河北省邯鄲四中2013屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《兩直線的位置關(guān)系》典型例題

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1、 河北省邯鄲四中2013屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《兩直線的位置關(guān)系》典型例題 典型例題一 例1 已知，，，求點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形為等腰梯形． 分析：利用等腰梯形所具備的性質(zhì)“兩底互相平行且兩腰長相等”進(jìn)行解題． 解：如圖， 設(shè)，若，則，， 即 由①、②解得． 若，則 即 由③、④式解得． 故點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 說明：(1)把哪兩條邊作為梯形的底是討論的標(biāo)準(zhǔn)，解此題時(shí)注意不要漏解．(2)在遇到兩直線平行問題時(shí)，一定要注意直線斜率不存在的情況．此題中、的斜率都存在，故不可能出現(xiàn)斜率不存在的情況． 典型例題二 例2當(dāng)為何值時(shí)，直線與直線互相垂直？ 分析：分類討論，利

2、用兩直線垂直的充要條件進(jìn)行求解．或利用結(jié)論“設(shè)直線和的方程分別是，，則的充要條件是”（其證明可借助向量知識(shí)完成）解題． 解法一：由題意，直線． (1)若，即，此時(shí)直線，顯然垂直； (2)若，即時(shí)，直線與直線不垂直； (3)若，且，則直線、斜率、存在， ，． 當(dāng)時(shí)，，即， ∴. 綜上可知，當(dāng)或時(shí)，直線． 解法二：由于直線，所以，解得． 故當(dāng)或時(shí)，直線． 說明：對于本題，容易出現(xiàn)忽視斜率存在性而引發(fā)的解題錯(cuò)誤，如先認(rèn)可兩直線、的斜率分別為、，則，． 由，得，即． 解上述方程為．從而得到當(dāng)時(shí)，直線與互相垂直． 上述解題的失誤在于機(jī)械地套用兩直線垂直（斜率形式）的充要條件，

3、忽視了斜率存在的大前提，因而失去對另一種斜率不存在時(shí)兩直線垂直的考慮，出現(xiàn)了以偏概全的錯(cuò)誤． 典型例題三 例3 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且被兩平行直線和截得的線段之長為5，求直線的方程． 分析：(1)如圖，利用點(diǎn)斜式方程，分別與、聯(lián)立，求得兩交點(diǎn)、的坐標(biāo)（用表示），再利用可求出的值，從而求得的方程．(2)利用、之間的距離及與夾角的關(guān)系求解．(3)設(shè)直線與、分別相交于、，則可通過求出、的值，確定直線的斜率（或傾斜角），從而求得直線的方程． 解法一：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)與、的交點(diǎn)分別為和，截得的線段的長，符合題意， 若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為． 解方程組得，

4、 解方程組得． 由，得． 解之，得，即欲求的直線方程為． 綜上可知，所求的方程為或． 解法二：由題意，直線、之間的距離為，且直線被平等直線、所截得的線段的長為5（如上圖），設(shè)直線與直線的夾角為，則，故∴． 由直線的傾斜角為135°，知直線的傾斜角為0°或90°，又由直線過點(diǎn)，故直線的方程為或． 解法三：設(shè)直線與、分別相交、，則： ，． 兩式相減，得．　　?、? 又　　　　　　　　② 聯(lián)立①、②，可得或 由上可知，直線的傾斜角分別為0°或90°． 故所求直線方程為或． 說明：本題容易產(chǎn)生的誤解是默認(rèn)直線的斜率存在，這樣由解法一就只能得到，從而遺漏了斜率不存在的情形．

5、一般地，求過一定點(diǎn)，且被兩已知平行直線截得的線段為定長的直線，當(dāng)小于兩平行直線之間距離時(shí)無解；當(dāng)時(shí)有唯一解；當(dāng)時(shí)，有且只有兩解．另外，本題的三種解法中，解法二采取先求出夾角后，再求直線的斜率或傾斜角，從方法上看較為簡單；而解法三注意了利用整體思想處理問題，在一定程度上也簡化了運(yùn)算過程． 典型例題四 例4 已知點(diǎn)，，點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ?。? （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解：點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，可有兩種情況，即在軸或軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為或． 由題意，，直線與直線垂直，其斜

