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1、分式方程及其應(yīng)用
基礎(chǔ)知識過關(guān)
1．＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的方程叫做分式方程；
2．解分式方程的基本思想是把分式方程化為＿＿＿＿＿＿；
3．分式方程的增根是使＿＿＿＿＿＿為零的未知數(shù)的值，增根是在＿＿＿的過程中產(chǎn)生的；
4．因為可能有增根的產(chǎn)生，因此分式方程的相關(guān)問題一定要注意＿＿＿＿＿＿．
【中考真題】
【2019葫蘆島】某工廠計劃生產(chǎn)300個零件，由于采用新技術(shù)，實際每天生產(chǎn)零件的數(shù)量是原計劃的2倍，因此提前5天完成任務(wù)．設(shè)原計劃每天生產(chǎn)零件x個，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ）
A．300x-300x+2=5 B．3002x-300x=5 C．300x-3002x
2、=5 D．300x+2-300x=5
透析考綱
分式方程及其應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解分式方程及列分式方程解應(yīng)用題，并要求會用增根的意義解題，考題常以解答題的形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)在選擇題和填空題中．
精選好題
【考向01】分式方程的相關(guān)概念
【試題】【2019雞西】已知關(guān)于x的分式方程2x-mx-3=1的解是非正數(shù)，則m的取值范圍是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＞–3 D．m≥–3
解題關(guān)鍵
本考點主要考查分式方程的相關(guān)概念：分式方程的定義及特征、分式方程的解，均為基礎(chǔ)知識的考查，難度不大，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)
3、．
【好題變式練】
1．下列各式中是分式方程的是（ ?。?
A．1x B．x2+1＝y(tǒng) C．x2+1＝0 D．1x-1=2
2．【2019宿遷】關(guān)于x的分式方程1x-2+a-22-x=1的解為正數(shù)，則a的取值范圍是＿＿＿＿＿．
要點歸納
分式方程的特征：（1）方程中含有分母；（2）分母中含有未知數(shù)．
分式方程的解：使分式方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）．
【考向02】分式方程的解法
【試題】【2019益陽】解分式方程x2x-1+21-2x=3時，去分母化為一元一次方程，正確的是（ ?。?
A．x+2＝3 B．x–2＝3 C．x–2＝3（
4、2x–1） D．x+2＝3（2x–1）
解題技巧
代數(shù)式的書寫規(guī)范屬于基礎(chǔ)知識的考查，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的書寫規(guī)則并在日常書寫代數(shù)式時引起足夠重視，嚴格按規(guī)則書寫即可．
【好題變式練】
1．【2019淄博】解分式方程1-xx-2=12-x-2時，去分母變形正確的是（ ?。?
A．–1+x＝–1–2（x–2） B．1–x＝1–2（x–2）
C．–1+x＝1+2（2–x） D．1–x＝–1–2（x–2）
2．【2019寧夏】解方程：2x+2+1=xx-1．
要點歸納
解分式方程的步驟：
(1)去分母：在方程的兩邊同時乘以最簡公分母，把分式方法轉(zhuǎn)化為整式
5、方程；
(2)解這個整式方程；
(3)檢驗：把一元一次方程的根代入所乘的最簡公分母中，看結(jié)果是否為0；
(4)寫出原分式方程的解．
【考向03】分式方程的增根
【試題】【2019煙臺】若關(guān)于x的分式方程3xx-2-1=m+3x-2有增根，則m的值為＿＿＿＿＿．
解題技巧
分式方程的增根問題屬于分式方程中的重點、難點問題，在涉及到分式方程的相關(guān)問題時，一定要注意檢驗，同時要清楚分式方程增根產(chǎn)生的原因，從而解決與增根有關(guān)的問題．
【好題變式練】
1．若分式方程3x-ax2-2x+1x-2=2x有增根，則實數(shù)a的取值是（ ?。?
A．0或2 B．4 C．8
6、D．4或8
2．當(dāng)m＝＿＿＿＿＿時，解分式方程x-5x-3=m3-x會出現(xiàn)增根．
要點歸納
分式方程的增根：在去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中出現(xiàn)的不適合于原方程的根．
增根產(chǎn)生的原因：分式方程兩邊同乘以一個零因式后，所得的根是整式方程的根，而不是分式方程的根．
【考向04】分式方程的應(yīng)用
【試題】【2019湘潭】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展．據(jù)調(diào)查，湘潭某家小型快遞公司的分揀工小李和小江，在分揀同一類物件時，小李分揀120個物件所用的時間與小江分揀90個物件所用的時間相同，已知小李每小時比小江多分揀20個物件．若設(shè)小江每小時分揀x個物件，則可列方
7、程為（ ?。?
