2020年中考數(shù)學(xué)考點一遍過 考點23 圖形的相似（含解析）

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1、考點23 圖形的相似 一、比例的相關(guān)概念及性質(zhì) 1．線段的比 兩條線段的比是兩條線段的長度之比． 2．比例中項 如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項． 3．比例的性質(zhì) 性質(zhì) 內(nèi)容 性質(zhì)1 =?ad=bc（a，b，c，d≠0）． 性質(zhì)2 如果=，那么． 性質(zhì)3 如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）． 4.黃金分割 如果點C把線段AB分成兩條線段，使，那么點C叫做線段AC的黃金分割點，AC是BC與AB的比例中項，AC與AB的比叫做黃金比． 二、相似三角形的判定及性質(zhì) 1．定義 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角

2、形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比． 2．性質(zhì) （1）相似三角形的對應(yīng)角相等； （2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例； （3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方． 3．判定 （1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似； （2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似； （3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似； （4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似． 【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路： （1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）； （2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[

3、用判定（2）]； （3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等； （4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例； （5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例． 三、相似多邊形 1．定義 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比． 2．性質(zhì) （1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例； （2）相似多邊形的對應(yīng)角相等； （3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方． 四、位似圖形 1．定義 如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，

4、對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比． 2．性質(zhì) （1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k； （2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比． 3．找位似中心的方法 將兩個圖形的各組對應(yīng)點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心． 4．畫位似圖形的步驟 （1）確定位似中心； （2）確定原圖形的關(guān)鍵點； （3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)； （4）作出原圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點； （5）按原圖

5、形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點． 考向一　比例線段及其性質(zhì) 1．比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項． 2．對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段． 3．判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系． 典例1　已知，那么下列等式中，不成立的是 A．

6、 B． C． D．4x=3y 【答案】B 【解析】A、∵，∴，此選項正確，不合題意； B、∵，∴，此選項錯誤，符合題意； C、∵，∴，此選項正確，不合題意； D、∵，∴4x=3y，此選項正確，不合題意； 故選B． 典例2　四條線段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=8cm，d=12cm，則a= A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】A 【解析】∵四條線段a、b、c、d成比例，∴=，∵b=3cm，c=8cm，d=12cm，∴=，解得：a=2cm．故選A． 1．已知線段a、b，如果a：b=5：2，那么下列各式中一定正確

7、的是 A．a(chǎn)+b=7 B．5a=2b C．= D．=1 2．在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列條件能夠判斷DE∥BC的是 A． B． C． D． 考向二　相似三角形 1．相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方． 2．相似三角形的判定：①

8、平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似． 典例3　【浙江省寧波市北侖區(qū)2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的三角形與△ABC不相似的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項符合題意， B、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，

9、故兩三角形相似，故本選項不符合題意， C、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意， D、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意， 故選A. 【名師點睛】本題考查的是相似三角形的判定，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似； 熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵． 典例4　【山西省呂梁市汾陽市2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】

10、若∽，，，，則的長為 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】∵△ABC∽△DEF，，，， ∴，∴，∴EF=6.故選C. 【名師點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例，屬于中考基礎(chǔ)題． 3．【江蘇省徐州市銅山區(qū)2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】兩個相似三角形的面積比為，其中較大的三角形的周長為，則較小的三角形的周長為__________． 4．【陜西省渭南市富平縣2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，點E是AB上一點，連接DE，BD2=BC·BE.

