蘇科版八級上線段、角的軸對稱性同步試卷含答案解析.doc

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2016年蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊同步試卷：2.4 線段、角的軸對稱性（1） 一、選擇題（共14小題） 1．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延長線交于點E，若點P使得S△PAB=S△PCD，則滿足此條件的點P（　?。? A．有且只有1個 B．有且只有2個 C．組成∠E的角平分線 D．組成∠E的角平分線所在的直線（E點除外） 2．如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積等于（　　） A．10 B．7 C．5 D．4 3．如圖，在△ABC中，∠C=90，∠B=30，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=1，則BC=（　　） A． B．2 C．3 D． +2 4．如圖，在邊長為的等邊三角形ABC中，過點C垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點P，則點P到邊AB所在直線的距離為（　?。? A． B． C． D．1 5．如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA于點D，PD=6，則點P到邊OB的距離為（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 6．如圖，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E．如果點M是OP的中點，則DM的長是（　?。? A．2 B． C． D． 7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AD是△ABC的角平分線，AC=3，BC=4，則CD的長是（　?。? A．1 B． C． D．2 8．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下列四個結(jié)論： ①OA=OD； ②AD⊥EF； ③當∠A=90時，四邊形AEDF是正方形； ④AE+DF=AF+DE． 其中正確的是（　?。? A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 9．如圖，AD是△ABC的角平分線，則AB：AC等于（　　） A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC 10．如圖，在△ABC中，∠C=90，∠B=30，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（　　） ①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 11．如圖，三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個結(jié)論： ①∠AFE=∠AEF； ②AD垂直平分EF； ③； ④EF一定平行BC． 其中正確的是（　?。? A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 12．如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（　?。? A．3 B．4 C．6 D．5 13．如圖，在△ABC中，∠ABC=50，∠ACB=60，點E在BC的延長線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點D，連接AD，下列結(jié)論中不正確的是（　?。? A．∠BAC=70 B．∠DOC=90 C．∠BDC=35 D．∠DAC=55 14．在△ABC中，∠BAC=90，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長為（　?。? A． B． C． D． 　 二、填空題（共13小題） 15．如圖，在△ABC中，∠C=90，∠A=30，BD是∠ABC的平分線．若AB=6，則點D到AB的距離是　　　　　?。? 16．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是　　　　　?。? 17．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AD是△ABC的角平分線，DC=3，則點D到AB的距離是　　　　　?。? 18．如圖，在菱形ABCD中，點P是對角線AC上的一點，PE⊥AB于點E．若PE=3，則點P到AD的距離為　　　　　?。? 19．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是　　　　　?。? 20．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90，BD平分∠ABC，交AC于點D，且AB=4，BD=5，那么點D到BC的距離是　　　　　?。? 21．如圖，在△ABC中，∠C=90，AB=10，AD是△ABC的一條角平分線．若CD=3，則△ABD的面積為　　　　　?。? 22．如圖，∠AOB=70，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，則∠AOQ=　　　　　?。? 23．在Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=　　　　　?。? 24．已知OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D、E，PD=10，則PE的長度為　　　　　?。? 25．如圖，BD是∠ABC的平分線，P為BD上的一點，PE⊥BA于點E，PE=4cm，則點P到邊BC的距離為　　　　　　cm． 26．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，DE⊥AC交于點E，DF⊥BC于點F，且BC=4，DE=2，則△BCD的面積是　　　　　　． 27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠BAC與BC相交于點D，若AD=4，CD=2，則AB的長是　　　　　?。? 　 三、解答題（共3小題） 28．如圖，四邊形ABCD中，AC為∠BAD的角平分線，AB=AD，E、F兩點分別在AB、AD上，且AE=DF．請完整說明為何四邊形AECF的面積為四邊形ABCD的一半． 29．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，BD是△ABC的一條角平分線．點O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形． （1）求證：點O在∠BAC的平分線上； （2）若AC=5，BC=12，求OE的長． 30．