（江西專用）2019中考數學總復習 第二部分 專題綜合強化 專題六 二次函數的綜合探究（壓軸題）類型5 針對訓練

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1、第二部分　專題六 類型五 1．對于直線l1：y＝ax＋b(a＜0，b＞0)，有如下定義：我們把直線l2：y＝－(x＋b)稱為它的“姊線”．若l1與x，y軸分別相交于A，B兩點，l2與x，y軸分別相交于C，D兩點，我們把經過點A，B，C的拋物線C叫做l1的“母線”． (1)若直線l1：y＝ax＋b(a＜0，b＞0)的“母線”為C：y＝－x2－x＋4，求a，b的值； (2)如圖，若直線l1：y＝mx＋1(m＜0)，G為AB中點，H為CD中點，連接GH，M為GH中點，連接OM，若OM＝，求出l1的“姊線”l2與“母線”C的函數解析式； (3)將l1：y＝－3x＋3的“姊線”繞著D點旋轉得

2、到新的直線l3：y＝kx＋n，若點P(x，y1)與點Q(x，y2)分別是“母線”C與直線l3上的點，當0≤x≤1時，|y1－y2|≤3，求k的取值范圍． 　　 解：(1)對于拋物線y＝－x2－x＋4，令x＝0，得到y(tǒng)＝4，∴B(0,4)， 令y＝0，得到－x2－x＋4＝0，解得x＝－4或2，∴A(2,0)，C(－4,0)． ∵y＝ax＋b的圖象過點A，B， ∴解得 (2)如答圖所示，連接OG，OH. ∵點G，H為斜邊中點，∴OG＝AB，OH＝CD. ∵l1：y＝mx＋1，∴l(xiāng)1的“姊線”l2為y＝－(x＋1)， ∴B(0,1)，A(－，0)，D(－1,0)，C(0，－)，

3、∴OA＝OC，OB＝OD. ∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD， ∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO，∴OG＝OH. ∵OG＝GB，OH＝HC， ∴∠GOB＝∠ABO，∠HOC＝∠OCD. ∵∠ODC＋∠OCD＝90°，∴∠ABO＋∠OCD＝90°， ∴∠GOB＋∠HOC＝90°，∴∠HOG＝90°， ∴OG⊥OH， ∴△OGH為等腰直角三角形． ∵點M為GH中點，∴△OMG為等腰直角三角形， ∴OG＝OM＝，∴AB＝2OG＝， ∴OA＝＝， ∴A(，0)，∴C(0，)，D(－1,0)． ∴l(xiāng)1的“姊線”l2的函數解析式為y＝x＋，“母線”C的函數的解析式為y＝

4、－3x2－2x＋1. (3)l1：y＝－3x＋3的“姊線”的解析式為y＝x＋1，“母線”C的解析式為y＝－x2－2x＋3， ∴直線l3：y＝kx＋1， ∵當0≤x≤1時，|y1－y2|≤3， 不妨設x＝1，則y1＝0，y2＝k＋1，由題意k＋1＝±3，解得k＝2或－4， ∴滿足條件的k是取值范圍為－4≤k≤2. 2．我們定義：兩個二次項系數之和為1，對稱軸相同，且圖象與y軸交點也相同的二次函數互為友好同軸二次函數．例如：y＝2x2＋4x－5的友好同軸二次函數為y＝－x2－2x－5. (1)請你分別寫出y＝－x2，y＝x2＋x－5的友好同軸二次函數； (2)滿足什么條件的二次函數

5、沒有友好同軸二次函數？滿足什么條件的二次函數的友好同軸二次函數是它本身？ (3)如圖，二次函數L1：y＝ax2－4ax＋1與其友好同軸二次函數L2都與y軸交于點A，點B，C分別在L1，L2上，點B，C的橫坐標均為m(0＜m＜2)，它們關于L1的對稱軸的對稱點分別為B′，C′，連接BB′，B′C′，C′C，CB. ①若a＝3，且四邊形BB′C′C為正方形，求m的值； ②若m＝1，且四邊形BB′C′C的鄰邊之比為1∶2，直接寫出a的值． 解：(1)∵1－(－)＝， ∴函數y＝－x2的友好同軸二次函數為y＝x2. ∵1－＝，1×(÷)＝2， ∴函數y＝x2＋x－5的友好同軸二次函數為