11、證明：△BCD∽△BDE. 考向三　相似多邊形 1．如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形是相似多邊形． 2．相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比． 3．多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形． 4．相似多邊形的性質(zhì)為：①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊的比相等． 典例5　下列各組圖形中一定是相似形的是 A．兩個直角三角形 B．兩個等邊三角形 C．兩個菱形 D．兩個矩形 【答案】B 【解析】∵等邊三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等， ∴兩個等邊三角形一定是相似形， 又∵直角三角形，菱形的對應(yīng)角不一定相等，矩形的邊不一定對應(yīng)成比例，

12、 ∴兩個直角三角形、兩個菱形、兩個矩形都不一定是相似形， 故選B． 5．已知A4紙的寬度為21cm，如圖對折后所得的兩個矩形都和原來的矩形相似，則A4紙的高度約為 A．24.8cm B．26.7cm C．29.7cm D．無法確定 6．如圖，矩形ABCD中，AB=4，點E，F(xiàn)分別在AD，BC邊上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比為1：2，求AD的長． 考向四　位似 1．如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這

13、個點叫做位似中心． 2．位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k． 典例6　【河北省保定市淶水縣2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】已知，如圖，，，且，則與__________是位似圖形，位似比為____________. 【答案】，7：4 【解析】∵A′B′∥AB，B′C′∥BC， ∴△ABC∽△A′B′C′， ，， ∠A′B′O=∠ABO，∠C′B′O=∠CBO， ，∠A′B′C′=∠ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC與△A′B′C′是位似圖形， 位似比=A

14、B：A′B′=OA：OA′=（4+3）：4=7：4． 【名師點睛】本題考查了相似圖形交于一點的圖形的位似圖形，位似比等于對應(yīng)邊的比． 7．【廣東省廣州市海珠區(qū)2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為位似中心線段與線段是位似圖形，若，，，則的坐標(biāo)為___________________． 8．【陜西省渭南市富平縣2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖，在邊長為個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了△ABC格點（頂點是網(wǎng)格線的交點）.請在網(wǎng)格中畫出△ABC以A為位似中心放大到原來的倍的格點△AB1C1，并寫出△ABC與△AB1

15、C1的面積比__________（△ABC與△AB1C1，在點A的同一側(cè)）. 1．【廣東省佛山市三水區(qū)2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】設(shè)，下列變形正確的是 A． B． C． D． 2．【廣東省惠州市2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DE∥BC，且AD=2，AB=3，AE=4，則AC等于 A．5 B．6 C．7 D．8 3．【廣東省佛山市三水區(qū)2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】若，面積之比為，則相似比為 A． B． C． D． 4．【河南省許昌市襄

16、城縣2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，以原點為位似中心，相似比為，把縮小，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是 A． B． C．或 D．或 5．如圖，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于點G，下列結(jié)論錯誤的是 A． B． C． D． 6．如圖，直角坐標(biāo)系中，線段AB兩端點坐標(biāo)分別為A(4，2)、B(8，0)，以原點O為位似中心，將線段AB縮小后得到對應(yīng)線段A1B1，若B1的坐標(biāo)為(–4，0)，則A1的坐標(biāo)為 A．(2，1) B．(–2，–1) C．(–1，2) D．(–4，–2) 7．在比例尺為1：6

17、000000的海南地圖上，量得?？谂c三亞的距離約為3.7厘米，則?？谂c三亞的實際距離約為__________千米． 8．如圖，在△ABC中，AB≠AC，D，E分別為邊AB，AC上的點.AC=3AD，AB=3AE，點F為BC邊上一點，添加一個條件:__________，可以使得△FDB與△ADE相似．(只需寫出一個) 9．【河北省唐山市灤州市2019–2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處， （1）求證：△AME∽△BEC． （2）若△EMC∽△AME，求AB與BC的數(shù)量關(guān)系． 10．【湖南省邵陽市雙清區(qū)2019–

18、2020學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點， （1）求證：AC2=AB?AD． （2）求證：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求AF的值． 11．作四邊形，使它和已知的四邊形位似比等于1∶2，位似中心為O使兩個圖形在點O同側(cè)．（不寫作法） 12．如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，點E在邊AD上，連接BE，在BE上取點F，連接AF并延長交BD于H，且∠AFE=60°，過C作CG∥BD，直線CG、AF交于G． （1）求證：∠FAE=∠ABE； （2）求證：AH=BE；