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的長； （2）求△ADB的面積． 　 2016年蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊同步試卷：2.4 線段、角的軸對稱性（1） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共14小題） 1．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延長線交于點E，若點P使得S△PAB=S△PCD，則滿足此條件的點P（　?。? A．有且只有1個 B．有且只有2個 C．組成∠E的角平分線 D．組成∠E的角平分線所在的直線（E點除外） 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)分析，作∠E的平分線，點P到AB和CD的距離相等，即可得到S△PAB=S△PCD． 【解答】解：作∠E的平分線， 可得點P到AB和CD的距離相等， 因為AB=CD， 所以此時點P滿足S△PAB=S△PCD． 故選D． 【點評】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)AB=CD和三角形等底作出等高即可． 　 2．如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積等于（　?。? A．10 B．7 C．5 D．4 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF=DE=2，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可． 【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF=DE=2， ∴S△BCE=BC?EF=52=5， 故選C． 【點評】本題考查了角的平分線的性質(zhì)以及三角形的面積，作出輔助線求得三角形的高是解題的關(guān)鍵． 　 3．如圖，在△ABC中，∠C=90，∠B=30，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=1，則BC=（　　） A． B．2 C．3 D． +2 【考點】角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得CD的長，然后在直角△BDE中，根據(jù)30的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BD長，則BC即可求得． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∠C=90， ∴CD=DE=1， 又∵直角△BDE中，∠B=30， ∴BD=2DE=2， ∴BC=CD+BD=1+2=3． 故選C． 【點評】本題考查了角的平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，30的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，理解性質(zhì)定理是關(guān)鍵． 　 4．如圖，在邊長為的等邊三角形ABC中，過點C垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點P，則點P到邊AB所在直線的距離為（　?。? A． B． C． D．1 【考點】角平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【分析】根據(jù)△ABC為等邊三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90，在Rt△PCB中， =1，即可解答． 【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，BP平分∠ABC， ∴∠PBC==30， ∵PC⊥BC， ∴∠PCB=90， 在Rt△PCB中， =1， ∴點P到邊AB所在直線的距離為1， 故選：D． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、利用三角函數(shù)求值，解決本題的關(guān)鍵是等邊三角形的性質(zhì)． 　 5．如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA于點D，PD=6，則點P到邊OB的距離為（　?。? A．6 B．5 C．4 D．3 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】過點P作PE⊥OB于點E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PE=PD，從而得解． 【解答】解：如圖， 過點P作PE⊥OB于點E， ∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA于D， ∴PE=PD， ∵PD=6， ∴PE=6， 即點P到OB的距離是6． 故選：A． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 6．如圖，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E．如果點M是OP的中點，則DM的長是（　?。? A．2 B． C． D． 【考點】角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理． 【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30，又由含30角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得PE的值，繼而求得OP的長，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得DM的長． 【解答】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60， ∴∠AOP=∠COP=30， ∵CP∥OA， ∴∠AOP=∠CPO， ∴∠COP=∠CPO， ∴OC=CP=2， ∵∠PCE=∠AOB=60，PE⊥OB， ∴∠CPE=30， ∴CE=CP=1， ∴PE==， ∴OP=2PE=2， ∵PD⊥OA，點M是OP的中點， ∴DM=OP=． 故選：C． 【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、含30直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AD是△ABC的角平分線，AC=3，BC=4，則CD的長是（　?。? A．1 B． C． D．2 【考點】角平分線的性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理． 