蘇科版八級(jí)上勾股定理的逆定理同步練習(xí)含答案

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1、3.2 勾股定理的逆定理 一．選擇題（共7小題） 1．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成鈍角三角形的是（　　） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（　?。? A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a(chǎn)2=c2﹣b2 D．a(chǎn)：b：c=3：4：6 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，則（　?。? A．∠A為直角

2、 B．∠C為直角 C．∠B為直角 D．不是直角三角形 4．三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足2ab=（a+b）2﹣c2，則此三角形是（　?。? A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形 5．用a、b、c作三角形的三邊，其中不能構(gòu)成的直角三角形的是（　?。? A．b2=（a+c）（a﹣c） B．a(chǎn)：b：c=1：2： C．a(chǎn)=32，b=42，c=52 D．a(chǎn)=6，b=8，c=10 6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（　?。? A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△A

3、BC是直角三角形 B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 7．由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（　　） A．∠A+∠C=∠B B．a(chǎn)=，b=，c= C．（b+a）（b﹣a）=c2 D．∠A：∠B：∠C=5：3：2 　 二．填空題（共7小題） 8．若三角形的邊長(zhǎng)分別為6、8、10，則它的最長(zhǎng)邊上的高為______． 9．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為5：12：13，它的周長(zhǎng)為120，則

4、它的面積是______． 10．如圖，三個(gè)正方形的面積分別為S1=3，S2=2，S3=1，則分別以它們的一邊為邊圍成的三角形中，∠1+∠2=______度． 11．觀察下列勾股數(shù) 第一組：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二組：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三組：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四組：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1 …觀察以上各組勾股數(shù)組成特點(diǎn)，第7組勾股數(shù)是______（只填數(shù)，不填等式） 12．

5、如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長(zhǎng)為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過(guò)3秒時(shí)，△BPQ的面積為______cm2． 13．三角形的三邊分別為a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，則三角形的形狀為______． 14．所謂的勾股數(shù)就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三個(gè)正整數(shù)．我國(guó)清代數(shù)學(xué)家羅士林鉆研出一種求勾股數(shù)的方法，對(duì)于任意正整數(shù)m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，則a、b、c就是一組勾股數(shù)．請(qǐng)你結(jié)合這種方法，寫出8

6、5（三個(gè)數(shù)中最大）、84和______組成一組勾股數(shù)． 　 三．解答題（共8小題） 15．一個(gè)零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？ 16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8． （1）求∠ADC的度數(shù)； （2）求四邊形ABCD的面積． 17．已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，且BE2﹣EA2=AC2， ①求證：∠A=90°． ②若DE=3，BD=4，求AE的長(zhǎng)． 18．

7、能夠成為直角三角形邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，我們稱之為一組勾股數(shù)，觀察表格所給出的三個(gè)數(shù)a，b，c，a＜b＜c． （1）試找出它們的共同點(diǎn)，并證明你的結(jié)論； （2）寫出當(dāng)a=17時(shí)，b，c的值． 3，4，5 32+42=52 5，12，13， 52+122=132 7，24，25 72+242=252 9，40，41 92+402=412 … … 17，b，c 172+b2=c2 19．在△ABC中，c為最長(zhǎng)邊．當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2＜c2時(shí)，△ABC是鈍角三角形；當(dāng)a2+b2＞c2時(shí)，△ABC是銳角三角形．若a=2，b=4，試判斷△A

8、BC的形狀（按角分），并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍． 20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）． （1）當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為______三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為______三角形． （2）猜想，當(dāng)a2+b2______c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2______c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形． （3）判斷當(dāng)a=2，b=4時(shí)，△ABC的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍． 21

9、．在尋找馬航MH370航班過(guò)程中，兩艘搜救艦艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B．接到消息后，一艘艦艇以16海里/時(shí)的速度離開港口O（如圖所示）向北偏東40°方向航行，另一艘艦艇在同時(shí)以12海里/時(shí)的速度向北偏西一定角度的航向行駛，已知它們離港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，問(wèn)另一艘艦艇的航行方向是北偏西多少度？ 22．張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）請(qǐng)你分別觀察a，b，

