（課標通用）甘肅省2019年中考數學總復習優(yōu)化設計 考點強化練16 等腰三角形

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1、考點強化練16　等腰三角形 基礎達標 一、選擇題 1.(2018四川達州)若實數m,n滿足|m-2|+n-4=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長,則△ABC的周長是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　 A.12 B.10 C.8 D.6 答案B 解析由題意得m-2=0,n-4=0,∴m=2,n=4, 又∵m,n恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長, ①若腰為2,底為4,此時不能構成三角形,舍去, ②若腰為4,底為2,則周長為4+4+2=10.故選B. 2.(2018山東淄博)如圖,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于

2、點N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為(　　) A.4 B.6 C.43 D.8 答案B 解析∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC, ∴∠ACB=2∠B,NM=NC, ∴∠B=30°, ∵AN=1, ∴MN=2, ∴AC=AN+NC=3, ∴BC=6. 3.(2018江蘇揚州)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,CE平分∠ACD交AB于點E,則下列結論一定成立的是(　　) A.BC=EC B.EC=BE C.

3、BC=BE D.AE=EC 答案C 解析∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°, ∴∠BCD=∠A. ∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE. 又∵∠BEC=∠A+∠ACE, ∠BCE=∠BCD+∠DCE, ∴∠BEC=∠BCE, ∴BC=BE. 4.(2018湖南常德)如圖,已知BD是△ABC的角平分線,ED是BC的垂直平分線,∠BAC=90°,AD=3,則CE的長為(　　) A.6 B.5 C.4 D.33 答案D 解析∵ED是BC的垂直平分線, ∴DB=DC, ∴∠C=∠DBC, ∵BD是△A

4、BC的角平分線, ∴∠ABD=∠DBC, ∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°, ∴BD=2AD=6, ∴CE=CD×cosC=33, 故選D. 5.等腰三角形補充下列條件后,仍不一定成為等邊三角形的是(　　) A.有一個內角是60° B.有一個外角是120° C.有兩個角相等 D.腰與底邊相等 答案C 二、填空題 6.(2018江蘇徐州)邊長為a的正三角形的面積等于　　　　　.? 答案34a2 解析過點A作AD⊥BC于點D, ∵AD⊥BC, ∴BD=CD=12a, ∴AD=AC2-CD2=32a, 面積則是:12a·32a=34a2. 7.(2018

5、湖南婁底)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D,DE⊥AB于點E,BF⊥AC于點F,DE=3cm,則BF=　　　cm.? 答案6 解析在Rt△ADB與Rt△ADC中, AB=AC,AD=AD, ∴Rt△ADB≌Rt△ADC, ∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB·DE =AB·DE=3AB, ∵S△ABC=12AC·BF, ∴12AC·BF=3AB, ∵AC=AB, ∴12BF=3, ∴BF=6. 二、解答題 8.(2018江蘇徐州)已知如圖,四邊形ABCD中,AB=BC,AD=CD,求證:∠A=∠C. 證明連接AC, ∵AB=BC,A

6、D=CD, ∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA, ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA, 即∠A=∠C. 9. 如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BE⊥AC于點E. 求證:∠CBE=∠BAD. 證明證法1:∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∵AD是BC邊上的中線,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∴∠CAD+∠C=90°,∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠CAD,∴∠CBE=∠BAD. 證法2:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,又∵AD是BC邊上的中線,∴AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°,∵BE⊥AC,∴∠CBE+

7、∠C=90°, ∴∠CBE=∠BAD. ?導學號13814052? 10. 如圖所示,等邊三角形ABC和等邊三角形DCE在直線BCE的同一側,AE交CD于點P,BD交AC于點Q,求證△PQC為等邊三角形. 證明在等邊三角形ABC和等邊三角形DCE中, BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°, 所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE, 在△BCD和△ACE中,BC=AC,∠BCD=∠ACE,CD=CE, 所以△BCD≌△ACE(SAS),所以∠1=∠2, 因為∠ACB=∠DCE=60°, 所以∠ACD=180°-∠ACB-∠DC