【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=CD，利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)△ABC的面積公式列出方程求解即可． 【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90，AD是△ABC的角平分線， ∴DE=CD， 由勾股定理得，AB===5， S△ABC=AB?DE+AC?CD=AC?BC， 即5?CD+3?CD=34， 解得CD=． 故選C． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，熟記性質(zhì)并根據(jù)三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 8．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下列四個結(jié)論： ①OA=OD； ②AD⊥EF； ③當∠A=90時，四邊形AEDF是正方形； ④AE+DF=AF+DE． 其中正確的是（　　） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的判定． 【專題】壓軸題． 【分析】①如果OA=OD，則四邊形AEDF是矩形，∠A=90，不符合題意，所以①不正確． ②首先根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△AE0≌△AFO，即可判斷出AD⊥EF． ③首先判斷出當∠A=90時，四邊形AEDF的四個角都是直角，四邊形AEDF是矩形，然后根據(jù)DE=DF，判斷出四邊形AEDF是正方形即可． ④根據(jù)△AED≌△AFD，判斷出AE=AF，DE=DF，即可判斷出AE+DF=AF+DE成立，據(jù)此解答即可． 【解答】解：如果OA=OD，則四邊形AEDF是矩形，∠A=90，不符合題意， ∴①不正確； ∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠EAD∠FAD， 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF，DE=DF， ∴AE+DF=AF+DE， ∴④正確； 在△AEO和△AFO中， ， ∴△AE0≌△AF0（SAS）， ∴EO=FO， 又∵AE=AF， ∴AO是EF的中垂線， ∴AD⊥EF， ∴②正確； ∵當∠A=90時，四邊形AEDF的四個角都是直角， ∴四邊形AEDF是矩形， 又∵DE=DF， ∴四邊形AEDF是正方形， ∴③正確． 綜上，可得 正確的是：②③④． 故選：D． 【點評】（1）此題主要考查了三角形的角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，以及直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握． （2）此題還考查了全等三角形的判定和應(yīng)用，要熟練掌握． （3）此題還考查了矩形、正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握． 　 9．如圖，AD是△ABC的角平分線，則AB：AC等于（　?。? A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】先過點B作BE∥AC交AD延長線于點E，由于BE∥AC，利用平行線分線段成比例定理的推論、平行線的性質(zhì)，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性質(zhì)可有=，而利用AD時角平分線又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代換即可證． 【解答】解：如圖 過點B作BE∥AC交AD延長線于點E， ∵BE∥AC， ∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD， ∴△BDE∽△CDA， ∴=， 又∵AD是角平分線， ∴∠E=∠DAC=∠BAD， ∴BE=AB， ∴=， ∴AB：AC=BD：CD． 故選：A． 【點評】此題考查了角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論．關(guān)鍵是作平行線． 　 10．如圖，在△ABC中，∠C=90，∠B=30，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（　?。? ①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖． 【分析】①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線； ②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)； ③利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點D在AB的中垂線上； ④利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比． 【解答】解：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線． 故①正確； ②如圖，∵在△ABC中，∠C=90，∠B=30， ∴∠CAB=60． 又∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠1=∠2=∠CAB=30， ∴∠3=90﹣∠2=60，即∠ADC=60． 故②正確； ③∵∠1=∠B=30， ∴AD=BD， ∴點D在AB的中垂線上． 故③正確； ④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30， ∴CD=AD， ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD． ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD， ∴S△DAC：S△ABC=AC?AD： AC?AD=1：3． 故④正確． 綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個． 故選D． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖﹣基本作圖．解題時，需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)． 　 11．如圖，三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個結(jié)論： ①∠AFE=∠AEF； ②AD垂直平分EF； ③； ④EF一定平行BC． 其中正確的是（　?。? A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】由三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分線的性質(zhì)，可得AF=AE，繼而證得①∠AFE=∠AEF；又由線段垂直平分線的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面積公式求解即可得③． 