A．120x-20=90x B．120x+20=90x
C．120x=90x-20 D．120x=90x+20
解題技巧
分式方程的應(yīng)用的屬于高頻考點，常以解答題形式出現(xiàn)，且經(jīng)常和其它知識點（如不等式等）結(jié)合進行綜合考查，一般難度為中等．列分式方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是用分式表示一些基本的數(shù)量關(guān)系，列分式方程解應(yīng)用題一定要驗根，還要保證其結(jié)果符號實際意義．
【好題變式練】
1．【2019遼陽】某施工隊承接了60公里的修路任務(wù)，為了提前完成任務(wù)，實際每天的工作效率比原計劃提高了25%，結(jié)果提前60天完成了這項任務(wù)．設(shè)原計劃每天修路x公里，根據(jù)題意列出
8、的方程正確的是（ ）
A．60×(1+25%)x-60x=60 B．60x-60×(1+25%)x=60
C．60(1+25%)x-60x=60 D．60x-60(1+25%)x=60
2．【2019朝陽】佳佳文具店購進A，B兩種款式的筆袋，其中A種筆袋的單價比B種袋的單價低10%．已知店主購進A種筆袋用了810元，購進B種筆袋用了600元，且所購進的A種筆袋的數(shù)量比B種筆袋多20個．請問：文具店購進A，B兩種款式的筆袋各多少個？
要點歸納
列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟
（1）審：即審題：根據(jù)題意找出已知量和未知量，并找出等量關(guān)系．
（2）設(shè)：即設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)的方法有直接
9、設(shè)和間接設(shè)，注意單位要統(tǒng)一，選擇一個未知量用未知數(shù)表示，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)量．
（3）列：即列方程，根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程．
（4）解：即解所列的分式方程，求出未知數(shù)的值．
（5）驗：即驗根，要檢驗所求的未知數(shù)的值是否適合分式方程，還要檢驗此解是否符合實際意義．
（6）答：即寫出答案，注意答案完整．
過關(guān)斬將
1．下列關(guān)于x的方程中，是分式方程的是（ ?。?
A．3x=12 B．1x=2 C．x+25=3+x4 D．3x–2y＝1
2．【2019?遂寧】關(guān)于x的方程k2x-4-1=xx-2的解為正數(shù)，則k的取值范圍是（ ?。?
A．k＞–4 B．k＜4 C．
10、k＞–4且k≠4 D．k＜4且k≠–4
3．【2019?哈爾濱】方程23x-1=3x的解為（ ）
A．x=311 B．x=113 C．x=37 D．x=73
4．如果解關(guān)于x的分式方程mx-2-2x2-x=1時出現(xiàn)增根，那么m的值為（ ）
A．–2 B．2 C．4 D．–4
5．【2019?永州】方程2x-1=1x的解為x＝＿＿＿＿＿．
6．【2019?巴中】若關(guān)于x的分式方程xx-2+2m2-x=2m有增根，則m的值為＿＿＿＿＿．
7．【2019?盤錦】某班學(xué)生從學(xué)校出發(fā)前往科技館參觀，學(xué)校距離科技館15 km，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了15 min后，其余學(xué)生乘公交車出
11、發(fā)，結(jié)果同時到達科技館．已知公交車的速度是自行車速度的1.5倍，那么學(xué)生騎自行車的速度是＿＿＿＿＿km/h．
8．【2019?濟南】為提高學(xué)生的閱讀興趣，某學(xué)校建立了共享書架，并購買了一批書籍．其中購買A種圖書花費了3000元，購買B種圖書花費了1600元，A種圖書的單價是B種圖書的1.5倍，購買A種圖書的數(shù)量比B種圖書多20本．
（1）求A和B兩種圖書的單價；
（2）書店在“世界讀書日”進行打折促銷活動，所有圖書都按8折銷售．若學(xué)校當(dāng)天再購買A種圖書20本和B種圖書25本，共需花費多少元？
參考答
12、案
過關(guān)斬將
1．B【解析】A、C、D項中的方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，故選B．
2．C【解析】分式方程去分母得：k–（2x–4）＝2x，即k+4＝4x，解得：x=k+44，
根據(jù)題意得：k+44＞0，且k+44≠2，解得：k＞–4，且k≠4．故選C．
3．C【解析】方程兩邊同時乘以x(3x-1)得：2x＝9x–3，∴x=37；
經(jīng)檢驗x=37是方程的根，∴方程的解為x=37，故選C．
4．D【解析】去分母，方程兩邊同時乘以x–2，得：m+2x＝x–2，由分母可知，分式方程的增根是2，
當(dāng)x＝2時，m+4＝2–2，m＝–4，故選D．
5．–1【解析】去分母得：2x
13、＝x–1，解得：x＝–1，經(jīng)檢驗x＝–1是分式方程的解，故答案為：–1．
6．1【解析】方程兩邊都乘x–2，得x–2m＝2m（x–2）∵原方程有增根，∴最簡公分母x–2＝0，
解得x＝2，當(dāng)x＝2時，2–2m＝0，即m＝1，故m的值是1，故答案為1．
7．20【解析】設(shè)學(xué)生騎自行車的速度是x km/h，則公交車的速度是1.5 x km/h，
由題意得：15x-151.5x=1560，
解得：x＝20，經(jīng)檢驗x＝20是原方程的解，
答：騎車學(xué)生每小時行20千米．
8．（1）A種圖書的單價為30元，B種圖書的單價為20元．（2）共花費880元．
【解析】（1）設(shè)B種圖書的單價為x元，則A種圖書的單價為1.5x元，
依題意，得：30001.5x-1600x=20，解得：x＝20，
經(jīng)檢驗，x＝20是所列分式方程的解，且符合題意，∴1.5x＝30．
答：A種圖書的單價為30元，B種圖書的單價為20元．
（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．
答：共需花費880元．
2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 分式方程及其應(yīng)用考點講義及練習(xí)（含解析）