8、E=60°, 所以∠BCQ=∠ACP,在△BCQ和△ACP中, ∠1=∠2,BC=AC,∠BCQ=∠ACP, 所以△BCQ≌△ACP,所以CQ=CP, 又因為∠QCP=60°,所以△PQC為等邊三角形. 能力提升 一、選擇題 1.(2018浙江湖州)如圖,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線.若AB=AC,∠CAD=20°,則∠ACE的度數是(　　) A.20° B.35° C.40° D.70° 答案B 解析∵AD是△ABC的中線, AB=AC,∠CAD=20°, ∴∠CAB=2∠CAD=40°, ∠B=∠ACB=12(180°-∠CAB)=70°. ∵

9、CE是△ABC的角平分線, ∴∠ACE=12∠ACB=35°. 故選B. 二、填空題 2.(2018江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分別以點A,B為圓心,大于12AB的長為半徑畫弧,兩弧交點分別為點P,Q,過P,Q兩點作直線交BC于點D,則CD的長是　　　.? 答案85 解析連接AD. ∵PQ垂直平分線段AB, ∴DA=DB, 設DA=DB=x, 在Rt△ACD中,∠C=90°,AD2=AC2+CD2, ∴x2=32+(5-x)2, 解得x=175, ∴CD=BC-DB=5-175=85, 故答案為85. 3.(2018

10、黑龍江)如圖,已知等邊三角形ABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形,得到第一個等邊三角形AB1C1;再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形,得到第二個等邊三角形AB2C2;再以等邊三角形AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形,得到第三個等邊三角形AB3C3;……,記三角形B1CB2的面積為S1,三角形B2C1B3的面積為S2,三角形B3C2B4的面積為S3,如此下去,則Sn=　　　　　.? 答案334n 解析∵等邊三角形ABC的邊長為2,AB1⊥BC, ∴BB1=1,AB=2, 根據勾股定理得AB1=3, ∴第一個等邊三角形A

11、B1C1的面積為34×(3)2=3341; ∵等邊三角形AB1C1的邊長為3,AB2⊥B1C1, ∴B1B2=32,AB1=3, 根據勾股定理得AB2=32, ∴第二個等邊三角形AB2C2的面積為34×322=3342; 依此類推,第n個等邊三角形ABnCn的面積為334n. 4. (2018四川南充)如圖,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延長線于點F.若AD=1,BD=2,BC=4,則EF=　　　　.? 答案23 解析∵DE∥BC, ∴∠F=∠FBC, ∵BF平分∠ABC, ∴∠DBF=∠FBC, ∴∠F=∠DBF, ∴DB=DF, ∵D

12、E∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ADAD+DB=DEBC,即11+2=DE4, 解得DE=43, ∵DF=DB=2, ∴EF=DF-DE=2-43=23. 三、解答題 5. 如圖,等邊三角形ABC中,點D,E,F分別同時從點A,B,C出發(fā),以相同的速度在AB,BC,CA上運動,連接DE,EF,DF. (1)證明:△DEF是等邊三角形; (2)在運動過程中,當△CEF是直角三角形時,試求S△DEFS△ABC的值. (1)證明∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=CA, ∵AD=BE=CF,∴BD=EC=AF, 在△ADF,△BED和△CFE中 AD=BE=CF,∠A=∠B=∠C,BD=CE=AF, ∴△ADF≌△BED≌△CFE, ∴DE=EF=FD,∴△DEF是等邊三角形. (2)解∵△ABC和△DEF是等邊三角形, ∴△DEF∽△ABC, ∵EF⊥AC,∴∠BDE=∠CEF=30°, ∴BE=12BD,即BE=13BC,CE=23BC, ∵EF=EC·sin60°=23BC·32=33BC, ∴S△DEFS△ABC=EFBC2=332=13.?導學號13814053? 9