6、率乘積為－1，可分別求得或2，或4，所以滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），（2，0），（0，4）． 說明：①本題還可以有另外兩種解法：一種是利用勾股定理，另一種是直角三角形斜邊與軸交點(diǎn)恰為斜邊中點(diǎn)，則由到、距離相等的性質(zhì)可解．②本題易錯(cuò)，可能只解一個(gè)坐標(biāo)軸；可能解方程時(shí)漏解；也可能看到、各有兩解而誤以為有四點(diǎn)． 典型例題五 例5 已知的一個(gè)定點(diǎn)是，、的平分線分別是，，求直線的方程． 分析：利用角平分線的軸對稱性質(zhì)，求出關(guān)于，的對稱點(diǎn)，它們顯然在直線上． 解：關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別是和，且這兩點(diǎn)都在直線上，由兩點(diǎn)式求得直線方程為． 典型例題六 例6 求經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，并且垂

7、直于直線的直線的方程． 解一：解得兩直線和的交點(diǎn)為（，），由已知垂直關(guān)系可求得所求直線的斜率為，進(jìn)而所求直線方程為． 解二：設(shè)所求直線方程為，將所求交點(diǎn)坐標(biāo)（，）代入方程得，所以所求直線方程為． 解三：所求直線過點(diǎn)（，），且與直線垂直，所以，所求直線方程為 即 ． 解四：設(shè)所求直線得方程為 即 （1） 由于該直線與已知直線垂直 則 解

8、得 代入（1）得所求直線方程為． 典型例題七 例7 已知定點(diǎn)（3，1），在直線和上分別求點(diǎn)和點(diǎn)，使的周長最短，并求出最短周長． C A x C N O y B M 圖1 分析：由連接兩點(diǎn)的線中，直線段最短，利用對稱，把折線轉(zhuǎn)化為直線，即轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離． 解：如圖1，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線和的對稱點(diǎn)分別為， ∵ 又 周長最小值是： 由兩點(diǎn)式可得方程為： ． 而且易求得： （，），（，0）， 此時(shí)，周長最短，周長為． 典型例題八 例8 已知實(shí)數(shù)，滿足，求

9、證：． 解：本題的幾何意義是：直線上的點(diǎn)（，）與定點(diǎn)的距離的平方不小于．因?yàn)橹本€外一點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)連線中，垂線段距離最短，而垂線段的長度即距離， 所以，即． 說明：本題應(yīng)為不等式的題目，難度較大，證明方法也較多，但用解析幾何的方法解決顯得輕松簡捷，深刻地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 典型例題九 例9 在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在上，，，試在軸的正半周上求一點(diǎn)，使取得最大值． 分析：要使最大，只需最大，而是直線到直線的角（此處即為夾角），利用公式可以解決問題． x C O B A y 圖2 解：如圖2，設(shè)點(diǎn) ∵，，， ∴， ， 于是直線、的斜率分別為：

10、 ， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ∵ ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)即，點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），由可知為銳角，所以此時(shí)有最大值． 說明：本題綜合性強(qiáng)，是三角、不等式和解析幾何知識(shí)的交匯點(diǎn)．另外本題也是足球射門最大角問題的推廣． 為了更好地理解問題，可以演示用“幾何畫板”制作的課件. 典型例題十 例10　直線，求關(guān)于直線對稱的直線的方程． 分析：本題可有多種不同的解法，給出多種解法的途徑是：一類利用直線方程的不同形式求解；另一類采用消元思想進(jìn)行求解． 解法一：由得與的交點(diǎn)為，顯見也在上． 設(shè)的斜率為，又的斜率為-2，的斜率為，則

