蘇科版八級上勾股定理的簡單應用同步練習含答案.doc

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3.3 勾股定理的簡單應用 　 一．選擇題（共10小題） 1．一旗桿在其的B處折斷，量得AC=5米，則旗桿原來的高度為（　?。? A．米 B．2米 C．10米 D．米 第1題 第2題 第3題 2．如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30方向上的B處，則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為（　　） A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里 3．如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2m，梯子的頂端B到地面的距離為7m，現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到A′，使梯子的底端A′到墻根O的距離等于3m，同時梯子的頂端B下降至B′，那么BB′（　?。? A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 4．如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（　?。? A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里 第4題 第5題 5．如圖，學校有一塊長方形花壇，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花壇內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了（　?。┎?，卻踩傷了花草（假設2步為1米） A．2 B．4 C．5 D．6 6．如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要（　　）米． A．5 B．7 C．8 D．12 7．如圖是一個長為4，寬為3，高為12矩形牛奶盒，從上底一角的小圓孔插入一根到達底部的直吸管，吸管在盒內(nèi)部分a的長度范圍是（牛奶盒的厚度、小圓孔的大小及吸管的粗細均忽略不計）（　?。? A．5≤a≤12 B．12≤a≤3 C．12≤a≤4 D．12≤a≤13 8．小紅在荷塘邊觀看荷花，突然想測試池塘的水深，她把一株豎直的荷花（如圖）拉到岸邊，花柄正好與水面成60夾角，測得AB長1m，則荷花處水深OA為（　?。? A．1m B．2m C．3m D． m 9．如圖①所示，有一個由傳感器A控制的燈，要裝在門上方離地高4.5m的墻上，任何東西只要移至該燈5m及5m以內(nèi)時，燈就會自動發(fā)光．請問一個身高1.5m的學生要走到離墻多遠的地方燈剛好發(fā)光？（　　） A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 10．如圖，在△ABC中，已知∠C=90，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC內(nèi)部的矩形，它們的一個頂點在AB上，一組對邊分別在AC上或與AC平行，另一組對邊分別在BC上或與BC平行．若各矩形在AC上的邊長相等，矩形a的一邊長是72cm，則這樣的矩形a、b、c…的個數(shù)是（　?。? A．6 B．7 C．8 D．9 　 二．填空題（共10小題） 11．如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45，∠MBC=30，則警示牌的高CD為______米（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73）． 12．如圖，釣魚竿AC長6m，露在水面上的魚線BC長m，某釣者想看看魚釣上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動到AC′的位置，此時露在水面上的魚線B′C′為m，則魚竿轉(zhuǎn)過的角度是______． 13．《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架，其中卷第九勾股中記載（譯文）：“今有一座長方形小城，東西向城墻長7里，南北向城墻9里，各城墻正中均開一城門，走出東門15里處有棵大樹，問走出南門多少步恰好能望見這顆樹？”（注：1里=300步）你的計算結(jié)果是：出南門______步而見木． 14．如圖，要使寬為2米的矩形平板車ABCD通過寬為2米的等寬的直角通道，平板車的長不能超過______米． 15．如圖，有一個長為50cm，寬為30cm，高為40cm的長方體木箱，一根長70cm的木棍______放入（填“能”或“不能”）． 16．如圖所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.5米，則梯子頂端A下落了______米． 17．在一個廣場上有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高2米，兩樹相距5米．一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了______米． 18．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距______． 