（江西專用）2019中考數學總復習 第二部分 專題綜合強化 專題四 特殊圖形的計算與證明 類型2 針對訓練

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1、第二部分　專題四 類型二 1．(2018·重慶)如圖，在□ABCD中，∠ACB＝45°，點E在對角線AC上，BE＝BA，BF⊥AC于點F，BF的延長線交AD于點G，點H在BC的延長線上，且CH＝AG，連接EH. (1)若BC＝12，AB＝13，求AF的長； (2)求證：EB＝EH. 　　 (1)解：∵BF⊥AC，∴∠BFC＝∠AFB＝90°. 在Rt△FBC中，sin∠FCB＝，而∠ACB＝45°，BC＝12， ∴sin45°＝ ， ∴BF＝12×sin45°＝12×＝12. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝＝＝5. (2)證明：如答圖，在BF上取點M，使AM＝A

2、G，連接ME，GE. ∵∠BFC＝90°，∠ACB＝45°， ∴△FBC是等腰直角三角形，∴FB＝FC. ∵在□ABCD中，AD∥BC， ∴∠GAC＝∠ACB＝45°，∴∠AGB＝45°. ∵AM＝AG，AF⊥MG，∴∠AMG＝∠AGM＝45°，MF＝GF，∴∠AMB＝∠ECH＝135°. ∵BA＝BE，BF⊥AE，∴AF＝EF， ∴四邊形AMEG是正方形， ∴FM＝FE，∴BM＝CE. 又∵CH＝AG，∴AM＝CH，∴△AMB≌△HCE， ∴AB＝EH，∴EB＝EH. 2．(2018·煙臺) 【問題解決】 一節(jié)數學課上，老師提出了一個這樣問題：如圖1，點P是正方形A

3、BCD內一點，PA＝1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB的度數嗎？ 小明他通過觀察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：將△PBC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數； 思路二：將△APB繞點B順時針旋轉90°，得到△CP′B，連接PP′，求出∠APB的度數． 請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程． 【類比探究】 如圖2，若點P是正方形ABCD外一點，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度數． 　　 解：(1)如答圖1，將△PBC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′. ∵PB＝P′B＝2，∠P′BP＝90°，

4、 ∴PP′＝2，∠BPP′＝45°. 又∵AP′＝CP＝3，AP＝1， ∴AP2＋P′P2＝1＋8＝9＝P′A2， ∴△APP′為直角三角形，且∠APP′＝90°，∴∠APB＝45°＋90°＝135°. 　　 (2)如答圖2，將△PBC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′. ∵PB＝P′B＝1，∠P′BP＝90°， ∴PP′＝，∠BPP′＝45°. 又∵AP′＝CP＝，AP＝3， ∴AP2＋P′P2＝9＋2＝11＝P′A2， ∴△APP′為直角三角形，且∠APP′＝90°， ∴∠APB＝90°－45°＝45°. 3．(2018·江西樣卷)如圖，△ABC中，

5、AB＝AC，BC＝6，AH⊥BC于點H，點D，點E分別是線段AB，AC上的動點(不與點A，B，C重合)且AD＝CE，過點D作DG∥AC交射線AH于點G，連接CG. (1)求證：四邊形DGCE是平行四邊形； (2)已知∠BAC＝30°，當AD長為多少時，四邊形DGCE為菱形？并求出AB的長． (1)證明：如答圖1， ∵AB＝AC，AH⊥BC, ∴∠1＝∠2. ∵DG∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DG＝DA. ∵AD＝CE，∴DG＝CE. ∵DG∥AC，∴四邊形DGCE是平行四邊形． (2)解：當AD＝3時，四邊形DGCE為菱形． 如答圖2，連接BG. ∵AH⊥BC ，AB＝AC，∴BH＝CH， ∴AH垂直平分BC，∴BG＝CG. ∵四邊形DGCE是菱形，DG＝CG，∴DA＝BG. ∵DG∥AC, ∴∠BDG＝∠BAC＝30°. ∵AB＝AC, ∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠GBH＝75°－30°＝45°， ∴△BGH是等腰直角三角形， ∴BG＝DG＝AD＝BH＝3. 過點G作GM⊥AB于M，則GM＝，DM＝， ∴AB＝AD＋2DM＝3＋3 . 3