蘇科版八級(jí)上《第章軸對(duì)稱圖形》單元測(cè)試(二)含答案解析

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1、《第2章 軸對(duì)稱圖形》 　 一、選擇題 1． 2008年北京車展上，我國(guó)自主品牌的轎車不論在設(shè)計(jì)上還是在性能上，都引起了外國(guó)許多專家的贊嘆，下面是我國(guó)自主品牌的轎車的車標(biāo)，其中是軸對(duì)稱圖形的有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 2．如圖，該圖案對(duì)稱軸的條數(shù)是（　?。? A．4條 B．3條 C．2條 D．1條 3．已知MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點(diǎn)，則∠CAD和∠CBD之間的大小關(guān)系是（　?。? A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D．無(wú)法判斷 4．如果一個(gè)三角形是軸對(duì)稱圖形，且有一個(gè)內(nèi)角是60°，那么這

2、個(gè)三角形是（　?。? A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形 5．有兩個(gè)角相等的梯形是（　　） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．直角梯形和等腰梯形 6．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若AD=6，則CP的長(zhǎng)為（　?。? A．3 B．3.5 7．若△ABC的邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則△ABC的形狀是（　?。? A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．任意三角形 D．不能確定 8．如圖，在等邊△ABC中，BD、CE是兩條中線，則∠1的

3、度數(shù)為（　　） A．90° B．30° C．120° D．150° 9．A，B是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，在平面內(nèi)找一點(diǎn)C，使△ABC構(gòu)成等腰直角三角形，這樣的C點(diǎn)可找（　?。? A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè) 10．如圖，D、E是等邊△ABC的邊BC上的三等分點(diǎn)，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且△ODE為等邊三角形，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（　?。? A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè) 　 二、填空題 11．線段AB關(guān)于直線MN對(duì)稱，則　　垂直平分　?。? 12．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，則∠B=　　． 13．如圖，點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上，QA⊥OA，QB

4、⊥OB，A、B分別為垂足，則AQ=　　． 14．等腰三角形的周長(zhǎng)為18cm，其中一邊為8cm，則另兩邊的長(zhǎng)分別為　?。? 15．如圖，在△ABC中，∠ACB=130°，AC、BC的垂直平分線分別交AB于點(diǎn)M、N，則∠MCN=　?。? 16．如圖，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，則△POA的面積等于　　cm2． 17．給出一個(gè)梯形ABCD，AD∥BC，下面四個(gè)論斷：①∠A=∠D；②AB=CD；③∠B=∠C；④AC=BD．其中能判斷梯形ABCD為等腰梯形的是　?。ㄌ钚蛱?hào)）． 18．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BC=AC，∠ACD=30

5、°，則∠D=　?。? 　 三、解答題 19．如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)有∠AOB，請(qǐng)你利用網(wǎng)格畫出∠AOB的平分線，并說(shuō)明理由． 20．如圖，△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AB′C′，BC與B′C′交于P，試說(shuō)明AP平分∠BPC′． 21．如圖，已知AB=AC，BD=DC，AD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E． （1）試說(shuō)明BE=EC； （2）試說(shuō)明AD⊥BC． 22．如圖梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度數(shù)． 23．如圖，在等邊△ABC的三邊上分別取點(diǎn)D、E、F，使AD=BE=CF． （1）試說(shuō)明△DEF是等邊三角形； （2）連接AE、BF、

6、CD，兩兩相交于點(diǎn)P、Q、R，則△PQR為何種三角形？試說(shuō)明理由． 24．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥DC于點(diǎn)F，BG⊥CD于點(diǎn)G，試說(shuō)明PE+PF=BG． 　 《第2章 軸對(duì)稱圖形》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．2008年北京車展上，我國(guó)自主品牌的轎車不論在設(shè)計(jì)上還是在性能上，都引起了外國(guó)許多專家的贊嘆，下面是我國(guó)自主品牌的轎車的車標(biāo)，其中是軸對(duì)稱圖形的有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】結(jié)合車標(biāo)圖案，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．

7、【解答】解：第一個(gè)圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤； 第二個(gè)圖形，是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)正確； 第三個(gè)圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤； 第四個(gè)圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤； 第五個(gè)圖形，是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)正確． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：熟記軸對(duì)稱的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，兩邊圖象折疊后可重合是解題的關(guān)鍵． 　 2．如圖，該圖案對(duì)稱軸的條數(shù)是（　　） A．4條 B．3條 C．2條 D．1條 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)該圖形的特點(diǎn)結(jié)合軸對(duì)稱圖形的定義得出即可． 【解答】解：該圖案對(duì)稱軸的條數(shù)是2條． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖

8、形的概念．判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 3．已知MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點(diǎn)，則∠CAD和∠CBD之間的大小關(guān)系是（　?。? A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D．無(wú)法判斷 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：AC=BC，AD=BD，則可證得∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，繼而求得答案． 【解答】解：∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點(diǎn)， ∴AC=BC，

9、AD=BD， ∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA， 如圖1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA， ∴∠CAD=∠CBD； 如圖2，∠CAD=∠CAB﹣∠DAB，∠CBD=∠CBA﹣∠DBA， ∴∠CAD=∠CBD． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等． 　 4．如果一個(gè)三角形是軸對(duì)稱圖形，且有一個(gè)內(nèi)角是60°，那么這個(gè)三角形是（　?。? A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形 【考點(diǎn)】生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象． 【分析】

10、三角形是軸對(duì)稱圖形，則該三角形是等腰三角形，根據(jù)有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即可作出判斷． 【解答】解：因?yàn)槿切问禽S對(duì)稱圖形，則該三角形是等腰三角形， 根據(jù)有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定方法，是需要熟記的內(nèi)容． 　 5．有兩個(gè)角相等的梯形是（　?。? A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．直角梯形和等腰梯形 【考點(diǎn)】梯形． 【分析】由直角梯形中有兩個(gè)直角，等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，即可求得答案． 【解答】解：∵直角梯形中有兩個(gè)直角，等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等， ∴有兩個(gè)角相等的

11、梯形是直角梯形和等腰梯形． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角梯形與等腰梯形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意直角梯形中有兩個(gè)直角，等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等． 　 6．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若AD=6，則CP的長(zhǎng)為（　?。? A．3 B．3.5 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由題意推出BD=AD，然后，在Rt△BCD中，CP=BD，即可推出CP的長(zhǎng)度． 【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠

12、DBA=30°， ∴BD=AD， ∵AD=6， ∴BD=6， ∵P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)， ∴CP=BD=3． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、折角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)已知推出BD=AD，求出BD的長(zhǎng)度． 　 7．若△ABC的邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則△ABC的形狀是（　?。? A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．任意三角形 D．不能確定 【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用． 【分析】利用完全平方公式進(jìn)行局部因式分解，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析． 【解答】解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，

13、 ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0， （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0， ∴a=b=c， ∴三角形是等邊三角形． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式的運(yùn)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0． 　 8．如圖，在等邊△ABC中，BD、CE是兩條中線，則∠1的度數(shù)為（　?。? A．90° B．30° C．120° D．150° 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)在等邊△ABC中，BD、CE是兩條中線得出∠AEC與∠ADB的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，BD

14、、CE是兩條中線， ∴∠AEC=∠ADB=90°，∠A=60°， ∴∠1=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 9．A，B是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，在平面內(nèi)找一點(diǎn)C，使△ABC構(gòu)成等腰直角三角形，這樣的C點(diǎn)可找（　　） A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè) 【考點(diǎn)】等腰直角三角形． 【分析】分三種情況考慮：當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)A作AB的垂線，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，與垂線交于C3、C4兩點(diǎn)；當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作AB的垂線，以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，與垂線交于C

15、5、C6；當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，以上兩種情況的交點(diǎn)即為C1、C2，綜上，得到所有滿足題意的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)． 【解答】解：A，B是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，在平面內(nèi)找一點(diǎn)C，使△ABC構(gòu)成等腰直角三角形， 如圖所示： 則這樣的C點(diǎn)有6個(gè)， 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰直角三角形，利用了分類的思想，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找全滿足題意的C點(diǎn)是本題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，D、E是等邊△ABC的邊BC上的三等分點(diǎn)，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且△ODE為等邊三角形，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（　　） A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè) 【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】

16、根據(jù)等腰三角形判定和等邊三角形性質(zhì)得出△ODE、△ABC，求出∠ODE=∠OED=60°，OE=EC，OD=OB，求出∠OBC=∠OCB=30°，求出∠OBA=∠OCB=30°，即可得出、△OEC、△OBC、△AOB、△AOC也是等腰三角形． 【解答】解：等腰三角形有△ODE、△ABC、△ODB、△OEC、△OBC、△AOB、△AOC，共7個(gè)， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：有兩邊相等的三角形是等腰三角形，有兩角相等的三角形是等腰三角形． 　 二、填空題 11．線段AB關(guān)于直線MN對(duì)稱，則　MN　垂直平分　AB?。? 【考點(diǎn)】線段垂直平

17、分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線可知：線段AB關(guān)于直線MN對(duì)稱，則MN垂直平分AB． 【解答】解：線段AB關(guān)于直線MN對(duì)稱，則MN垂直平分AB． 故填MN，AB． 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線． 　 12．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，則∠B=　65°　． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可直接得出答案． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠A=50°， ∴∠B=（180°﹣50°）÷2=65°． 故答案為：65°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)的理解和掌握