【解答】解：①∵三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠ADE=∠ADF，DF=DE， ∴AF=AE， ∴∠AFE=∠AEF，故正確； ②∵DF=DE，AF=AE， ∴點D在EF的垂直平分線上，點A在EF的垂直平分線上， ∴AD垂直平分EF，故正確； ③∵S△BFD=BF?DF，S△CDE=CE?DE，DF=DE， ∴；故正確； ④∵∠EFD不一定等于∠BDF， ∴EF不一定平行BC．故錯誤． 故選A． 【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 12．如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（　?。? A．3 B．4 C．6 D．5 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】過點D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可． 【解答】解：如圖，過點D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB， ∴DE=DF， 由圖可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴42+AC2=7， 解得AC=3． 故選：A． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，在△ABC中，∠ABC=50，∠ACB=60，點E在BC的延長線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點D，連接AD，下列結(jié)論中不正確的是（　?。? A．∠BAC=70 B．∠DOC=90 C．∠BDC=35 D．∠DAC=55 【考點】角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可求出∠BAC=70，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABO，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOB再根據(jù)對頂角相等可得∠DOC=∠AOB，根據(jù)鄰補角的定義和角平分線的定義求出∠DCO，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可∠BDC，判斷出AD為三角形的外角平分線，然后列式計算即可求出∠DAC． 【解答】解：∵∠ABC=50，∠ACB=60， ∴∠BAC=180﹣∠ABC﹣∠ACB=180﹣50﹣60=70， 故A選項正確， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABO=∠ABC=50=25， 在△ABO中， ∠AOB=180﹣∠BAC﹣∠ABO=180﹣70﹣25=85， ∴∠DOC=∠AOB=85， 故B選項錯誤； ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=（180﹣60）=60， ∴∠BDC=180﹣85﹣60=35， 故C選項正確； ∵BD、CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線， ∴AD是△ABC的外角平分線， ∴∠DAC=（180﹣70）=55， 故D選項正確． 故選：B． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵． 　 14．在△ABC中，∠BAC=90，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長為（　　） A． B． C． D． 【考點】角平分線的性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面積求出點A到BC上的高，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點D到AB、AC上的距離相等，然后利用三角形的面積求出點D到AB的長，再利用△ABD的面積列式計算即可得解． 【解答】解：∵∠BAC=90，AB=3，AC=4， ∴BC===5， ∴BC邊上的高=345=， ∵AD平分∠BAC， ∴點D到AB、AC上的距離相等，設(shè)為h， 則S△ABC=3h+4h=5， 解得h=， S△ABD=3=BD?， 解得BD=． 故選A． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，利用三角形的面積分別求出相應(yīng)的高是解題的關(guān)鍵． 　 二、填空題（共13小題） 15．如圖，在△ABC中，∠C=90，∠A=30，BD是∠ABC的平分線．若AB=6，則點D到AB的距離是　?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BC，CD，問題即可求出． 【解答】解：∵∠C=90，∠A=30， ∴∠ABC=180﹣30﹣90=60， ∵BD是∠ABC的平分線， ∴∠DBC=∠ABC=30， ∴BC=AB=3， ∴CD=BC?tan30=3=， ∵BD是∠ABC的平分線， 又∵角平線上點到角兩邊距離相等， ∴點D到AB的距離=CD=， 故答案為：． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 16．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是　4：3　． 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】估計角平分線的性質(zhì)，可得出△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高相等，估計三角形的面積公式，即可得出△ABD與△ACD的面積之比等于對應(yīng)邊之比． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分線， ∴設(shè)△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高分別為h1，h2， ∴h1=h2， ∴△ABD與△ACD的面積之比=AB：AC=4：3， 故答案為4：3． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AD是△ABC的角平分線，DC=3，則點D到AB的距離是　3?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=DC即可得解． 【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵AD是∠CAB的角平分線，∠C=90， ∴DE=DC， ∵DC=3， ∴DE=3， 即點D到AB的距離DE=3． 