11、 ，解得． 故的直線方程為．即． 解法二：在直線上取一點(diǎn)，又設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則 解得 故由兩點(diǎn)式可求得直線的方程為． 解法三：設(shè)直線上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則 解得，． 顯然在上，即，也即．這便是所求的直線的方程． 解法四：設(shè)直線上一動(dòng)點(diǎn)，則關(guān)于的對稱點(diǎn)在直線上，可設(shè)的坐標(biāo)為，則 即 消去，得，即此所求的直線的方程． 說明：在解法一中，應(yīng)注意正確運(yùn)用“到角公式”，明確由哪條直線到哪條直線的角．在具體解題時(shí)，最好能準(zhǔn)確畫出圖形，直觀地得出關(guān)系式．在解法四中，脫去絕對值符號(hào)時(shí)，運(yùn)用了平面區(qū)域的知識(shí)．否則，若從表面上可得到兩種結(jié)果，這顯然很難準(zhǔn)確地得出直線

12、的方程． 本題的四種不同的解法，體現(xiàn)了求直線方程的不同的思想方法，具有一定的綜合性．除此之外，從本題的不同解法中可以看出，只有對坐標(biāo)法有了充分的理解與認(rèn)識(shí)，并具有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，才有可能駕馭本題，從而在解法選擇的空間上，真正做到游刃有余，左右逢源． 典型例題十一 例11　不論取什么實(shí)數(shù)，直線都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)． 分析：題目所給的直線方程的系數(shù)含有字母，給任何一個(gè)實(shí)數(shù)值，就可以得到一條確定的直線，因此所給的方程是以為參數(shù)的直線系方程．要證明這個(gè)直線系的直線都過一定點(diǎn)，就是證明它是一個(gè)共點(diǎn)的直線系，我們可以給出的兩個(gè)特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點(diǎn)即是直線系中

13、任何直線都過的定點(diǎn)． 另一思路是由于方程對任意的都成立，那么就以為未知數(shù)，整理為關(guān)于的一元一次方程，再由一元一次方程有無數(shù)個(gè)解的條件求得定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解法一：對于方程，令，得；令，得． 解方程組得兩直線的交點(diǎn)為． 將點(diǎn)代入已知直線方程左邊，得： ． 這表明不論為什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(diǎn)． 解法二：將已知方程以為未知數(shù)，整理為： ． 由于取值的任意性，有 ，解得，． 所以所給的直線不論取什么實(shí)數(shù)，都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)． 說明：(1)曲線過定點(diǎn)，即與參數(shù)無關(guān)，則參數(shù)的同次冪的系數(shù)為0，從而求出定點(diǎn)． (2)分別令參數(shù)為兩個(gè)特殊值，得方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入原方程滿足，則此點(diǎn)

14、為定點(diǎn)． 典型例題十二 例12　一年級(jí)為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫成果展覽室．為節(jié)約經(jīng)費(fèi)，他們利用課桌作為展臺(tái)，將裝畫的鏡框旋置桌上，斜靠展出．已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A角為()鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距、()，學(xué)生距離鏡框下緣多遠(yuǎn)看畫的效果最佳？ 分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，為鏡框邊，為畫的寬度，為下邊緣上的一點(diǎn)，則可將問題轉(zhuǎn)化為： 已知，，，在軸的正方向向上求一點(diǎn)，使取最大值． 因?yàn)橐暯亲畲髸r(shí)，從理論上講，看畫的效果最佳（不考慮其他因素）． 解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為()，從三角函數(shù)定義知、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，于是直線、的斜率分別為 ，． 于是， 即．

15、 由于是銳角，且在上，則：， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取最大值，對應(yīng)的點(diǎn)為，因此，學(xué)生距離鏡框下緣處時(shí)，視角最大，即看畫效果最佳． 說明：解決本題有兩點(diǎn)至關(guān)重要：一是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題求解；二是把問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求的最大值．如果坐標(biāo)系選擇不當(dāng)，或選擇求的最大值，都將使問題變得復(fù)雜起來． 本題是一個(gè)非常實(shí)際的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，它不僅考查了直線的有關(guān)概念以及三角知識(shí)的結(jié)合運(yùn)用，而且更重要的是考查了把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力． 典型例題十三 例13　知實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值． 分析：本題可使用減少變量法和數(shù)形結(jié)合法兩種方法：可看成點(diǎn)與之間的距離． 解：