19、 （3）若AE=3，BH=5，求線段FG的長． 1．（2019?雅安）若，且，則的值是 A．4 B．2 C．20 D．14 2．（2019?沈陽）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對應(yīng)中線，若AD=10，A'D'=6，則△ABC與△A'B'C'的周長比是 A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9 3．（2019?安徽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，點D在邊BC上，點E在線段AD上，EF⊥AC于點F，EG⊥EF交AB于點G．若EF=EG，則CD的長為 A．3.6 B．4

20、 C．4.8 D．5 4．（2019?杭州）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB和AC上，DE∥BC，M為BC邊上一點（不與點B，C重合），連接AM交DE于點N，則 A． ```` B． C． D． 5．（2019?連云港）在如圖所示的象棋盤（各個小正方形的邊長均相等）中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則，“馬”應(yīng)落在下列哪個位置處，能使“馬”、“車”、“炮”所在位置的格點構(gòu)成的三角形與“帥”、“相”、“兵”所在位置的格點構(gòu)成的三角形相似 A．①處 B．②處 C．③處 D．④處 6．（2019?巴中）如圖ABCD，F(xiàn)為BC中點，延長

21、AD至E，使，連接EF交DC于點G，則= A．2∶3 B．3∶2 C．9∶4 D．4∶9 7．（2019?貴港）如圖，在中，點，分別在，邊上，，，若，，則線段的長為 A． B． C． D．5 8．（2019?涼山州）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，則BE∶EC= A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3 9．（2019?常德）如圖，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，△ABC的面積為42，則四邊形DBCE的面積是 A．20

22、B．22 C．24 D．26 10．（2019?玉林）如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點G，則是相似三角形共有 A．3對 B．5對 C．6對 D．8對 11．（2019?淄博）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，D為BC邊上的一點，且∠CAD=∠B．若△ADC的面積為a，則△ABD的面積為 A．2a B．a(chǎn) C．3a D．a(chǎn) 12．（2019?邵陽）如圖，以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′，以下說法中錯誤的是 A．△ABC∽△A′B

23、′C′ B．點C、點O、點C′三點在同一直線上 C．AO∶AA′=1∶2 D．AB∥A′B′ 13．（2019?永州）如圖，已知點F是△ABC的重心，連接BF并延長，交AC于點E，連接CF并延長，交AB于點D，過點F作FG∥BC，交AC于點G．設(shè)三角形EFG，四邊形FBCG的面積分別為S1，S2，則S1：S2=__________． 14．（2019?臺州）如圖，直線，，，分別為直線，，上的動點，連接，，，線段交直線于點．設(shè)直線，之間的距離為，直線，之間的距離為，若，，且，則的最大值為__________． 15．（2019?遼陽）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊分別

24、在軸，軸上，點的坐標(biāo)為，點在矩形的內(nèi)部，點在邊上，滿足∽，當(dāng)是等腰三角形時，點坐標(biāo)為__________． 16．（2019?廣東）如圖，在中，點是邊上的一點． （1）請用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)，求作，使，交于；（不要求寫作法，保留作圖痕跡） （2）在（1）的條件下，若，求的值． 17．（2019?張家界）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線AC，延長AB至點E，使，連接DE，分別交BC，AC交于點F，G． （1）求證：； （2）若，，求FG的長． 18．（2019?菏澤）如圖，和是有公共頂點的等腰直角三角形，

25、． （1）如圖1，連接，，的廷長線交于點，交于點，求證：； （2）如圖2，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點落在上時，連接，，的延長線交于點，若，，求的面積． 19．（2019?涼山州）如圖，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，過點B作BM∥CD交AD于M．連接CM交DB于N． （1）求證：BD2=AD·CD； （2）若CD=6，AD=8，求MN的長． 變式拓展 1．【答案】C 【解析】A、當(dāng)a=10，b=4時，a：b=5：2，但是a+b=14，故本選項錯誤； B、由a：b=5：2，得2a=5b，故本選項錯誤；