故答案為：3． 【點評】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 18．如圖，在菱形ABCD中，點P是對角線AC上的一點，PE⊥AB于點E．若PE=3，則點P到AD的距離為　3?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】作PF⊥AD于D，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC平分∠BAD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PF=PE=3． 【解答】解：作PF⊥AD于D，如圖， ∵四邊形ABCD為菱形， ∴AC平分∠BAD， ∵PE⊥AB，PF⊥AD， ∴PF=PE=3， 即點P到AD的距離為3． 故答案為：3． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了菱形的性質(zhì)． 　 19．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是　15?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】過D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=3，根據(jù)三角形的面積求出即可． 【解答】解：過D作DE⊥BC于E， ∵∠A=90， ∴DA⊥AB， ∵BD平分∠ABC， ∴AD=DE=3， ∴△BDC的面積是DEBC=103=15， 故答案為：15． 【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積的應(yīng)用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等． 　 20．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90，BD平分∠ABC，交AC于點D，且AB=4，BD=5，那么點D到BC的距離是　3?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】首先過點D作DE⊥BC于E，由在Rt△ABC中，∠A=90，BD平分∠ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=AD，又由勾股定理求得AD的長，繼而求得答案． 【解答】解：過點D作DE⊥BC于E， ∵在Rt△ABC中，∠A=90，BD平分∠ABC， 即AD⊥BA， ∴DE=AD， ∵在Rt△ABC中，∠A=90，AB=4，BD=5， ∴AD==3， ∴DE=AD=3， ∴點D到BC的距離是3． 故答案為：3． 【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法． 　 21．如圖，在△ABC中，∠C=90，AB=10，AD是△ABC的一條角平分線．若CD=3，則△ABD的面積為　15?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】要求△ABD的面積，現(xiàn)有AB=10可作為三角形的底，只需求出該底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得DE的長，即可求解． 【解答】解：作DE⊥AB于E． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE=CD=3． ∴△ABD的面積為310=15． 故答案是：15． 【點評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)；熟練運用角平分線的性質(zhì)定理，是很重要的，作出并求出三角形AB邊上的高時解答本題的關(guān)鍵． 　 22．如圖，∠AOB=70，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，則∠AOQ=　35?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷OQ是∠AOB的平分線，然后根據(jù)角平分線的定義解答即可． 【解答】解：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC=QD， ∴OQ是∠AOB的平分線， ∵∠AOB=70， ∴∠AOQ=∠A0B=70=35． 故答案為：35． 【點評】本題考查了角平分線的判定以及角平分線的定義，根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷OQ是∠AOB的平分線是解題的關(guān)鍵． 　 23．在Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=　3　． 【考點】角平分線的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】過點D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD=DE，然后根據(jù)△ABC的面積列式計算即可得解． 【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90，AC=6，BC=8， ∴AB===10， ∵AD平分∠CAB， ∴CD=DE， ∴S△ABC=AC?CD+AB?DE=AC?BC， 即6?CD+10?CD=68， 解得CD=3． 故答案為：3． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 24．已知OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D、E，PD=10，則PE的長度為　10?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PE=PD． 【解答】解：∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD=10． 故答案為：10． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀． 　 25．如圖，BD是∠ABC的平分線，P為BD上的一點，PE⊥BA于點E，PE=4cm，則點P到邊BC的距離為　4　cm． 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】BD是∠ABC的平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到點P到BC的距離． 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分線，PE⊥AB于點E，PE=4cm， ∴點P到BC的距離=PE=4cm． 故答案為4． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)．