10、c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示： a=______，b=______，c=______； （2）猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形并證明你的猜想． 　 參考答案 一．選擇題（共7小題） 1．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成鈍角三角形的是（　　） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 【分析】在能夠組成三角形的條件下，如果滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角三角形；滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形；滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角三角形，依此求解即可． 【解答】解：A、因?yàn)?2+4

11、2＞42，所以三條線段能組銳角三角形，不符合題意； B、因?yàn)?2+42=52，所以三條線段能組成直角三角形，不符合題意； C、因?yàn)?+4＞6，且32+42＜62，所以三條線段能組成鈍角三角形，符合題意； D、因?yàn)?+4=7，所以三條線段不能組成三角形，不符合題意． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．掌握組成鈍角三角形的條件是解題的關(guān)鍵． 　 2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B

12、：∠C=1：2：3 C．a(chǎn)2=c2﹣b2 D．a(chǎn)：b：c=3：4：6 【分析】由三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可． 【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，則∠C=90°，是直角三角形； B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，則∠C=90°，是直角三角形； C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定，注意在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊

13、后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷． 　 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，則（　　） A．∠A為直角 B．∠C為直角 C．∠B為直角 D．不是直角三角形 【分析】先把等式化為a2﹣b2=c2的形式，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出此三角形的形狀，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）=c2， ∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a為直角三角形的斜邊， ∴∠A為直角． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a

14、2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形． 　 4．三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足2ab=（a+b）2﹣c2，則此三角形是（　　） A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形 【分析】對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，發(fā)現(xiàn)三邊的關(guān)系符合勾股定理的逆定理，從而可判定其形狀． 【解答】解：∵原式可化為a2+b2=c2， ∴此三角形是直角三角形． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則三角形ABC是直角三角形． 　 5．用a、b、c作三角形的三邊，其中不能構(gòu)成的直角三角形的是（　?。? A．b2=（a+c）（a﹣c）

15、 B．a(chǎn)：b：c=1：2： C．a(chǎn)=32，b=42，c=52 D．a(chǎn)=6，b=8，c=10 【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)，由勾股定理的逆定理可以判斷a、b、c三邊組成的三角形是否為直角三角形．勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形． 【解答】解：A、∵b2=（a+c）（a﹣c）， ∴b2=a2﹣c2， ∴b2+c2=a2， ∴能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤； B、∵a：b：c=1：2：， ∴設(shè)a=x，則b=2x，c=x， ∵x2+（x）2=（2x）2， ∴能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤； C、∵a=32，b=42，c=

16、52， ∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2， ∴不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)C正確； D、∵a=6，b=8，c=10， 62+82=36+64=100=102， ∴能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤； 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理時(shí)，可用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是． 　 6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（　　） A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直

17、角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的判定定理解得即可． 【解答】解：如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正確； 如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B錯(cuò)誤； 如果∠A：∠B：∠C=1：3：2， 設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x， 則x+3x+2x=180°， 解得，x=30°， 則3x=90°， 那么△ABC是直角三角形，C正確； 如果a2：b2：c

18、2=9：16：25， 則如果a2+b2=c2， 那么△ABC是直角三角形，D正確； 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用，如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形． 　 7．由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（　?。? A．∠A+∠C=∠B B．a(chǎn)=，b=，c= C．（b+a）（b﹣a）=c2 D．∠A：∠B：∠C=5：3：2 【分析】由三角形內(nèi)角和定理得出條件A和B是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可得出條件C是直角三角形，B不是；即可得出結(jié)果． 【解答】A、∵∠A+∠C

19、=∠B， ∴∠B=90°， 故是直角三角形，正確； B、設(shè)a=20k，則b=15k，c=12k， ∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2， 故不能判定是直角三角形； C、∵（b+a）（b﹣a）=c2， ∴b2﹣a2=c2， 即a2+c2=b2， 故是直角三角形，正確； D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2， ∴∠A=×180°=90°， 故是直角三角形，正確． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理是證明直角三角形的關(guān)鍵，注意計(jì)算方法． 　 二．填空題（共7小題） 8．若三角形的邊長(zhǎng)分別為6