26、 C、由a：b=5：2，得=，故本選項正確； D、由a：b=5：2，得=，故本選項錯誤． 故選C． 2．【答案】D 【解析】如圖，∵AD=1，BD=3，∴，當(dāng)時，，∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根據(jù)選項A、B、C的條件都不能推出DE∥BC， 故選D． 3．【答案】48 【解析】∵兩個相似三角形的面積比為，∴兩個相似三角形的相似比為， ∴兩個相似三角形的周長也比為，∵較大的三角形的周長為， ∴較小的三角形的周長為，故答案為：48． 【名師點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 4．【解析

27、】∵BD平分∠ABC， ∴， ∵， ∴， ∴△BCD∽△BDE. 【名師點睛】本題考查相似三角形的判定，如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，且相對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；正確找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解題關(guān)鍵. 5．【答案】C 【解析】設(shè)A4紙的高度為xcm，則對折后的矩形的高度為， ∵對折后所得的兩個矩形都和原來的矩形相似，∴，解得x=21≈29.7（cm）， 即A4紙的高度約為29.7cm．故選C． 6．【解析】∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比為1：2，∴==， ∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=4， ∴==，∴DE=8，AE=2， ∴AD=AE+

28、DE=2+8=10． 7．【答案】 【解析】∵以原點為位似中心線段與線段是位似圖形，的對應(yīng)點是， ∴線段與線段的位似比是， ∴點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為：． 故答案是：． 【名師點睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中，以原點為位似中心的位似圖形的對應(yīng)點的坐標(biāo)，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到位似比，是解題的關(guān)鍵． 8．【解析】如圖所示：延長AB、AC到B1、C1，使AB1=3AB，AC1=3AC，連接B1C1， ∴△AB1C1，即為所求， ∵AB：AB1=1：3， ∴. 【名師點睛】本題考查位似圖形及相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵. 考點沖關(guān)

29、1．【答案】D 【解析】由得，2a=3b， A、∵，∴2b=3a，故本選項不符合題意； B、∵，∴3a=2b，故本選項不符合題意； C、，故本選項不符合題意； D、，故本選項符合題意； 故選D． 【名師點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，能熟記比例的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，如果，那么ad=bc． 2．【答案】B 【解析】∵DE∥BC，∴， ∴，∴AC=6，故選B． 【名師點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，難度系數(shù)不高，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)線段. 3．【答案】C 【解析】∵兩個相似三角形的面積比為9：4，∴它們的相似比為3：2．故選C． 【名師點睛】此題主要考查了相似三角形

30、的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方． 4．【答案】D 【解析】∵以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小， ∴點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（–3×，6×）或[–3×（–），6×（–）]， 即點A′的坐標(biāo)為（–1，2）或（1，–2）．故選D． 【名師點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k． 5．【答案】C 【解析】∵DF∥BE，∴AE∶AF=AG∶AD，CE∶CF=CB∶CD，GE∶DF=AG∶AD．故A、B、D正確．故選C． 6．【答案】B 【解析】∵線段AB兩端點坐標(biāo)分別為A

31、（4，2）、B（8，0），以原點O為位似中心，將線段AB縮小后得到對應(yīng)線段A1B1，若B1的坐標(biāo)為（–4，0），∴對應(yīng)點在原點的兩側(cè)，且位似比為2：1，則A1的坐標(biāo)為：（–2，–1）．故選B． 7．【答案】222 【解析】比例尺為1:6000000，圖上距離3.7厘米則實際距離為3.7，故答案為222． 8．【答案】答案不唯一，如∠A=∠BDF 【解析】因為，，，所以，欲使與相似，只需要與相似即可，則可以添加的條件有：∠A=∠BDF，或者∠C=∠BDF等等．故答案為：答案不唯一，如∠A=∠BDF． 9．【解析】（1）∵矩形ABCD，∴∠A=∠B=∠D=90°， ∵將矩形ABCD沿

