即在上為。 由，，， ，可知， ，解得，即在上為。 22、在上，求在上的最佳平方逼近。 [解]由，， 可知，，解得。 從而最佳平方逼近多項式為。 23、是第二類切比雪夫多項式，證明它有遞推關系 。 [證明]令，則 。 24、將在上按勒讓德多項式及切比雪夫多項式展開，求三次最佳平方逼近多項式并畫出誤差圖形，再計算均方誤差。 [解]若按照切比雪夫多項式展開，其中 ；若按照勒讓德多項式展開， ，其中；從而 ； ； ； ， 從而三次最佳逼近多項式為 。 25、把在上展成切比雪夫級數(shù)。 [解]若按照切比雪夫多項式展開，其中 。 從

17、而。 26、用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并求均方誤差。 19 25 31 38 44 [解]由。 。 又， ， ， 故法方程為，解得。 均方誤差為。 27、觀測物體的直線運動，得出以下數(shù)據(jù)： 時間t（秒） 0 距離s（米） 0 10 30 50 80 110 [解]設直線運動為二次多項式，則由 。 ， 。 又， ， ， 故法方程為，解得。 故直線運動為。 28-31略。 補充題：1、現(xiàn)測得通過某電阻R的電流I及其兩端的電壓U如下表： I

18、 …… U …… 試用最小二乘原理確定電阻R的大小。 [解]電流、電阻與電壓之間滿足如下關系：。應用最小二乘原理，求R使得達到最小。對求導得到：。令，得到電阻R為。 2、對于某個長度測量了n次，得到n個近似值，通常取平均值作為所求長度，請說明理由。 [解]令，求x使得達到最小。對求導得到：，令，得到，這說明取平均值 在最小二乘意義下誤差達到最小。 3、有函數(shù)如下表，要求用公式擬合所給數(shù)據(jù)，試確定擬合公式中的a和b。 -3 -2 -1 0 1 2 3 [解]取，，則 ，， ，而 ，。故法方程為 ，

19、解得。 4、在某個低溫過程中，函數(shù)y依賴于溫度的實驗數(shù)據(jù)為 1 2 3 4 已知經(jīng)驗公式的形式為，是用最小二乘法求出a和b。 [解]取，，則 ，， ，而 ，。故法方程為 ，解得。 5、單原子波函數(shù)的形式為，試按照最小二乘法決定參數(shù)a和b，已知數(shù)據(jù)如下： X 0 1 2 4 y [解]對兩邊取對數(shù)得，令，，則擬合函數(shù)變?yōu)?，所給數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為 X 0 1 2 4 y 取，，則 ，， ，而 ，。故法方程為 ，解得。因而擬合函數(shù)為，原擬合函數(shù)為。 第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 1、確定

20、下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構造出的求積公式所具有的代數(shù)精度。 1）； [解]分別取代入得到： ，即，解得 又因為當時，； 當時，； 從而此求積公式最高具有3次代數(shù)精度。 2）； [解]分別取代入得到： ，即， 解得， 又因為當時，； 當時，； 從而此求積公式最高具有3次代數(shù)精度。 3）； [解]分別取代入得到： ，即， 解得與， 又因為當時，； ， 從而此求積公式最高具有2次代數(shù)精度。 4）。 [解]分別取代入得到：，所以，又因為當時，， 當時，，所以此求積公式最高具有3次代數(shù)精度。 2、分別用梯形公式和辛普森公式計算

21、下列積分： （1）； [解]。 精確值為。 2）；（略） 3）； [解]（略），精確值為。 4）；（略）。 3、直接驗證柯特斯公式（2.4）具有5次代數(shù)精度。 [證明]顯然節(jié)點為，分別取代入得到：， ； 從而此求積公式最高具有5次代數(shù)精度。 4、用辛普森公式求積分并估計誤差。 [解]。 ，從而。 5、推導下列三種矩形求積公式：； ； [解]由微分中值定理有：，從而 再由微分中值定理有：，從而 。 由微分中值定理有：，從而。 6、證明梯形公式（2.9）與辛普森公式（2.11）當時收斂到積分。 [證明]由與 可得求證 7、