18、，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題． 　 13．如圖，點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上，QA⊥OA，QB⊥OB，A、B分別為垂足，則AQ=　BQ　． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】由角平分線的性質(zhì)可得AQ=BQ． 【解答】解： ∵OQ平分∠AOB，且QA⊥OA，QB⊥OB， ∴AQ=BQ， 故答案為：BQ． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵． 　 14．等腰三角形的周長(zhǎng)為18cm，其中一邊為8cm，則另兩邊的長(zhǎng)分別為　2cm、8cm或5cm、5cm?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】分8cm是腰長(zhǎng)與底邊

19、長(zhǎng)兩種情況討論求解． 【解答】解：①8cm是腰長(zhǎng)時(shí)，18﹣8×2=2cm， 所以，其余兩邊長(zhǎng)為2cm、8cm， ②8cm是底邊時(shí)，（18﹣8）=5cm， 所以，其余兩邊長(zhǎng)為5cm、5cm， 故答案為：2cm、8cm或5cm、5cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論求解． 　 15．如圖，在△ABC中，∠ACB=130°，AC、BC的垂直平分線分別交AB于點(diǎn)M、N，則∠MCN=　80°?。? 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】首先由在△ABC中，∠ACB=130°，可求得∠A+∠B的度數(shù)，然后由AC、BC的垂直平分線分別交AB于點(diǎn)

20、M、N，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AM=CM，BN=CN，即可得∠ACM=∠A，∠BCN=∠B，繼而求得∠ACM+∠BCN的度數(shù)，則可求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=130°， ∴∠A+∠B=50°， ∵AC、BC的垂直平分線分別交AB于點(diǎn)M、N， ∴AM=CM，BN=CN， ∴∠ACM=∠A，∠BCN=∠B， ∴∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=50°， ∴∠CMN=∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）=80°． 故答案為：80°． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意求得∠ACM+∠BCN=∠A+∠B是關(guān)鍵． 　 16．如圖

21、，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，則△POA的面積等于　12　cm2． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出PD的長(zhǎng)，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論． 【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D， ∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB=3cm， ∴PD=PB=3cm， ∵OA=8cm， ∴S△POA=OA?PD=×8×3=12cm2． 故答案為：12． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵． 　 17．給出一個(gè)梯形ABCD，AD∥BC，下面四個(gè)論斷：①∠A=∠D；

22、②AB=CD；③∠B=∠C；④AC=BD．其中能判斷梯形ABCD為等腰梯形的是?、佗冖邰堋。ㄌ钚蛱?hào)）． 【考點(diǎn)】等腰梯形的判定． 【分析】由同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形得出①③能判定梯形ABCD為等腰梯形； 由兩腰相等的梯形是等腰梯形得出②能判定梯形ABCD為等腰梯形； 由兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形得出④能判定梯形ABCD為等腰梯形；即可得出結(jié)果． 【解答】解：①能判定；理由如下： 在梯形ABCD，AD∥BC， ∵∠A=∠D， ∴四邊形ABCD是等腰梯形（同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形）， ∴①能判定； 同理：③能判定； ②能判定；理由如下： 在梯形ABC

23、D，AD∥BC， ∵AB=CD， ∴四邊形ABCD是等腰梯形（兩腰相等的梯形是等腰梯形）， ∴②能判定； ④能判定；理由如下： 在梯形ABCD，AD∥BC， ∵AC=BD， ∴四邊形ABCD是等腰梯形（兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形）， ∴④能判定； 故答案為：①②③④． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰梯形的判定方法；熟練掌握等腰梯形的判定方法，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 　 18．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BC=AC，∠ACD=30°，則∠D=　110°?。? 【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)． 【分析】由等腰梯形的性質(zhì)得出∠B=∠BCD，設(shè)∠ACB

24、=x，則∠B=∠BCD=x+30°，由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠BAC=∠B=x+30°，∠DAC=∠ACB=x，∠B+∠BAD=180°，得出方程，解方程求出∠BCD，即可得出∠D的度數(shù)． 【解答】解：∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=DC， ∴∠B=∠BCD， 設(shè)∠ACB=x，則∠B=∠BCD=x+30°， ∵BC=AC， ∴∠BAC=∠B=x+30°， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB=x，∠B+∠BAD=180°， 即x+30+x+30+x=180°， 解得：x=40°， ∴∠D=180°﹣∠BCD=180°﹣70°=110°． 故答案為：110°．