19．如圖，長為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了______cm． 20．你聽說過亡羊補牢的故事嗎如圖，為了防止羊的再次丟次，小明爸爸要在高0.9m，寬1.2m的柵欄門的相對角頂點間加一個加固木板，這條木板需______m長． 　 三．解答題（共9小題） 21．2016年2月1日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，用長征三號丙運載火箭成功將第5顆新一代北斗星送入預定軌道，如圖，火箭從地面L處發(fā)射，當火箭達到A點時，從位于地面R處雷達站測得AR的距離是6km，仰角為42.4；1秒后火箭到達B點，此時測得仰角為45.5 （1）求發(fā)射臺與雷達站之間的距離LR； （2）求這枚火箭從A到B的平均速度是多少（結(jié)果精確到0.01）？ （參考數(shù)據(jù)：sin42.4≈0.67，cos42.4≈0.74，tan42.4≈0.905，sin45.5≈0.71，cos45.5≈0.70，tan45.5≈1.02 ） 22．（2016?陜西校級模擬）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO=60，∠BPO=45，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？（參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73） 23．如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30夾角，長為20km，BC段與AB、CD段都垂直．長為10km，CD段長為30km，求兩高速公路間的距離．（結(jié)果保留根號） 24．（2016春?虞城縣校級期末）如圖，為修鐵路需鑿通隧道AC，現(xiàn)測量出∠ACB=90，AB=5km，BC=4km，若每天鑿隧道0.2km，問幾天才能把隧道AC鑿通？ 25．（2016春?阿榮旗期末）某單位有一塊四邊形的空地，∠B=90，量得各邊的長度如圖（單位：米）．現(xiàn)計劃在空地內(nèi)種草，若每平方米草地造價30元，這塊地全部種草的費用是多少元？ 26．（2016春?平武縣期末）如圖，甲、乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以每小時30海里的速度向北偏東35方向航行，乙船以每小時40海里的速度向另一方向航行，1小時后，甲船到達C島，乙船達到B島，若C、B兩島相距50海里，請你求出乙船的航行方向． 27．卷煙廠生產(chǎn)的香煙盒里，裝滿大小均勻的20支香煙，打開煙盒的頂蓋后，二十支香煙排列成三行，經(jīng)測量，一支香煙的直徑約為0.75cm，長約為8.4cm． （1）試計算煙盒頂蓋ABCD的面積（本小題計算結(jié)果不取近似值）． （2）制作這樣一個煙盒至少需要多少面積的紙張（不計重疊粘合的部分，計算結(jié)果精確到0.1cm，取1.73）． 28．閱讀：如圖1，在直角△ABC中，∠C=90，AC，BC為直角邊，AB為斜邊，設BC=a，AC=b，AB=c，則a2+b2=c2 例如，AC=8，BC=6，則可得AB==10 根據(jù)閱讀材料，完成題目： 如圖2有一塊直角三角形的綠地，量得兩條直角邊長分別為6cm，8cm．現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長． 29．一、閱讀理解： 在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c； （1）若∠C為直角，則a2+b2=c2； （2）若∠C為銳角，則a2+b2與c2的關系為：a2+b2＞c2 證明：如圖過A作AD⊥BC于D，則BD=BC﹣CD=a﹣CD 在△ABD中：AD2=AB2﹣BD2 在△ACD中：AD2=AC2﹣CD2 AB2﹣BD2=AC2﹣CD2 c2﹣（a﹣CD）2=b2﹣CD2 ∴a2+b2﹣c2=2a?CD ∵a＞0，CD＞0 ∴a2+b2﹣c2＞0，所以：a2+b2＞c2 （3）若∠C為鈍角，試推導a2+b2與c2的關系． 二、探究問題：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是鈍角三角形，求第三邊c的取值范圍． 　 參考答案與解析 一．選擇題（共10小題） 1．一旗桿在其的B處折斷，量得AC=5米，則旗桿原來的高度為（　?。? A．米 B．2米 C．10米 D．米 【分析】可設AB=x，則BC=2x，進而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可． 【解答】解：由題意可得，AC2=BC2﹣AB2，即（2x）2﹣x2=52，解得x=， 所以旗桿原來的高度為3x=5，故選D． 【點評】能夠利用勾股定理求解一些簡單的直角三角形． 　 2．如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30方向上的B處，則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為（　?。? A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里 【分析】根據(jù)題意得出：∠B=30，AP=30海里，∠APB=90，再利用勾股定理得出BP的長，求出答案． 