22、用復化梯形公式求積分，問要將積分區(qū)間分成多少等分，才能保證誤差不超過（設不計舍入誤差）？ [解]由可知，令，則，從而。 8、用龍貝格方法計算積分，要求誤差不超過。 [解]由及可得。（參見95頁） 9、衛(wèi)星軌道是一個橢圓，橢圓周長的計算公式是，這里a是橢圓的半長軸，c是地球中心與軌道中心（橢圓中心）的距離，記h為近地點距離，H為遠地點距離，公里為地球半徑，則，。我國第一顆人造衛(wèi)星近地點距離公里，遠地點距離為2384公里，試求衛(wèi)星軌道的周長。 [解]由， 可得 。 10、證明等式，試依據(jù)的值，用外推算法求的近似值。 [證明]因為，， ，由 可得， ， ， 。 11、用

23、下列方法計算積分，并比較結果。 1）龍貝格方法；（2）三點及五點高斯公式； 3）將積分區(qū)間分為四等分，用復化兩點高斯公式。 [解]。 12、用三點公式和五點公式求在和1.2處的導數(shù)值，并估計誤差，的值由下表給出： X [解]由三點公式， ， 可知， ， 誤差為； ，誤差為 ， 誤差為。 由五點公式可知 ， ， 。 1、計算上的積分的兩點求積公式 。 [解]求積公式的代數(shù)精度不超過，將求積公式和求積系數(shù)作為4個待定系數(shù)，依次取被積函數(shù)為代入求積公式，得到方程組： ，可以解得，從而求積公式為 。 2、直接

24、驗證梯形公式與中矩形公式具有一次代數(shù)精度，而辛普生公式具有三次代數(shù)精度。 [證明]（1）依次將代入梯形公式中，得到： ； ； ， 從而梯形公式具有一次代數(shù)精度。 （2）依次將代入中矩形公式中，得到： ； ； ， 從而中矩形公式具有一次代數(shù)精度。 （3）依次將代入辛普生公式中，得到： ； ； ； ； ， 從而辛普生公式具有三次代數(shù)精度。 3、求近似求積公式的代數(shù)精度。 [解] 依次將代入求積公式中，得到： ； ； ； ； ， 因此所給求積公式具有三次代數(shù)精度。 4、求三個不同的節(jié)點和常數(shù)C，使求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度。 [解] 依次將代

25、入求積公式中，得到： ，即，解得， 此時求積公式為，具有3次代數(shù)精度。令代入求積公式中，得到： 所以此求積公式的代數(shù)精度只有3次。 5、用三個節(jié)點（）的Gauss求積公式計算積分。 [解]三個節(jié)點的Gauss求積公式為 ，所以 。 6、試確定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值積分公式為Gauss型公式。 [解]要使數(shù)值積分公式為Gauss型公式，則其具有次代數(shù)精度。依次將代入都應精確成立，故有，即，解得。 7、試確定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度。此時的代數(shù)精度是多少？它是否是Gauss型公式？ [解]依次將代入求積公式，得到： ，即，解得，從而求積公

26、式為，令代入得到： ，從而求積公式只具有3次代數(shù)精度，不是Gauss型公式。 第五章 常微分方程數(shù)值解法 1、就初值問題分別導出歐拉方法和改進的歐拉方法的近似解的表達式，并與準確解相比較。 [解]由歐拉公式可知，即，從而 ，即 ，又因為，，所以 。再由，可知誤差為 。 由改進的歐拉公式可知， 即，從而 ，即 ，又因為，，所以 。再由，可知誤差為 。 2、用改進的歐拉方法求解初值問題，取步長計算，并與準確解相比較。 [解]由改進的歐拉公式可知，又由，，，可得，從而 ； ； ； ； ； ； ； ； ； 。 3、用改進的歐拉方法解，取步長計算