32、CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處， ∴∠MEC=∠D=90°，∴∠AEM+∠BEC=90°， ∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠AME=∠EBC， 又∵∠A=∠B，∴△AME∽△BEC． （2）∵△EMC∽△AME，∴∠AEM=∠ECM， ∵△AME∽△BEC，∴∠AEM=∠BCE，∴∠BCE=∠ECM， 由折疊可知：△ECM≌△DCM，∴∠DCM=∠ECM，DC=EC， 即∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°， 在Rt△BCE中，，∴， ∵DC=EC=AB，∴. 【名師點睛】此題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，利用30角的余弦值求邊長的比，利用三角形相似及

33、折疊得到∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°是解題的關(guān)鍵. 10．【解析】（1）∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB， ∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB， ∴，∴AC2=AD?AB； （2）在Rt△ABC中，∵E為AB的中點， ∴CE=AE（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）， ∴∠ACE=∠CAE， ∵AC平分∠BAD， ∴∠CAD=∠CAE， ∴∠CAD=∠ACE，∴CE∥AE； （3）由（1）知，AC2=AD?AB， ∵AD=4，AB=6，∴AC2=4×6=24，∴AC=2， 在Rt△ABC中，∵E為AB的中點，∴CE=AB=3， 由（2

34、）知，CE∥AD，∴△CFE∽△AFD， ∴，∴，∴AF=． 【名師點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和平行線的判定，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和平行線的判定是解決此題的關(guān)鍵． 11．【解析】如圖所示，四邊形A′B′C′D′即為所求． 12．【解析】（1）∵∠AFE=∠BAE=60°，∠AEF=∠BEA， ∴△AEF∽△BEA，∴∠FAE=∠ABE； （2）∵四邊形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴AB=AD、∠BAE=∠ADB=60°， 在△ABE和△DAH中，∵，∴△ABE≌△DAH(ASA)， ∴AH=B

35、E； （3）如圖，連接AC交BD于點P，則AC⊥BD，且AC平分BD， ∵△ABE≌△DAH，∴AE=DH=3，則BD=BH+DH=8， ∴BP=PD=4，PH=BH–BP=1， ∵AB=BD=8，∴AP==4，則AC=2AP=8， ∵CG∥BD，且P為AC中點，∴∠ACG=90°，CG=2PH=2， ∴AG==14，BE=AH=AG=7， ∵△AEF∽△BEA， ∴=，即=，解得AF=， ∴FG=AG–AF=14–=． 直通中考 1．【答案】A 【解析】由a∶b=3∶4知，所以． 所以由得到：， 解得．所以． 所以．故選A． 【名師點睛】考查了比例的性

36、質(zhì)，內(nèi)項之積等于外項之積．若，則． 2．【答案】C 【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對應(yīng)中線，AD=10，A'D'=6， ∴△ABC與△A'B'C'的周長比=AD∶A′D′=10∶6=5∶3．故選C． 【名師點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住相似三角形的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識解決問題． 3．【答案】B 【解析】如圖，作DH∥EG交AB于點H，則△AEG∽△ADH， ∴，∵EF⊥AC，∠C=90°，∴∠EFA=∠C=90°，∴EF∥CD， ∴△AEF∽△ADC，∴，∴， ∵EG=EF，∴DH=CD，設(shè)DH=x，則CD=x，∵BC=12

37、，AC=6，∴BD=12-x， ∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA， ∴，即，解得，x=4，∴CD=4，故選B． 4．【答案】C 【解析】∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴， ∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴，∴．故選C． 5．【答案】B 【解析】帥”、“相”、“兵”所在位置的格點構(gòu)成的三角形的三邊的長分別為2、2、4， “車”、“炮”之間的距離為1，“炮”②之間的距離為，“車”②之間的距離為2， ∵，∴馬應(yīng)該落在②的位置，故選B． 6．【答案】D 【解析】設(shè)，∵，∴， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，， ∵點F

38、是BC的中點，∴， ∵，∴， ∴，故選D． 【名師點睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點的定義，表示出CF是解本題的關(guān)鍵． 7．【答案】C 【解析】設(shè)，，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，， ∵，，∴， ∵，∴， ∴， 設(shè)，，∴， ∴，∴，∴， 故選C． 【名師點睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型． 8．【答案】B 【解析】如圖，過O作OG∥BC，交AC于G， ∵O是BD的中點，∴G是DC的中點． 又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1