20、、8、10，則它的最長(zhǎng)邊上的高為　4.8?。? 【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角形的形狀，再根據(jù)三角形的面積公式解答即可． 【解答】解：∵三角形三邊的長(zhǎng)分別為6、8和10，62+82=100=102， ∴此三角形是直角三角形，邊長(zhǎng)為10的邊是最大邊，設(shè)它的最大邊上的高是h， ∴6×8=10h，解得，h=4.8． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的判定定理及三角形的面積公式，比較簡(jiǎn)單． 　 9．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為5：12：13，它的周長(zhǎng)為120，則它的面積是　480?。? 【分析】設(shè)三邊的長(zhǎng)是5x，12x，13x，根據(jù)周長(zhǎng)即可求得x的長(zhǎng)，則三角形的三邊的長(zhǎng)即可求得，然后利

21、用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，然后利用面積公式求解． 【解答】解：設(shè)三邊的長(zhǎng)是5x，12x，13x， 則5x+12x+13x=120， 解得：x=4， 則三邊長(zhǎng)是20，48，52． ∵202+482=522， ∴三角形是直角三角形， ∴三角形的面積是×20×48=480． 故答案是：480． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理以及三角形的面積公式，正確判斷三角形是直角三角形是關(guān)鍵． 　 10．如圖，三個(gè)正方形的面積分別為S1=3，S2=2，S3=1，則分別以它們的一邊為邊圍成的三角形中，∠1+∠2=　90　度． 【分析】根據(jù)面積得出AC2+BC2=AB2

22、，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可． 【解答】解： ∵S1=3，S2=2，S3=1， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°， 故答案為：90． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°是解此題的關(guān)鍵． 　 11．觀察下列勾股數(shù) 第一組：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二組：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三組：7=2×3+1，24=2×3×（

23、3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四組：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1 …觀察以上各組勾股數(shù)組成特點(diǎn)，第7組勾股數(shù)是　15，112，113?。ㄖ惶顢?shù)，不填等式） 【分析】通過(guò)觀察，得出規(guī)律：這類勾股數(shù)分別為2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可寫出第7組勾股數(shù)． 【解答】解：∵第1組：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1， 第2組：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1， 第3組：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1， 第4

24、組：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1， ∴第7組勾股數(shù)是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113． 故答案為：15，112，113． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股數(shù)，屬于規(guī)律性題目，關(guān)鍵是通過(guò)觀察找出規(guī)律求解． 　 12．如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長(zhǎng)為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過(guò)3秒時(shí)，△BPQ的面積為　18　cm2． 【分析】首先設(shè)AB為3xcm，B

25、C為4xcm，AC為5xcm，利用方程求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式計(jì)算求解． 【解答】解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm， ∵周長(zhǎng)為36cm， AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36， 解得x=3， ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm， ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 過(guò)3秒時(shí)，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm）， ∴S△PBQ=BP?BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）． 故答案為：18． 【點(diǎn)評(píng)

26、】此題主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面積．由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關(guān)鍵． 　 13．三角形的三邊分別為a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，則三角形的形狀為　等腰直角三角形　． 【分析】由于（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a=b，且a2+b2=c2，根據(jù)等腰三角形的定義以及勾股定理的逆定理可得以a，b，c為邊的三角形是等腰直角三角形． 【解答】解：∵（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0， ∴a﹣b=0，且a2+b2﹣c2=0， ∴a=b，且a2+b2=c2， ∴以a，b，c為邊的三角形是等腰直角三角

27、形． 故答案為等腰直角三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定義以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)． 　 14．所謂的勾股數(shù)就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三個(gè)正整數(shù)．我國(guó)清代數(shù)學(xué)家羅士林鉆研出一種求勾股數(shù)的方法，對(duì)于任意正整數(shù)m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，則a、b、c就是一組勾股數(shù)．請(qǐng)你結(jié)合這種方法，寫出85（三個(gè)數(shù)中最大）、84和　13　組成一組勾股數(shù)． 【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義可得要求的數(shù)是852﹣842，再進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：∵852﹣8

28、42=132， ∴85（三個(gè)數(shù)中最大）、84和13組成一組勾股數(shù)． 故答案為：13． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形． 　 三．解答題（共8小題） 15．一個(gè)零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？ 【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD與△ABC均為直角三角形，進(jìn)而可求解其面積． 【解答】解：∵42+32=52，52+122=132， 即AB2+BC2=AC