27、，并與準確解相比較。 [解]由改進的歐拉公式可知 ，又由，，，可得，從而 ； ； ； ； 。 4、用梯形方法解初值問題，證明其近似解為，并證明當時，它收斂于原初值問題的準確解。 [解]由梯形公式可知，，從而，即，從而，又由可知，。 。 5、利用歐拉方法計算積分在點的近似值。 [解]令，則，從而令，利用歐拉方法得到： ，又由，得到： ； ； ； 。 6、取，用四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法求解下列初值問題： 1）； [解]由四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法可知，， ； ； 。 ； 又由可知，。從而由可得：； ； ； ； 。 精確解為。 2）。 精

28、確解為。 7、證明對任意參數(shù)t，下列龍格-庫塔公式是二階的。 。 [證明]因為，， ，所以 而，比較系數(shù)可知，所給龍格-庫塔公式是二階精度的。 8、證明下列兩種龍格-庫塔方法是三階的： （1）；（2）； [證明]在三階龍格-庫塔公式中， （1）取，，，，，，。即為所給方法，并且滿足，因而具有三階精度。 （2）取，，，，，，。即為所給方法，并且滿足，因而具有三階精度。 9、分別用二階顯式亞當姆斯方法和二階隱式亞當姆斯方法解下列問題： ，取計算，并與準確解 相比較。 [解]由可知，當使用二階顯式亞當姆斯方法時， 。從而， ， ， ； ； 當使用二階隱式亞

29、當姆斯方法時， ，即 ，從而。故 ； ； ； 。 精確解為。 10、證明解的下列差分公式是二階的，并求出截斷誤差的首項。 [證明]因為， ，， ，所以 ，從而比較系數(shù)可得差分公式具有二階精度，并且截斷誤差首項為。 11、導出具有下列形式的三階方法： 。 [解]因為， ， ， ， ， 所以， 從而若公式具有三階精度，則必須有：。 12、將下列方程化為一階方程組： 1）； [解]令，則，從而有，，再令，則初值問題為。[精確解為] 2）。 [解]令，則，從而有，。 3）。 [解]令，，則，，從而有，初值為。 13、取，用差分法解邊值問題。

30、[解]顯然，令，及，代入得到：，即， ，再由可知， ， 解得。 14、對方程可建立差分公式，試用這一公式求解初值問題，驗證計算解恒等于準確解。 [解]由差分格式可建立方程組。 15、取，用差分方法解邊值問題。 [解]顯然，，令及，代入得到：，即 ， 又由可得，從而由得方程組為： ，可以解得。 第六章 方程求根 閱讀材料：一般的n次多項式方程稱為n次代數(shù)方程。對于3次、4次的方程，雖然也可以在數(shù)學手冊上查到求解公式，但是太復雜。至于5次以上的方程就沒有現(xiàn)成的求解公式了。代數(shù)方程可以說是最簡單的非線性方程，因為雖然不能很好地算出它的根，但是總可以知道，n次方程一般具有n個

31、根。 一般由實際問題歸結得到的方程還常常含有三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)，如，這樣的方程叫做超越方程。求解超越方程不僅沒有一般的公式，而且若只依據(jù)方程本身，那么連是否有根、有幾個根，也都難以判斷。 超越方程與次代數(shù)方程一起統(tǒng)稱為非線性方程，記作，其中是一個單變量的初等函數(shù)，它可以是多項式函數(shù)、超越函數(shù)等形式或者它們的組合形式。 所謂方程求根，就是尋找一個，使得成立，這樣的叫做方程的根（解），也叫做函數(shù)的零點。若存在正整數(shù)m，使得，且，則稱為的m重根。當時，又稱為單根，這時滿足，。 對于一般的非線性方程，用直接方法得到它的精確解是很困難的，例如。非線性方程的求解就是研究方程在給