【解答】解：由題意可得：∠B=30，AP=30海里，∠APB=90， 故AB=2AP=60（海里）， 則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為：BP==30（海里） 故選：D． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用以及方向角，正確應用勾股定理是解題關鍵． 　 3．如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2m，梯子的頂端B到地面的距離為7m，現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到A′，使梯子的底端A′到墻根O的距離等于3m，同時梯子的頂端B下降至B′，那么BB′（　?。? A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 【分析】由題意可知OA=2，OB=7，先利用勾股定理求出AB，梯子移動過程中長短不變，所以AB=A′B′，又由題意可知OA′=3，利用勾股定理分別求OB′長，把其相減得解． 【解答】解：在直角三角形AOB中，因為OA=2，OB=7 由勾股定理得：AB=， 由題意可知AB=A′B′=， 又OA′=3，根據(jù)勾股定理得：OB′=， ∴BB′=7﹣＜1． 故選A． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握勾股定理的表達式． 　 4．如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（　?。? A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里 【分析】首先根據(jù)路程=速度時間可得AC、AB的長，然后連接BC，再利用勾股定理計算出BC長即可． 【解答】解：連接BC， 由題意得：AC=162=32（海里），AB=122=24（海里）， CB==40（海里）， 故選：C． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結(jié)合的思想的應用． 　 5．如圖，學校有一塊長方形花壇，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花壇內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了（　?。┎?，卻踩傷了花草（假設2步為1米） A．2 B．4 C．5 D．6 【分析】根據(jù)勾股定理，可得答案． 【解答】解：由勾股定理，得 路==5， 少走（3+4﹣5）2=4步， 故選：B． 【點評】本題考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的長是解題關鍵． 　 6．如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要（　　）米． A．5 B．7 C．8 D．12 【分析】當?shù)靥轰仢M樓梯時其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可． 【解答】解：由勾股定理得： 樓梯的水平寬度==4， ∵地毯鋪滿樓梯是其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和， 地毯的長度至少是3+4=7米． 故選B． 【點評】此題考查了勾股定理的應用及平移的知識，屬于基礎題，利用勾股定理求出水平邊的長度是解答本題的關鍵． 　 7．如圖是一個長為4，寬為3，高為12矩形牛奶盒，從上底一角的小圓孔插入一根到達底部的直吸管，吸管在盒內(nèi)部分a的長度范圍是（牛奶盒的厚度、小圓孔的大小及吸管的粗細均忽略不計）（　?。? A．5≤a≤12 B．12≤a≤3 C．12≤a≤4 D．12≤a≤13 【分析】最短距離就是牛奶盒的高度，當吸管、牛奶盒的高及底面對角線的長正好構(gòu)成直角三角形時，插入盒子內(nèi)的吸管長度最大，用勾股定理即可解答． 【解答】解：最短距離就是牛奶盒的高度，即最短為12， 由題意知：牛奶盒底面對角長為=5， 當吸管、牛奶盒的高及底面對角線的長正好構(gòu)成直角三角形時，插入盒子內(nèi)的吸管長度最長， 則吸管長度為=13， 即吸管在盒內(nèi)部分a的長度范圍是12≤a≤13， 故選D． 【點評】本題考查了勾股定理的應用以及學生的空間想象力，難度適中，解答本題的關鍵是熟練掌握勾股定理的知識． 　 8．小紅在荷塘邊觀看荷花，突然想測試池塘的水深，她把一株豎直的荷花（如圖）拉到岸邊，花柄正好與水面成60夾角，測得AB長1m，則荷花處水深OA為（　?。? A．1m B．2m C．3m D． m 【分析】由圖可看出，三角形OAB為一直角三角形，已知一直角邊和一角，則可求另兩邊． 【解答】解：在Rt△ABO中，∠OAB=90，∠ABO=60，AB=1m， 則OA=m． 故選D． 【點評】本題是勾股定理的應用，主要考查了在直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半，比較簡單． 　 9．如圖①所示，有一個由傳感器A控制的燈，要裝在門上方離地高4.5m的墻上，任何東西只要移至該燈5m及5m以內(nèi)時，燈就會自動發(fā)光．請問一個身高1.5m的學生要走到離墻多遠的地方燈剛好發(fā)光？（　?。? A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 【分析】根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理解答． 