16、(法1)由得()， 則 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　， ∴的最小值是2. (法2)∵實(shí)數(shù)，滿足， ∴點(diǎn)在直線上． 而可看成點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離(如圖所示) 顯然的最小值就是點(diǎn)到直線的距離： ， ∴的最小值為2． 說明：利用幾何意義，可以使復(fù)雜問題簡單化．形如的式子即可看成是兩點(diǎn)間的距離，從而結(jié)合圖形解決． 典型例題十四 例14直線是中的平分線所在的直線，且，的坐標(biāo)分別為，，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)并判斷的形狀． 分析：“角平分線”就意味著角相等，故可考慮使用直線的“到角”公式將“角相等”列成一個(gè)表達(dá)式． 解：(法1)由題意畫出草圖（如圖所示

17、）． ∵點(diǎn)在直線上，∴設(shè)， 則，，． 由圖易知到的角等于到的角，因此這兩個(gè)角的正切也相等． ∴， ∴． 解得． ∴的坐標(biāo)為， ∴，， ∴． ∴是直角三角形． (法2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則必在直線上．以下先求． 由對稱性可得 解得，∴． ∴直線的方程為，即． 由得． ∴，， ∴． ∴是直角三角形． 說明：(1)在解法1中設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，由于在直線上，故可設(shè)，而不設(shè)，這樣可減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)．(2)注意解法2中求點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)的求法：原理是線段被直線垂直平分． 典型例題十五 例15　兩條直線，，求分別滿足下列條件的的值． (1) 與相交；

18、 (2) 與平行； (3) 與重合； (4) 與垂直； (5) 與夾角為． 分析：可先從平行的條件(化為)著手． 解：由得，解得，． 由得． (1)當(dāng)且時(shí)，，與相交； (2)當(dāng)時(shí)，．； (3)當(dāng)時(shí)，，與重合； (4)當(dāng)，即，時(shí)，； (5) ，． 由條件有． 將，代入上式并化簡得，； ，． ∴當(dāng)或-5或3時(shí)與夾角為． 說明：由解得或，此時(shí)兩直線可能平行也可能重合，可將的值代入原方程中驗(yàn)證是平行還是重合．當(dāng)時(shí)兩直線一定相交，此時(shí)應(yīng)是且． 典型例題十六 例16點(diǎn)，和，求過點(diǎn)且與點(diǎn)，距離相等的直線方程． 分析：可以用待定

19、系數(shù)法先設(shè)出直線方程，再求之；也可從幾何意義上考察這樣的直線具有的特征． 解：(法1)設(shè)所求直線方程為，即，由點(diǎn)、到直線的距離相等得： ． 化簡得，則有：或， 即或方程無解． 方程無解表明這樣的不存在，但過點(diǎn)，所以直線方程為，它與，的距離都是3． ∴所求直線方程為或． (法2)設(shè)所求直線為，由于過點(diǎn)且與，距離相等，所以有兩種情況，如下圖： (1)當(dāng)，在同側(cè)時(shí)，有，此時(shí)可求得的方程為，即； (2)當(dāng)，在異側(cè)時(shí)，必過中點(diǎn)，此時(shí)的方程為． ∴所求直線的方程為或． 說明：該題如果用待定系數(shù)法解易漏掉，即斜率不存在的情況．所以無論解什么題目，只要圖形容易畫出，就應(yīng)結(jié)合圖形，用代