25、 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握等腰梯形和等腰三角形的性質(zhì)，由角的關(guān)系得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 19．如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)有∠AOB，請(qǐng)你利用網(wǎng)格畫出∠AOB的平分線，并說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖． 【分析】利用邊邊邊構(gòu)造全等三角形，可得對(duì)應(yīng)角相等，從而畫出∠AOB的平分線． 【解答】解：如圖所示：OC即為所求∠AOB的平分線． 【點(diǎn)評(píng)】考查角平分線上一點(diǎn)的確定；構(gòu)造三角形全等或確定等腰三角形底邊中點(diǎn)是解決本題的主要方法． 　 20．如圖，△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AB′C′，BC與B′C′交于P，試說(shuō)

26、明AP平分∠BPC′． 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】作AD⊥BC于D，AD′⊥B′C′于D′，如圖，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△A′B′C′，則根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=AD′，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到AP平分∠BPC′． 【解答】證明：作AD⊥BC于D，AD′⊥B′C′于D′，如圖， ∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AB′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴AD=AD′， ∴AP平分∠BPC′． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了角平分線的性質(zhì)

27、． 　 21．如圖，已知AB=AC，BD=DC，AD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E． （1）試說(shuō)明BE=EC； （2）試說(shuō)明AD⊥BC． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)SSS證明△ABD與△ACD全等，再利用等腰三角形的性質(zhì)證明即可； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明即可． 【解答】證明：在△ABD與△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD=∠CAD， ∴△ABC是等腰三角形， ∴BE=EC； （2）∵△ABC是等腰三角形，BE=EC， ∴AD⊥BC． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)解答，關(guān)鍵

28、是根據(jù)SSS證明△ABD與△ACD全等． 　 22．如圖梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度數(shù)． 【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)． 【分析】由AB=AD=CD，可知∠ABD=∠ADB，又AD∥BC，可推得BD為∠B的平分線，而由題可知梯形ABCD為等腰梯形，則∠B=∠C，那么在RT△BDC中，∠C+∠C=90°，可求得∠C=60°． 【解答】解：∵AB=AD=CD ∴∠ABD=∠ADB ∵AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC ∴∠ABD=∠DBC ∴BD為∠B的平分線 ∵AD∥BC，AB=AD=CD ∴梯形ABCD為等腰梯形 ∴∠B=∠C ∵

29、BD⊥CD ∴∠C+∠C=90° ∴∠C=60° 【點(diǎn)評(píng)】先根據(jù)已知條件可知四邊形為等腰梯形，然后根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和已知條件求解． 　 23．如圖，在等邊△ABC的三邊上分別取點(diǎn)D、E、F，使AD=BE=CF． （1）試說(shuō)明△DEF是等邊三角形； （2）連接AE、BF、CD，兩兩相交于點(diǎn)P、Q、R，則△PQR為何種三角形？試說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，AD=BE=CF，易證得△ADF≌△BED，即可得DF=DE，同理可得DF=EF，即可證得：△DEF是等邊三角形； （2）由（1）證得△AD

30、F≌△BED，得到BD=AF，通過(guò)△ABF≌△CBD，得到∠ABF=∠BCD，求得∠RPQ=∠FBC+∠BCD=60°，同理∠PQR=∠PRQ=60°，于是得到結(jié)論． 【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC， ∵AD=BE=CF， ∴AF=BD， 在△ADF和△BED中，， ∴△ADF≌△BED（SAS）， ∴DF=DE， 同理DE=EF， ∴DE=DF=EF． ∴△DEF是等邊三角形； （2）△PQR是等邊三角形， 理由：由（1）證得△ADF≌△BED， ∴BD=AF， 在△ABF與△CBD中，， ∴△ABF≌△CBD， ∴∠AB

31、F=∠BCD， ∵∠ABF+∠CBF=60°， ∴∠CBF+∠BCF=60°， ∵∠RPQ=∠FBC+∠BCD=60°， 同理∠PQR=∠PRQ=60°， ∴△PQR是等邊三角形． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 24．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥DC于點(diǎn)F，BG⊥CD于點(diǎn)G，試說(shuō)明PE+PF=BG． 【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】過(guò)P作PH⊥BG，把BG分成兩段，根據(jù)矩形得到PF=HG，再證

32、明△BPH和△PBE全等得到PE=BH，繼而可得出結(jié)論． 【解答】證明：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BG，垂足為H， ∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG， ∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°， ∴四邊形PHGF是矩形， ∴PF=HG，PH∥CD， ∴∠BPH=∠C， 在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C， ∴∠PBE=∠BPH， 又∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB， 在△PBE和△BPH中 ∴△PBE≌△BPH（AAS）， ∴PE=BH， ∴PE+PF=BH+HG=BG． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”的截長(zhǎng)，即把較長(zhǎng)的線段截為兩段，再分別證明線段相等，從而問(wèn)題得以解決．