39、，∴S△AOB：S△BOE=2， 設(shè)S△BOE=S，S△AOB=2S，又BO=OD，∴S△AOD=2S，S△ABD=4S，∵AD∶DC=1∶2，∴S△BDC=2S△ABD=8S，S四邊形CDOE=7S，∴S△AEC=9S，S△ABE=3S，∴，故選B． 9．【答案】D 【解析】如圖，根據(jù)題意得△AFH∽△ADE，∴， 設(shè)S△AFH=9x，則S△ADE=16x，∴16x-9x=7，解得x=1，∴S△ADE=16， ∴四邊形DBCE的面積=42-16=26．故選D． 10．【答案】C 【解析】圖中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA， ∵AB∥EF∥DC，AD∥BC，∴△

40、AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA， 共有6個組合分別為：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA，故選C． 11．【答案】C 【解析】∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即， 解得，△BCA的面積為4a，∴△ABD的面積為：4a-a=3a，故選C． 12．【答案】C 【解析】∵以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′，點C、點O、點C′三點在同一直線上，AB∥A′B′， AO∶OA′=1∶2，故選項C錯誤，符合題意．故選C

41、． 13．【答案】 【解析】∵點F是△ABC的重心，∴BF=2EF，∴BE=3EF， ∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC， ∴，（）2， ∴S1∶S2，故答案為：． 【名師點睛】本題考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握三角形的重心定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵． 14．【答案】 【解析】如圖，過作于，延長交于，過作于，過作于， 設(shè)，，，， ∵，∴，， ∵， ∴， ∴，∴， ∴，即，∴， ∵，∴， ∴，即， ∴， ∵，∴， ∴， ∴當(dāng)最大時，， ∵， ∴當(dāng)時，， ∴， ∴的最大值為．故答案為：． 【名師點睛】此題主要考查

42、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件作出輔助線構(gòu)造相似三角形進(jìn)行求解． 15．【答案】或 【解析】∵點在矩形的內(nèi)部，且是等腰三角形， ∴點在的垂直平分線上或在以點為圓心為半徑的圓弧上； ①當(dāng)點在的垂直平分線上時，點同時在上，的垂直平分線與的交點即是，如圖1所示， ∵，， ∴， ∴∽， ∵四邊形是矩形，點的坐標(biāo)為， ∴點橫坐標(biāo)為﹣4，，，， ∵∽， ∴，即， 解得：， ∴點． ②點在以點為圓心為半徑的圓弧上，圓弧與的交點為， 過點作于，如圖2所示， ∵，∴， ∴∽， ∵四邊形是矩形，點的坐標(biāo)為， ∴，，， ∴，∴， ∵∽， ∴，即：

43、， 解得：，， ∴， ∴點， 綜上所述：點的坐標(biāo)為：或， 故答案為：或． 【名師點睛】此題主要考查正方形的綜合，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)． 16．【解析】（1）如圖所示： （2）∵， ∴． ∴． 【名師點睛】本題考查了作一個角等于已知角，平行線分線段成比例定理，熟練掌握利用尺規(guī)作一個角等于已知角的作圖方法是解題的關(guān)鍵． 17．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴，， ∴， ∴， ∵BE=AB，AE=AB+BE， ∴， ∴， ∴． （2）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴， ∴， ∴，即， 解得，

44、． 【名師點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 18．【解析】（1）∵和是有公共頂點的等腰直角三角形，， ∴，，， 即， 在與中，， ∴，∴， ∵， ∴，∴． （2）在與中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面積． 【名師點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 19．【解析】（1）∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°， ∴△ABD∽△BCD， ∴， ∴BD2=AD·CD． （2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC， ∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°， ∴BM=MD，∠MAB=∠MBA， ∴BM=MD=AM=4， ∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48， ∴BC2=BD2-CD2=12， ∴MC2=MB2+BC2=28， ∴MC=， ∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND， ∴，且MC=， ∴MN=．