32、定初值的條件下，如何利用計算機運算得到方程真解的近似值x，使得對任意給定的精度，滿足，此時稱x關于是精確的。 對于具體的問題，首先要對函數(shù)加以初步的研究，判斷出方程的根的個數(shù)和大概位置，才能較好地選擇有根區(qū)間。如果選取得好，還可以把方程的根逐個分離，找出相應的有根區(qū)間。 二分法的特點是當有單根時具有收斂快的特點。然而對方程有重根或復根的情況，二分法公式有時失效。 1、用二分法求方程的正根，要求誤差。 [解]令，則，，所以有根區(qū)間為； 又因為，所以有根區(qū)間為； ，所以有根區(qū)間為； ，所以有根區(qū)間為； ，所以有根區(qū)間為； ，所以有根區(qū)間為； 取， 這時它與精確解的距離。 2

33、、用比例求根法求在區(qū)間的一個根，直到近似根滿足精度終止計算。？ 3、為求方程在附近的一個根，設將方程改寫成下列等價形式，并建立相應的迭代公式： 1），迭代公式；2），迭代公式； 3），迭代公式；4），迭代公式。 試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似值。 [解]1）設，則，從而，所以迭代方法局部收斂。 2）設，則，從而 ，所以迭代方法局部收斂。 3）設，則，從而，所以迭代方法發(fā)散。 4）設，則，從而 ，所以迭代方法發(fā)散。 4、比較求的根到三位小數(shù)所需的計算量： 1）在區(qū)間用二分法； 2）用迭代法，取初值。 [解]1）使用二分法，令，則

34、，，有根區(qū)間為； ，有根區(qū)間為； ，有根區(qū)間為； ，有根區(qū)間為； ，有根區(qū)間為； ，有根區(qū)間為； ，有根區(qū)間為； ，有根區(qū)間為； ，有根區(qū)間為； ，有根區(qū)間為； ，有根區(qū)間為； 從而，共二分10次。 2）使用迭代法，則，， ，， 即，共迭代4次。 5、給定函數(shù)，設對一切x，存在且，證明對于圍的任意定數(shù)，迭代過程均收斂于的根。 [證明]由可知，令，則，又因為，，所以，即，從而迭代格式收斂。 6、已知在區(qū)間只有一根，而當時，，試問如何將化為適于迭代的格式？ 將化為適于迭代的格式，并求（弧度）附近的根。 [解]將兩邊取反函數(shù)，得到，而，從而，故迭代公式收斂。

35、令，則，從而，將迭代公式改變?yōu)?，這時，，從而，迭代格式收斂。取，，。 7、用下列方法求在附近的根。根的準確值，要求計算結果準確到四位有效數(shù)字。 1）用牛頓法；2）用弦截法，??；3）用拋物線法，取 [解]1），， ，，迭代停止。 2），，， ，迭代停止。 3），其中 ，，故 ，，，， ， ，， ，下略。 8、分別用二分法和牛頓法求的最小正根。 [解]參見第6題，。 9、研究求的牛頓公式，證明對一切，且序列是遞減的。 [證明]顯然，，又因為，所以，又，所以序列是遞減的。 10、對于的牛頓公式，證明 收斂到，這里為的根。？ 11、試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和

36、收斂速度。 1）；2）。 [解]1）由可知，故牛頓法不收斂。 2）由可知，故牛頓法一階收斂。 12、應用牛頓法于方程，導出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。 [解]令，則。 13、應用牛頓法于方程，導出求的迭代公式，并求的值。 [解]令，則。余見例8。 14、應用牛頓法于方程和，分別導出求的迭代公式，并求。 [解]， 。 ， 。 15、證明迭代公式是計算的三階方法。假定初值充分靠近，求。 [解]。 補充題1、判斷下列方程有幾個實根，并指出其有根區(qū)間： 1）； 2）。 [解]1）設，則，當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)。又因為，，，，所以可知有三個根，有根