由已知能夠注意到P到BC的距離即為PE長是解決的關(guān)鍵． 　 26．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，DE⊥AC交于點E，DF⊥BC于點F，且BC=4，DE=2，則△BCD的面積是　4?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】首先根據(jù)CD平分∠ACB交AB于點D，可得∠DCE=∠DCF；再根據(jù)DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△CED≌△CFD，即可判斷出DF=DE；最后根據(jù)三角形的面積=底高2，求出△BCD的面積是多少即可． 【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于點D， ∴∠DCE=∠DCF， ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC=∠DFC=90， 在△DEC和△DFC中， （AAS） ∴△DEC≌△DFC， ∴DF=DE=2， ∴S△BCD=BCDF2 =422 =4 答：△BCD的面積是4． 故答案為：4． 【點評】（1）此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． （2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及三角形的面積的求法，要熟練掌握． 　 27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠BAC與BC相交于點D，若AD=4，CD=2，則AB的長是　4?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【專題】計算題． 【分析】先求出∠CAD=30，求出∠BAC=60，∠B=30，根據(jù)勾股定理求出AC，再求出AB=2AC，代入求出即可． 【解答】解：∵在Rt△ACD中，∠C=90，CD=2，AD=4， ∴∠CAD=30， ∴由勾股定理得：AC==2， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC=60， ∴∠B=30， ∴AB=2AC=4， 故答案為：4． 【點評】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AC長和求出∠B=30，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 　 三、解答題（共3小題） 28．如圖，四邊形ABCD中，AC為∠BAD的角平分線，AB=AD，E、F兩點分別在AB、AD上，且AE=DF．請完整說明為何四邊形AECF的面積為四邊形ABCD的一半． 【考點】角平分線的性質(zhì)；三角形的面積． 【分析】分別作CG⊥AB與G，CH⊥AD與H，由AC為∠BAD的角平分線，得到CG=CH，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等得到△ABC面積=△ACD面積，又由于AE=DF，得到△AEC面積=△CDF面積，于是△BCE面積=△ABC面積﹣△AEC面積，△BCE面積=△ACD面積﹣△CDF面積，求出△BCE面積=△ACF面積，由四邊形AECF面積=△AEC面積+△ACF面積，四邊形AECF面積=△AEC面積+△BCE面積，得到四邊形AECF面積=△ABC面積，又由于四邊形ABCD面積=△ABC面積+△ACD面積，四邊形ABCD面積=2△ABC面積，即可得到結(jié)果． 【解答】解：分別作CG⊥AB與G，CH⊥AD與H， ∵AC為∠BAD的角平分線， ∴CG=CH， ∵AB=AD， ∴△ABC面積=△ACD面積， 又∵AE=DF， ∴△AEC面積=△CDF面積， ∴△BCE面積=△ABC面積﹣△AEC面積， △BCE面積=△ACD面積﹣△CDF面積， ∴△BCE面積=△ACF面積， ∵四邊形AECF面積=△AEC面積+△ACF面積， 四邊形AECF面積=△AEC面積+△BCE面積， ∴四邊形AECF面積=△ABC面積， 又∵四邊形ABCD面積=△ABC面積+△ACD面積， 又∵四邊形ABCD面積=2△ABC面積， ∴四邊形AECF面積為四邊形ABCD面積的一半． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 　 29．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，BD是△ABC的一條角平分線．點O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形． （1）求證：點O在∠BAC的平分線上； （2）若AC=5，BC=12，求OE的長． 【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】（1）過點O作OM⊥AB，由角平分線的性質(zhì)得OE=OM，由正方形的性質(zhì)得OE=OF，易得OM=OF，由角平分線的判定定理得點O在∠BAC的平分線上； （2）由勾股定理得AB的長，利用方程思想解得結(jié)果． 【解答】（1）證明：過點O作OM⊥AB， ∵BD是∠ABC的一條角平分線， ∴OE=OM， ∵四邊形OECF是正方形， ∴OE=OF， ∴OF=OM， ∴AO是∠BAC的角平分線，即點O在∠BAC的平分線上； （2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12， ∴AB===13， 設(shè)CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z， ∴， 解得：， ∴CE=2， ∴OE=2． 【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及角平分線定理及性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，運用方程思想是解本題的關(guān)鍵． 　 30．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的長； （2）求△ADB的面積． 【考點】角平分線的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD=DE，代入求出即可； （2）利用勾股定理求出AB的長，然后計算△ADB的面積． 【解答】解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90， ∴CD=DE， ∵CD=3， ∴DE=3； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10， ∴△ADB的面積為S△ADB=AB?DE=103=15． 【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的運用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．