6、y＝x2＋2x－5. (2)∵1－1＝0，∴二次項系數為1的二次函數沒有友好同軸二次函數． ∵1÷2＝，∴二次項系數為的二次函數的友好同軸二次函數是它本身． (3)∵二次函數L1：y＝ax2－4ax＋1的對稱軸為直線x＝－＝2， ∴其友好同軸二次函數L2：y＝(1－a)x2－4(1－a)x＋1. ①∵a＝3，∴二次函數L1：y＝ax2－4ax＋1＝3x2－12x＋1，二次函數L2：y＝(1－a)x2－4(1－a)x＋1＝－2x2＋8x＋1，∴點B的坐標為(m,3m2－12m＋1)，點C的坐標為(m，－2m2＋8m＋1)， ∴點B′的坐標為(4－m,3m2－12m＋1)， 點C′的

7、坐標為(4－m，－2m2＋8m＋1)， ∴BC＝－2m2＋8m＋1－(3m2－12m＋1)＝－5m2＋20m，BB′＝4－m－m＝4－2m. ∵四邊形BB′C′C為正方形， ∴BC＝BB′，即－5m2＋20m＝4－2m， 解得m1＝，m2＝(不合題意，舍去)，∴m的值為. ②當m＝1時，點B的坐標為(1，－3a＋1)， 點C的坐標為(1,3a－2)， ∴點B′的坐標為(3，－3a＋1)， 點C′的坐標為(3,3a－2)， ∴BC＝|3a－2－(－3a＋1)|＝|6a－3|， BB′＝3－1＝2. ∵四邊形BB′C′C的鄰邊之比為1∶2， ∴BC＝2BB′或BB′＝2BC

8、，即|6a－3|＝2×2或2＝2|6a－3|，解得a1＝－，a2＝，a3＝，a4＝，∴a的值為－，，或. 3．在平面直角坐標系中，給出如下定義：已知兩個函數，如果對于任意的自變量x，這兩個函數對應的函數值記為y1，y2，都有點(x，y1)和(x，y2)關于點(x，x)中心對稱(包括三個點重合時)，由于對稱中心都在直線y＝x上，所以稱這兩個函數為關于直線y＝x的特別對稱函數．例如：y＝x和y＝x為關于直線y＝x的特別對稱函數． (1)若y＝3x＋2和y＝kx＋t(k≠0)為關于直線y＝x的特別對稱函數，點M(1，m)是y＝3x＋2上一點． ①點M(1，m)關于點(1,1)中心對稱的點坐標為

9、 (1，－3). ②求k，t的值． (2)若y＝3x＋n的圖象和它的特別對稱函數的圖象與y軸圍成的三角形面積為2，求n的值． (3)若二次函數y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d為關于直線y＝x的特別對稱函數． ①直接寫出a，b的值． ②已知點P(－3,1)，點Q(2,1)，連接PQ，直接寫出y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個交點時d的取值范圍． 解：(1)①∵點M(1，m)是y＝3x＋2上一點， ∴m＝5，∴M(1,5)， ∴點M關于(1,1)中心對稱點坐標為(1，－3)． ②∵y＝3x＋2和y＝kx＋t(k≠0)為關于直線y＝x的特別對稱函數，

10、∴＝x， ∴(1＋k)x＋(t＋2)＝0，∴k＝－1，t＝－2. (2)設y＝3x＋n的特別對稱函數為y＝m′x＋n′， ∴＝x，∴(1＋m′)x＋n＋n′＝0，∴m′＝－1，n′＝－n， ∴y＝3x＋n的特別對稱函數為y＝－x－n， 聯立得解得 ∵y＝3x＋n的圖象和它的特別對稱函數的圖象與y軸圍成的三角形面積為2，∴|n－(－n)|×|－n|＝2，∴n＝±2. (3)①∵二次函數y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d為關于直線y＝x的特別對稱函數， ∴＝x， ∴(a＋1)x2＋(b－2)x＋c＋d＝0， ∴a＝－1，b＝2，c＝－d； ②由①知，a＝－1，b＝2，c＝－d

11、， ∴二次函數y＝－x2＋2x－d和y＝x2＋d， ∴這兩個函數的對稱軸為直線x＝1和x＝0. ∵點P(－3,1)，點Q(2,1)，當d＜0時，如答圖1， 當拋物線C2：y＝x2＋d恰好過點P(－3,1)時，即9＋d＝1，d＝－8， 當拋物線C1：y＝－x2＋2x－d恰好過點Q(2,1)時，即－4＋4－d＝1，∴d＝－1， y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個交點時d的取值范圍為－8≤d＜－1， 　　 如答圖2，當0≤d＜1時，拋物線C2與線段PQ有兩個交點，而拋物線C1與線段PQ沒有交點， ∴y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個交點時d的取值范圍為0≤d＜1， 即：y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個交點時d的取值范圍為－8≤d＜－1或0≤d＜1. 5