37、區(qū)間分別為。 2）將原方程改寫為，作函數(shù)與的圖像，由圖像可知兩個函數(shù)有兩個交點，其橫坐標位于區(qū)間與，因而所給方程有兩個根。 2、證明迭代格式產(chǎn)生的序列對于均收斂于。 [證明]設，則。 當時，，并且，由迭代格式產(chǎn)生的序列收斂于方程的唯一正根。 3、利用適當?shù)牡袷阶C明。 [證明]考慮迭代格式，則，，……，。 令，則。當時， ，并且，因而迭代格式產(chǎn)生的序列收斂于方程在的唯一根。 4、設a為正整數(shù)，試建立一個求的牛頓迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法運算，并考慮公式的收斂性。 [解]考慮方程，則為以上方程的根。，用牛頓迭代公式。迭代函數(shù)中不含有除法運算。 由遞推得到 ，解

38、得，，所以當 時，方法收斂。 第七章 解線性方程組的直接方法 2、（a）設A是對稱陣且，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為，證明是對稱矩陣。 （b）用高斯消去法解對稱方程組：。 [證明]（a）中的元素滿足，又因為A是對稱陣，滿足，所以，即是對稱矩陣。 （b）略。 4、設A為n階非奇異矩陣且有分解式，其中L是單位下三角陣，U為上三角陣，求證A的所有順序主子式均不為零。 [證明]將L與U分塊，，，其中為k階單位下三角陣，為k階上三角陣，則A的k階順序主子式為，顯然非奇異。 7、設A是對稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為，其中，； 證明：（1）A的對角元素；（2）是對稱正

39、定矩陣； （3）；（4）A的絕對值最大的元素必在對角線上； （5）； （6）從（2）、（3）、（5）推出，如果，則對所有k，。 [證明]（1）依次取，則因為A是對稱正定矩陣，所以有。 （2）中的元素滿足，又因為A是對稱正定矩陣，滿足，所以，即是對稱矩陣。 （3）因為，所以。 （4）以下略。 12、用高斯-約當方法求A的逆陣：。 [解] 故。 13、用追趕法解三對角方程組，其中，。 [解]因為， 所以。 14、用改進的平方根法解方程組。 [解]。 15、下列矩陣能否分解為（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一。 ，，。 [解

40、]因為A的一、二、三階順序主子式分別為1，0，-10，所以A不能直接分解為三角陣的乘積，但換行后可以。 因為B的一、二、三階順序主子式分別為1，0，0，所以B不能分解為三角陣的乘積。 因為C的一、二、三階順序主子式分別為1，5，1，所以C能夠分解為三角陣的乘積，并且分解是唯一的。 16、試畫出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組 。 [解]。 18、設，計算A的行數(shù)，列數(shù)，2-數(shù)及F-數(shù)。 [解]，， 因為， ， ， 從而。 。 19、求證：（a）；（b）。 （a）。 （b），？ 20、設且非奇異，又設為上一向量數(shù)，定義。試證明是上向量的一種數(shù)。 [

41、證明]顯然，、 ，從而是上向量的一種數(shù)。 21、設為對稱正定，定義，試證明是上向量的一種數(shù)。 [證明]因為A對稱正定，所以， ， ，從而是上向量的一種數(shù)。 22、設，，求證。 [證明]因為 ， 而，所以由夾逼性可知，。 23、證明：當且僅當x和y線性相關，且時，才有。 [證明]當x和y線性相關，且時，不妨設，則 ，從而 。 若，則有，并且令，則 ，即，即存在不全為零的，從而x和y線性相關。 24、分別描述中（畫圖）。 [解]：以原點為中心，以為頂點的、邊長為的正方形。 ：以原點為圓心，半徑為1的圓。 ：以原點為中心，以為頂點的、邊長為2的正方形。 25、