【解答】解：由題意可知．BE=CD=1.5m，AE=AB﹣BE=4.5﹣1.5=3m，AC=5m 由勾股定理得CE==4m 故離門4米遠的地方，燈剛好打開， 故選A． 【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵． 　 10．如圖，在△ABC中，已知∠C=90，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC內(nèi)部的矩形，它們的一個頂點在AB上，一組對邊分別在AC上或與AC平行，另一組對邊分別在BC上或與BC平行．若各矩形在AC上的邊長相等，矩形a的一邊長是72cm，則這樣的矩形a、b、c…的個數(shù)是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根據(jù)勾股定理可以求出每階臺階的寬，依據(jù)BC的長，即可解答． 【解答】解：如圖，易證△BDE≌△EFG≌△GKH≌△HLM， 可得BD=EF=GK=HL=BC﹣DC=﹣72=8cm． 根據(jù)此規(guī)律，共有808﹣1=9個這樣的矩形． 故選D． 【點評】本題將勾股定理和規(guī)律的探索與實際問題相結(jié)合，有一定的難度，善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵． 　 二．填空題（共10小題） 11．如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45，∠MBC=30，則警示牌的高CD為　2.9　米（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73）． 【分析】首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DM=AM=4m，再根據(jù)勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）2，代入數(shù)可得答案． 【解答】解：由題意可得：∵AM=4米，∠MAD=45， ∴DM=4m， ∵AM=4米，AB=8米， ∴MB=12米， ∵∠MBC=30， ∴BC=2MC， ∴MC2+MB2=（2MC）2， MC2+122=（2MC）2， ∴MC=4， 則DC=4﹣4≈2.9（米）， 故答案為：2.9． 【點評】此題主要考查了勾股定理得應用，關鍵是掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． 　 12．如圖，釣魚竿AC長6m，露在水面上的魚線BC長m，某釣者想看看魚釣上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動到AC′的位置，此時露在水面上的魚線B′C′為m，則魚竿轉(zhuǎn)過的角度是　15　． 【分析】因為三角形ABC和三角形AB′C′均為直角三角形，且BC、B′C′都是我們所要求角的對邊，所以根據(jù)正弦來解題，分別求出∠CAB，∠C′AB′，然后可以求出∠C′AC，即求出了魚竿轉(zhuǎn)過的角度． 【解答】解：∵sin∠CAB===， ∴∠CAB=45． ∵sin∠C′AB′===， ∴∠C′AB′=60． ∴∠C′AC=60﹣45=15，即魚竿轉(zhuǎn)過的角度是15 故答案為：15． 【點評】本題考查的是勾股定理的應用，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關鍵． 　 13．《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架，其中卷第九勾股中記載（譯文）：“今有一座長方形小城，東西向城墻長7里，南北向城墻9里，各城墻正中均開一城門，走出東門15里處有棵大樹，問走出南門多少步恰好能望見這顆樹？”（注：1里=300步）你的計算結(jié)果是：出南門　315　步而見木． 【分析】根據(jù)題意寫出AB、AC、CD的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計算即可． 【解答】解：由題意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里， ∵DE⊥CD，AC⊥CD， ∴AC∥DE， ∴△ACB∽△DEC， ∴=，即=， 解得，DE=1.05里=315步， ∴走出南門315步恰好能望見這棵樹， 故答案為：315． 【點評】本題考查的是勾股定理的應用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵． 　 14．如圖，要使寬為2米的矩形平板車ABCD通過寬為2米的等寬的直角通道，平板車的長不能超過　4　米． 【分析】如圖，先設平板手推車的長度不能超過x米，則得出x為最大值時，平板手推車所形成的三角形CBP為等腰直角三角形．連接PO，與BC交于點G，利用△CBP為等腰直角三角形即可求得平板手推車的長度不能超過多少米． 【解答】解：設平板手推車的長度不能超過x米 則x為最大值，且此時平板手推車所形成的三角形CBP為等腰直角三角形． 連接PO，與BC交于點N． ∵直角走廊的寬為2m， ∴PO=4m， ∴GP=PO﹣OG=4﹣2=2（m）． 又∵△CBP為等腰直角三角形， ∴AD=BC=2CG=2GP=4（m）． 