20、數(shù)法、幾何法配合來解． 典型例題十七 例17　經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程． 分析：已知直線與直線平行，故的斜率可求，又過已知點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式可得到的方程．另外由于與已知直線平行，利用平行直線系方程，再由已知點(diǎn)，也可確定的方程． 解法一：由已知直線，知其斜率． 又由與直線平行，所以直線的斜率． 又由直線經(jīng)過已知點(diǎn)，所以利用點(diǎn)斜式得到直線的方程為： ，即． 解法二：因?yàn)橹本€平行于直線，所以可設(shè)直線的方程為． 又點(diǎn)在直線上，所以，解得． 故直線的方程為． 說明：解法二使用的是平行直線系，并用了待定系數(shù)法來解． 典型例題十八 例18　過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程．

21、 分析：已知直線與直線垂直，故的斜率可求，又過已知點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式可得到的方程．另外由于與已知直線垂直，利用垂直直線系方程，再由已知點(diǎn)，也可確定的方程． 解法一：由直線，知其斜率． 又由與直線垂直，所以直線的斜率． 又因過已知點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式得到直線的方程為 ，即． 解法二：由直線與直線垂直，可設(shè)直線的方程為： ． 又由直線經(jīng)過已知點(diǎn)，有． 解得．因此直線的方程為． 說明：此題的解二中使用垂直直線系方程，并使用了待定系數(shù)法． 典型例題十九 例19知直線經(jīng)過兩條直線與的交點(diǎn)，且與直線的夾角為，求直線的方程． 分析：先求與的交點(diǎn)，再列兩條直線夾角公式，利用與夾角為，求得的斜

22、率．也可使用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程的方法省去求交點(diǎn)的過程，直接利用夾角公式求解． 解法一：由方程組解得直線與的交點(diǎn)． 于是，所求直線的方程為． 又由已知直線的斜率，而且與的夾角為，故由兩直線夾角正切公式，得 ，即． 有，， 當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得． 故所求的直線的方程為或， 即或． 解法二：由已知直線經(jīng)過兩條直線與的交點(diǎn)，則可設(shè)直線的方程為 ，　?。?） 即． 又由與的夾角為，的方程為，有 ， 即，也即， 從而，． 解得，．代入（*）式，可得直線的方程為 或． 說明：此題用到兩直線的夾角公式，注意夾角公式與到角公式的區(qū)別。解法二還用到了過兩相交直線的交點(diǎn)的

23、直線系方程，用它可以省去求交點(diǎn)的過程，但不一定這樣的運(yùn)算就簡單，還要根據(jù)具體題目選擇合適的方法。 典型例題二十 例20　直線，一束光線過點(diǎn)，以的傾斜角投射到上，經(jīng)反射，求反射線所在直線的方程． 分析：此題解法很多．如圖，入射線與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)易得．求反射線的方程只缺少一個(gè)條件，尋求這個(gè)條件的主要思路有： 思路一：已知的傾斜角為，入射線的傾斜解為，可由三角形外角定理得到反射線的傾斜角． 思路二：如圖，由光線的反射定律可知，到的角等于到反射線的角，可得到反射線的斜率． 思路三：由光的反射性質(zhì)，可知反射線所在直線除經(jīng)過點(diǎn)外，還經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，求得的坐標(biāo)，反射線方程也可求得

24、． 思路四：由直線為入射線和反射線所在直線交角的平分線，上任意一點(diǎn)到入射線和反射線的距離相等，也可求得反射線的斜率． 思路五：可求得，直線為，入射線和反射線關(guān)于對稱，利用反函數(shù)性質(zhì)，由入射線的方程可以求出反射線的方程． 解法一：由已知入射線的傾斜角為，其斜率為，又入射線過點(diǎn)，所以入射線所在直線的方程為：． 解方程組得交點(diǎn)． 又因的傾斜角為，入射線的傾斜角，所以入射線與的夾角為． 于是據(jù)外角定理，即反射線所在直線的斜率為．故反射線所在直線的方程為，即： ． 解法二：由已知可得，，設(shè)反射線的斜率為，則由入射線到的角等于到反射線的角，可得 ，即． 解得． 以下求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)