42、令是（或）上的任意一種數(shù)，而P是任一奇異實（或復）矩陣，定義數(shù)，證明。 [證明]。 26、設、為上任意兩種矩陣算子數(shù)，證明存在常數(shù)，使對一切滿足。 [證明]由數(shù)的等價性，存在常數(shù)和，使得，則有，并且，從而 ，令，即得求證。 27、設，求證與特征值相等，即求證。 [證明]設為的特征值，則存在非零向量x，使得，兩邊同乘A，則，即是的對應特征向量為的特征值。 設為的特征值，則存在非零向量x，使得，兩邊同乘，則，即是的對應特征向量為的特征值。 28、設A為非奇異矩陣，求證。 [證明]因為，所以得證。 29、設A為非奇異矩陣，且，求證存在且有估計 。 [證明]因為及，所以由定理1

43、8可知，非奇異，從而非奇異，其逆存在。 設，則，又由可得，可得 ，從而 即。 30、矩陣第一行乘以一數(shù)，成為，證明當時，有最小值。 [證明]由可知，當時，矩陣A非奇異，，從而， 又當時，，，從而 。 當時，，從而 。 綜上所述，時最小，這時，即。 31、設A為對稱正定矩陣，且其分解為，其中，求證（a）；（b）。 [證明]由可知，，， ，從而，故得，，，， （a）； （b）。 32、設，計算A的條件數(shù)。 [解]由可知，，從而 ， 由， ， 由， 可得，從而 。 ，，從而。 33、證明：如果A是正交陣，則。 [證明]若A是正交陣，則，從而，，

44、故，。 34、設且為上矩陣的算子數(shù)，證明 。 [證明]。 補充題1、用Gauss消去法求解方程組： （1）； （2）。 （3）； （4）。 （5）。 [解]（1）對系數(shù)矩陣的增廣矩陣進行初等行變換， ，故。 （2）對系數(shù)矩陣的增廣矩陣進行初等行變換， ，故。 （3）對系數(shù)矩陣的增廣矩陣進行初等行變換， ，故。 （4）對系數(shù)矩陣的增廣矩陣進行初等行變換， ，故。 （5）對系數(shù)矩陣的增廣矩陣進行初等行變換， ，故。 2、用列主元Gauss消去法求解下列方程組： （1）； （2）。 （3）； （4）。 （5）。 [解]（1），故

45、。 （2），故。 （3），故。 （4），故。 （5），故。 3、用矩陣的直接三角分解法求解方程組：。 [解]由可知，求解 可得，求解可得。 4、用平方根法（Cholesky分解）求解方程組： （1）。 （2）。 [解]由系數(shù)矩陣的對稱正定性，可令，其中L為下三角陣。 （1） 求解可得， 求解可得。 （2）。求解可得，求解可得。 5、用改進的平方根法（分解）求解方程組： （1）。 （2）。 [解]由系數(shù)矩陣的對稱正定性，可令，其中L為下三角陣，D為對角陣。 （1） 求解可得， 求解可得。 （2）。求解可得，求解可得。 6、用追趕法求解三對角方程組：

46、 （1）， （2）， （3）。 [解]依追趕法對其增廣矩陣進行初等變換， （1），回代得到：。 （2），回代得到：。 （3），回代得到：。 7、設，求，，。 [解]。。 。 8、證明：1）；2）。 [證明]1）。 2）。 9、分別求下列矩陣的，，。 （1）， （2）。 [解]（1），， 因為，由 ，解得 ， 從而。 （2），， 因為，由 ，解得 ， 從而。 10、求矩陣的，，。 [解] ，，因為，所以。 第八章 解線性方程組的迭代法 尋求能夠保持大型稀疏矩陣的稀疏性的有效數(shù)值解法是我們線性代數(shù)方程組數(shù)值解法的一個非常重要的課題。使用迭

47、代法的好處在于它只需要存儲析數(shù)矩陣的非零元素和方程的右端項，因而對于大型稀疏矩陣，具有存儲量小、程序結構簡單的優(yōu)點。由于迭代格式的收斂性和收斂速度與方程組的系數(shù)矩陣密切相關，因此迭代格式的選擇和迭代的收斂性將成為討論的中心問題。 [定義]迭代的平均收斂速度定義為。 [定義]迭代的漸近收斂速度定義為 。 值得注意的是，漸近收斂速度與所使用的數(shù)無關。因此，有時也把漸近收斂速度簡稱為收斂速度。 1、設方程組， （a）考察用雅可比迭代法，高斯-賽德爾迭代法解此方程組的收斂性； （b）用雅可比迭代法及高斯-賽德爾迭代法解此方程組，要求當時迭代終止。 [解]（a）由系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩

48、陣可知，使用雅可比、高斯-賽德爾迭代法求解此方程組均收斂。[精確解為] （b）使用雅可比迭代法： ， 使用高斯-賽德爾迭代法： 。 2、設，證明：即使，級數(shù)也收斂。 [證明]顯然，又因為，所以，級數(shù)的值就為。 3、證明對于任意選擇的A，序列收斂于零。 [證明]設為A的任意一個特征值，x是對應的特征向量，則 ，從而得證。 4、設方程組；迭代公式為 。 求證：由上述迭代公式產(chǎn)生的迭代序列收斂的充要條件為。 [證明]令，，，，，則由迭代公式可得，，即為雅可比迭代公式，從而收斂的充要條件為，而 。由 可得，故得證。 5、設方程組（a）；（b）； 試考察解此方程組的雅克

49、比迭代法及高斯-賽德爾迭代法的收斂性。 [解]（a）由系數(shù)矩陣可知， ，由 可知， ，從而雅可比迭代法不收斂。 ，由 可知， ，從而高斯-塞德爾迭代法收斂。 （b）由系數(shù)矩陣可知， ，由 可知，，從而雅可比迭代法收斂。 ，由 可知， ，從而高斯-塞德爾迭代法不收斂。 6、求證的充要條件是對任何向量x都有。 [證明]若對任何向量x，都有，則依次取x為單位向量組，即得，反之顯然成立。 7、設，其中A對稱正定，問解此方程組的雅克比迭代法是否一定收斂？試考察習題5（a）方程組。 [解]不一定，顯然5（a）中的系數(shù)矩陣是對稱正定矩陣，但雅可比迭代法不收斂。 8、設方程

50、組， （a）求解此方程組的雅克比迭代法的迭代矩陣的譜半徑； （b）求解此方程組的高斯-賽德爾迭代法的迭代矩陣的譜半徑； （c）考察解此方程組的雅克比迭代法及高斯-賽德爾迭代法的收斂性。 [解]由系數(shù)矩陣可知， （a），由 可知，。 （b），由， 可知。 （c）因為A是嚴格對角占優(yōu)矩陣，兩種迭代法都收斂。 9、用SOR方法解方程組（分別取松弛因子） ； 精確解。要求當時迭代終止，并且對每一個值確定迭代次數(shù)。（略）。 10、用SOR方法解方程組（?。?；要求當 時迭代終止。 [解]由系數(shù)矩陣及，，可知， ，從而由可得。[精確解為] 11、設有方程組，其中A為對稱正定

51、陣。迭代公式 ，試證明當時上述迭代法收斂（其中）。 [解]因為迭代矩陣為，而，由可知，當時，，即，從而迭代法收斂。 12、用高斯-賽德爾方程解，用記的第i個分量，且 。 （a）證明； （b）如果，其中是方程組的精確解，求證：，其中。 （c）設A是對稱的，二次型，證明 。 （d）由此推出，如果A是具有正對角元素的非奇異矩陣，且高斯-塞德爾方法對任意初始向量是收斂的，則A是正定陣。 [解]（a）由可得 ，從而 ，其中 ，即得求證。 （b）由可得 ， 從而，即，從而 ，即得求證， 其中。 （c）？。 （d）若高斯-塞德爾方法對任意初始向量都是收斂的，那么由（c