故答案為：4 【點評】本題主要考查了勾股定理的應用以及等腰三角形知識，解答的關鍵是由題意得出要想順利通過直角走廊，此時平板手推車所形成的三角形為等腰直角三角形． 　 15．如圖，有一個長為50cm，寬為30cm，高為40cm的長方體木箱，一根長70cm的木棍　能　放入（填“能”或“不能”）． 【分析】在長方體的盒子中，一角的頂點與斜對的不共面的頂點的距離最大，根據(jù)木箱的長，寬，高可求出最大距離，然后和木棒的長度進行比較． 【解答】解：可設放入長方體盒子中的最大長度是xcm， 根據(jù)題意，得x2=502+402+302=5000， 702=4900， 因為4900＜5000，所以能放進去． 故答案是：能． 【點評】本題考查了勾股定理的應用．解題的關鍵是求出木箱內(nèi)木棒的最大長度． 　 16．如圖所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.5米，則梯子頂端A下落了　0.5　米． 【分析】由題意知，AB=DE=2.5米，CB=1.5米，BD=0.5米，則在直角△ABC中，根據(jù)AB，BC可以求AC，在直角△CDE中，根據(jù)CD，DE可以求CE，則AE=AC﹣CE即為題目要求的距離． 【解答】解：在直角△ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米， ∴AC==2米， 在直角△CDE中，已知CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米， ∴CE==1.5米， ∴AE=2米﹣1.5米=0.5米． 故答案為：0.5． 【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，本題中在直角△ABC中和直角△CDE中分別運用勾股定理是解題的關鍵． 　 17．在一個廣場上有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高2米，兩樹相距5米．一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了　　米． 【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹尖進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出． 【解答】解：兩棵樹的高度差為6﹣2=4m，間距為5m， 根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離==m． 故答案為：． 【點評】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是將現(xiàn)實問題建立數(shù)學模型，運用數(shù)學知識進行求解． 　 18．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距　40海里?。? 【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程=速度時間，得兩條船分別走了32，24．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離． 【解答】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向， ∴∠BAC=90， 兩小時后，兩艘船分別行駛了162=32，122=24海里， 根據(jù)勾股定理得： =40（海里）． 故答案為：40海里． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練運用勾股定理進行計算，基礎知識，比較簡單． 　 19．如圖，長為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了　2　cm． 【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長的距離． 【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm； 根據(jù)勾股定理，得：AD==5cm； ∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm； 故橡皮筋被拉長了2cm． 【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應用． 　 20．你聽說過亡羊補牢的故事嗎如圖，為了防止羊的再次丟次，小明爸爸要在高0.9m，寬1.2m的柵欄門的相對角頂點間加一個加固木板，這條木板需　1.5　m長． 【分析】用勾股定理，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方進行解答． 【解答】解：由圖可知這條木板的長為==1.5m． 【點評】本題較簡單，只要熟知勾股定理即可． 　 三．解答題（共9小題） 21．2016年2月1日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，用長征三號丙運載火箭成功將第5顆新一代北斗星送入預定軌道，如圖，火箭從地面L處發(fā)射，當火箭達到A點時，從位于地面R處雷達站測得AR的距離是6km，仰角為42.4；1秒后火箭到達B點，此時測得仰角為45.5 （1）求發(fā)射臺與雷達站之間的距離LR； （2）求這枚火箭從A到B的平均速度是多少（結(jié)果精確到0.01）？ （參考數(shù)據(jù)：sin42.4≈0.67，cos42.4≈0.74，tan42.4≈0.905，sin45.5≈0.71，cos45.5≈0.70，tan45.5≈1.02 ） 【分析】（1）根據(jù)題意直接利用銳角三角函數(shù)關系得出LR=AR?cos∠ARL求出答案即可； （2）根據(jù)題意直接利用銳角三角函數(shù)關系得出BL=LR?tan∠BRL，再利用AL=ARsin∠ARL，求出AB的值，進而得出答案． 【解答】解：（1）在Rt△ALR中，AR=6km，∠ARL=42.4， 由cos∠ARL=，得LR=AR?cos∠ARL=6cos42.4≈4.44（km）． 答：發(fā)射臺與雷達站之間的距離LR為4.44km； （2）在Rt△BLR中，LR=4.44km，∠BRL=45.5， 由tan∠BRL=，得BL=LR?tan∠BRL=4.44tan45.5≈4.441.02=4.5288（km）， 又∵sin∠ARL=，得AL=ARsin∠ARL=6sin42.4≈4.02（km）， ∴AB=BL﹣AL=4.5288﹣4.02=0.5088≈0.51（km）． 答：這枚火箭從A到B的平均速度大約是0.51km/s． 【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確選擇銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵． 22．超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO=60，∠BPO=45，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？（參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73） 【分析】首先利用兩個直角三角形求得AB的長，然后除以時間即可得到速度． 【解答】解：由題意知：PO=100米，∠APO=60，∠BPO=45， 在直角三角形BPO中， ∵∠BPO=45， ∴BO=PO=100m 在直角三角形APO中， ∵∠APO=60， ∴AO=PO?tan60=100 ∴AB=AO﹣BO=（100﹣100）≈73米， ∵從A處行駛到B處所用的時間為3秒， ∴速度為733≈24.3米/秒=87.6千米/時＞80千米/時， ∴此車超過每小時80千米的限制速度． 【點評】本題考查了解直角三角形的應用，從復雜的實際問題中整理出直角三角形并求解是解決此類題目的關鍵． 23．如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30夾角，長為20km，BC段與AB、CD段都垂直．長為10km，CD段長為30km，求兩高速公路間的距離．（結(jié)果保留根號） 【分析】過B點作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)求得BE，在Rt△BCF中，根據(jù)三角函數(shù)求得BF，在Rt△DFG中，根據(jù)三角函數(shù)求得FG，再根據(jù)EG=BE+BF+FG即可求解． 【解答】解：過B點作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G． 在Rt△ABE中，BE=AB?sin30=20=10km， 在Rt△BCF中，BF=BCcos30=10=km， CF=BF?sin30==km， DF=CD﹣CF=（30﹣）km， 在Rt△DFG中，F(xiàn)G=DF?sin30=（30﹣）=（15﹣）km， ∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km． 故兩高速公路間的距離為（25+5）km． 【點評】此題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關鍵把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題加以計算． 24．如圖，為修鐵路需鑿通隧道AC，現(xiàn)測量出∠ACB=90，AB=5km，BC=4km，若每天鑿隧道0.2km，問幾天才能把隧道AC鑿通？ 【分析】根據(jù)勾股定理可得AC=，代入數(shù)進行計算即可． 【解答】解：∵∠ACB=90，AB=5km，BC=4km， ∴AC===3（km）， 30.2=15（天）． 答：15天才能把隧道AC鑿通． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結(jié)合的思想的應用． 25．某單位有一塊四邊形的空地，∠B=90，量得各邊的長度如圖（單位：米）．現(xiàn)計劃在空地內(nèi)種草，若每平方米草地造價30元，這塊地全部種草的費用是多少元？ 【分析】連接AC，先證明△ACD是直角三角形，根據(jù)S四邊形ABCD=S△BAC+S△DAC求出四邊形ABCD的面積即可解決問題． 【解答】解：連接AC， ∵∠B=90， ∴在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC=32+42=52， 在△ACD中，CD2=132，AD2=122， ∵52+122=132， ∴AC2+AD2=CD2， ∴∠DAC=90， ∴S四邊形ABCD=S△BAC+S△DAC=AB?BC+AC?AD=36cm2， ∵3630=1080（元）， ∴這塊地全部種草的費用是1080元 【點評】本題考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的應用，解題的關鍵是證明△ADC是直角三角形，屬于中考?？