25、斜式得反射線所在直線的方程（略）． 解法三：由已知得入射線所在直線方程為，再與直線的方程聯(lián)立得交點(diǎn)． 利用關(guān)于直線對稱點(diǎn)的知識(shí)，求得點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)． 又由反射線所在直線過與兩點(diǎn)，它的方程為，即： ． 解法四：可求得入射線所在直線方程為，即，入射線與交點(diǎn)為． 于是可設(shè)反射線所在直線的方程為：，即． 由于直線為入射線與反射線夾角的平分線，則上的任一點(diǎn)到它們的距離相等，于是在上取點(diǎn)，有： ． 所以，即． 故，（等于入射線斜率，舍去）． 于是反射線的方程為：，即． 解法五：由點(diǎn)，得直線的方程為． 又因入射線與反射線所在直線關(guān)于對稱，點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為． 由于反射線所

26、在直線經(jīng)過與兩點(diǎn)，所以它的方程為： ，即． 典型例題二十一 例21　已知直線，試求： (1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)； (2)直線關(guān)于直線對稱的直線的方程； (3)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線方程． 分析：對稱問題可分為四種類型：①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)；②點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)；③直線關(guān)于直線的對稱直線；④直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線．對于①利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可．對于②需利用“垂直”“平分”兩個(gè)條件．若③④在對稱中心（軸），及一個(gè)曲線方程已知的條件下給出，則通常采取坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法，其次對于對稱軸（中心）是特殊直線，如：坐標(biāo)軸、直線，采取特殊代換法，應(yīng)熟練掌握． 解：(1)設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為， 則線

27、段的中點(diǎn)在對稱軸上，且． ∴ 解之得： 即坐標(biāo)為． (2)直線關(guān)于直線對稱的直線為，則上任一點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)一定在直線上，反之也成立． 由 得 把代入方程并整理，得： 即直線的方程為． (3)設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線為，則直線上任一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)一定在直線上，反之也成立． 由得 將代入直線的方程得：． ∴直線的方程為． 說明：本題是求有關(guān)對稱點(diǎn)、對稱直線的問題，主要用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線垂直的斜率關(guān)系． 典型例題二十二 例22　已知直線和兩點(diǎn)、． (1)在上求一點(diǎn)，使最?。? (2)在上求一點(diǎn)，使最大． 分析：較直接的思路是：用兩點(diǎn)間的距離公式求出的表達(dá)式，

28、再求它的最小值．這樣計(jì)算量太大也不可行．我們可以求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，從而將轉(zhuǎn)化為，從而當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，才最小，對于最大也可以利用這樣的方法． 解：(1)如圖，設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為 則 ∴，． ∴ ∴的的是，與的交點(diǎn)是， 故所求的點(diǎn)為． (2)如下圖， 是方程， 即． 代入的方程，得直線與的交點(diǎn)， 故所求的點(diǎn)為． 說明：本例利用求對稱點(diǎn)的方法巧妙地求出了所求點(diǎn)的坐標(biāo)． 典型例題二十四 例24 已知點(diǎn)，和直線，求一點(diǎn)使，且點(diǎn)到的距離等于2． 分析：為使（如圖），點(diǎn)必在線段的垂直平分線上，又點(diǎn)到直線的距離為2，所以點(diǎn)又在距離為2的平行于的直線上，求這兩條直線的交點(diǎn)即得所求點(diǎn)． 解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為． ∵，． ∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為． 又的斜率． ∴的垂直平分線方程為，即． 而在直線上． ∴．　　?、? 又已知點(diǎn)到的距離為2． ∴點(diǎn)必在于平行且距離為2的直線上， 設(shè)直線方程為， 由兩條平行直線之間的距離公式得： ∴或． ∴點(diǎn)在直線或上． ∴或　?、? 由∴①②得：，或，． ∴點(diǎn)或?yàn)樗蟮狞c(diǎn)． 說明：在平面幾何中，常用交軌法作圖得點(diǎn)的位置，而在解析幾何中，則是將直線用方程來表示，用求方程組的解的方式來求得點(diǎn)的坐標(biāo)．這是解析法的重要應(yīng)用，也是其方便之處． 24