52、）知A是對稱的，又由A是具有正對角元素的非奇異矩陣，所以A是正定陣。 13、設A與B為n階矩陣，A非奇異，考慮解方程組，，其中。 （a）找出下述迭代方法收斂的充要條件，（）； （b）找出下述迭代方法收斂的充要條件，（）； 并比較兩個方法的收斂速度。 [解]（a）設，，則有，從而，因此收斂的充要條件為，即。 （b）設，，則有，從而 ，因此收斂的充要條件為。 迭代法（b）的收斂速度是迭代法（a）的收斂速度的2倍。 14、證明矩陣對于是正定的，而雅克比迭代只對是收斂的。 [證明]由，，可知，當 ，即時，矩陣A是正定的。 又由， 可知，，從而當，即時，雅可比迭代是收斂的。

53、15、設，試說明A為可約矩陣。 [解]取，可知 ，從而A為可約矩陣。 16、給定迭代過程，其中（），試證明：如果C的特征值，則此迭代過程最多迭代n次收斂于方程組的解。 [證明]因為，所以最多迭代次后，從而迭代停止。 17、畫出SOR迭代法的框圖。（略） 18、設A為不可約弱對角優(yōu)勢陣且，求證，解的SOR方法收斂。 [證明]設，則由可知。 19、設，其中A為非奇異陣。 （a）求證為對稱正定陣； （b）求證。 [證明]（a）由可知為對稱陣，對于任意的非零向量x，由可知為正定陣，從而為對稱正定陣。 （b）見上一章第31題。 20、設A為嚴格對角占優(yōu)陣，證明第二章（8.23）

54、式。 [證明]見定理6。 補充題1、用Jacobi迭代法求解方程組，初始向量為。 [解] Jacobi迭代格式為，迭代求解得到： ，，，。 2、設有迭代格式，其中，，試證明該迭代格式收斂，并取計算求解。 [證明]設為B的特征值，則由可得，從而該迭代格式收斂。取計算得，，，。 3、給定方程組，用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法是否收斂？ [解]由系數(shù)矩陣可知， （1）雅可比迭代矩陣為，由 可知，，因而雅可比迭代法發(fā)散。 （2）高斯-塞德爾迭代矩陣為 ，由 可知，，因而高斯-塞德爾迭代法收斂。 4、給定線性方程組，用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法是否收斂？ [解]（

55、1）雅可比迭代矩陣為，由 可知，，因而雅可比迭代法發(fā)散。 （2）高斯-塞德爾迭代矩陣為 ，由 可知，，因而高斯-塞德爾迭代法收斂。 5、給定線性方程組，其中，用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法是否收斂？ [解]（1）雅可比迭代矩陣為 ，由 可知，因而雅可比迭代法發(fā)散。 （2）高斯-塞德爾迭代矩陣為 ，由 可知，，因而高斯-塞德爾迭代法收斂。[另解：顯然A為對稱矩陣，并且a的各階順序主子式大于零，從而A為對稱正定矩陣，可知高斯-塞德爾迭代法收斂。] 6、設線性方程組的系數(shù)矩陣為，試求能使雅可比迭代法收斂的a的取值圍。 [解]當時，系數(shù)矩陣A為奇異矩陣，不能使用雅可比迭代

56、法。當時，雅可比迭代矩陣為，由可知，因而當，即時，雅可比迭代法收斂。 7、設矩陣A非奇異，試證明使用高斯-塞德爾方法求解時是收斂的。 [證明]由可知為對稱陣，對于任意的非零向量x，由可知為正定陣，從而為對稱正定陣。使用高斯-塞德爾方法求解時是收斂的。 第九章 矩陣的特征值與矩陣向量計算 1、用冪法計算下列矩陣的主特征值及對應的特征向量： （a）；（b），當特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時迭代終止。 [解]計算公式為， （a）精確特征值為。 （b）特征多項式為。 2、方陣T分塊形式為，其中為方陣，T稱為塊上三角陣，如果對角塊的階數(shù)至多不超過2，則稱T為準三角形形式。用記矩陣T的特征值集合，證明：。 [證明]顯然。 3、利用反冪法求矩陣的最接近于6的特征值及對應的特征向量。 [解]特征多項式為。 4、求矩陣與特征值4對應的特征向量。 [解]特征向量為。 100 / 100