碱}型． 26．如圖，甲、乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以每小時30海里的速度向北偏東35方向航行，乙船以每小時40海里的速度向另一方向航行，1小時后，甲船到達C島，乙船達到B島，若C、B兩島相距50海里，請你求出乙船的航行方向． 【分析】根據(jù)題意得出AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里；由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形，∠BAC=90，即可求出乙船的航行方向． 【解答】解：根據(jù)題意得；AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里； ∵302+402=502， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90， ∴180﹣90﹣35=55， ∴乙船的航行方向為南偏東55． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理、方向角；證明△ABC是直角三角形是解決問題的關鍵． 　 27．紅安卷煙廠生產(chǎn)的“龍鄉(xiāng)”牌香煙盒里，裝滿大小均勻的20支香煙，打開煙盒的頂蓋后，二十支香煙排列成三行，經(jīng)測量，一支香煙的直徑約為0.75cm，長約為8.4cm． （1）試計算煙盒頂蓋ABCD的面積（本小題計算結(jié)果不取近似值）． （2）制作這樣一個煙盒至少需要多少面積的紙張（不計重疊粘合的部分，計算結(jié)果精確到0.1cm，取1.73）． 【分析】（1）求煙盒頂蓋ABCD的面積，即求AB與AD的積；如圖，可以作O1E⊥O2O3，求出O1E的長，而由圖發(fā)現(xiàn)AB=2O1E+一支香煙的直徑，AD=7一支香煙的直徑，從而解決問題； （2）煙盒至少需要多少面積的紙張，通過長方體的表面積公式可得． 【解答】解：（1）如圖，作O1E⊥O2O3； ∵O1O2=O2O3=O3O1=0.75=，∠O1O2O3=60， ∴O1E=O1O2?sin60==， ∴AB=2+=（cm）， AD=7（cm）， ∴四邊形ABCD的面積是：=（cm）2， （2）制作一個煙盒至少需要紙張：2（+8.4+8.4）=144.096≈144.1（cm）2， 答：制作一個煙盒至少需要的紙張是144.1（cm）2． 【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)關系的應用以及多個圓的位置關系中的面積問題，關鍵是將圖形細化為三個圓，求出AB的長． 　 28．閱讀：如圖1，在直角△ABC中，∠C=90，AC，BC為直角邊，AB為斜邊，設BC=a，AC=b，AB=c，則a2+b2=c2 例如，AC=8，BC=6，則可得AB==10 根據(jù)閱讀材料，完成題目： 如圖2有一塊直角三角形的綠地，量得兩條直角邊長分別為6cm，8cm．現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長． 【分析】根據(jù)題目要求擴充成AC為直角邊的等腰直角三角形，即AC=BC，∠C=90，然后由勾股定理求得AB的長，最后求出擴充后的等腰直角三角形的周長即可． 【解答】解：①如圖1，延長BC到D，使AB=AD，連接AD，則AB=AD=10時，可求CD=CB=6得△ABD的周長為32m； ②如圖2，當AB=BD=10時，可求CD=4， 由勾股定理得：AD=4得△ABD的周長為（20+4）m． ③如圖3，當AB為底時，設AD=BD=x，則CD=x﹣6，由勾股定理得：x=， 得△ABD的周長為m． 【點評】本題主要考查對勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能通過分類求出等腰三角形的所有情況是解此題的關鍵． 　 29．一、閱讀理解： 在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c； （1）若∠C為直角，則a2+b2=c2； （2）若∠C為銳角，則a2+b2與c2的關系為：a2+b2＞c2 證明：如圖過A作AD⊥BC于D，則BD=BC﹣CD=a﹣CD 在△ABD中：AD2=AB2﹣BD2 在△ACD中：AD2=AC2﹣CD2 AB2﹣BD2=AC2﹣CD2 c2﹣（a﹣CD）2=b2﹣CD2 ∴a2+b2﹣c2=2a?CD ∵a＞0，CD＞0 ∴a2+b2﹣c2＞0，所以：a2+b2＞c2 （3）若∠C為鈍角，試推導a2+b2與c2的關系． 二、探究問題：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是鈍角三角形，求第三邊c的取值范圍． 【分析】根據(jù)題意作圖，用證明（2）的方法證明即可推導出a2+b2與c2的關系． 【解答】解：（3）如圖過A作AD⊥BC于D，則BD=BC+CD=a+CD 在△ABD中：AD2=AB2﹣BD2 在△ACD中：AD2=AC2﹣CD2 AB2﹣BD2=AC2﹣CD2 c2﹣（a+CD）2=b2﹣CD2 ∴a2+b2﹣c2=﹣2a?CD ∵a＞0，CD＞0 ∴a2+b2﹣c2＜0 所以：a2+b2＜c2 二、當∠C為鈍角時，根據(jù)公式：＜c＜a+b可得，5＜c＜7； 當∠B為鈍角時，根據(jù)公式：b﹣a＜c＜可得，1＜c＜． 【點評】此題主要考查學生對勾股定理在實際中的運用能力．