29、2，故∠B=90°， 同理，∠ACD=90° ∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD =×3×4+×5×12 =6+30 =36． 【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握勾股定理逆定理的運(yùn)用，會(huì)求解三角形的面積問(wèn)題． 　 16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8． （1）求∠ADC的度數(shù)； （2）求四邊形ABCD的面積． 【分析】（1）連接BD，首先證明△ABD是等邊三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理證明△BDC是直角三角形，進(jìn)而可得答案； （2）過(guò)B作BE⊥AD，利用三角形函數(shù)計(jì)算出BE長(zhǎng)，再利用△ABD的面積加上△

30、BDC的面積可得四邊形ABCD的面積． 【解答】解：（1）連接BD， ∵AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD是等邊三角形， ∴∠ADB=60°，DB=4， ∵42+82=（4）2， ∴DB2+CD2=BC2， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=60°+90°=150°； （2）過(guò)B作BE⊥AD， ∵∠A=60°，AB=4， ∴BE=AB?sin60°=4×=2， ∴四邊形ABCD的面積為： AD?EB+DB?CD=×4×+×4×8=4+16． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形

31、，如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形． 　 17．已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，且BE2﹣EA2=AC2， ①求證：∠A=90°． ②若DE=3，BD=4，求AE的長(zhǎng)． 【分析】（1）連接CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得BE=CE，再結(jié)合條件可求得EA2+AC2=CE2，可證得結(jié)論； （2）在Rt△BDE中可求得BE，則可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理結(jié)合已知條件可得到關(guān)于AE的方程，可求得AE． 【解答】（1）證明： 連接CE，如圖， ∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC

32、， ∴CE=BE…（2分） ∵BE2﹣EA2=AC2， ∴CE2﹣EA2=AC2， ∴EA2+AC2=CE2， ∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°； （2）解： ∵DE=3，BD=4， ∴BE==5=CE， ∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2， ∵BC=2BD=8， ∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2， ∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵，注意方程思想在這類問(wèn)題中的應(yīng)用． 　 18．能夠成為直角三角形邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)

33、，我們稱之為一組勾股數(shù)，觀察表格所給出的三個(gè)數(shù)a，b，c，a＜b＜c． （1）試找出它們的共同點(diǎn)，并證明你的結(jié)論； （2）寫出當(dāng)a=17時(shí)，b，c的值． 3，4，5　 　32+42=52 　5，12，13， 　52+122=132 　7，24，25 　72+242=252 　9，40，41 　92+402=412 … … 　17，b，c 　172+b2=c2 【分析】（1）根據(jù)表格找出規(guī)律再證明其成立； （2）把已知數(shù)據(jù)代入經(jīng)過(guò)證明成立的規(guī)律即可． 【解答】解：（1）以上各組數(shù)的共同點(diǎn)可以從以下方面分析： ①以上各組數(shù)均滿足a2+b2=c2； ②最小的數(shù)

34、（a）是奇數(shù)，其余的兩個(gè)數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)； ③最小奇數(shù)的平方等于另兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的和， 如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41… 由以上特點(diǎn)我們可猜想并證明這樣一個(gè)結(jié)論： 設(shè)m為大于1的奇數(shù)，將m2拆分為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)之和，即m2=n+（n+1）， 則m，n，n+1就構(gòu)成一組簡(jiǎn)單的勾股數(shù)， 證明：∵m2=n+（n+1）（m為大于1的奇數(shù)）， ∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2， ∴m，n，（n+1）是一組勾股數(shù)； （2）運(yùn)用以上結(jié)論，當(dāng)a=17時(shí)， ∵172=289=144+145， ∴b=144，c=145．

35、【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)、勾股定理的逆定理；解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則三角形ABC是直角三角形． 　 19．在△ABC中，c為最長(zhǎng)邊．當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2＜c2時(shí)，△ABC是鈍角三角形；當(dāng)a2+b2＞c2時(shí)，△ABC是銳角三角形．若a=2，b=4，試判斷△ABC的形狀（按角分），并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍． 【分析】分三種情況：①△ABC是直角三角形；②△ABC是鈍角三角形；③△ABC是銳角三角形． 【解答】解：∵a=2，b=4， ∴a2+b2=22+42=20． 分三種情況： ①△ABC是直角

36、三角形時(shí)，a2+b2=c2， c2=20，c=2； ②△ABC是鈍角三角形時(shí)，a2+b2＜c2，且a+b＞c， 即20＜c2，且6＞c， 解得2＜c＜6； ③△ABC是銳角三角形時(shí)，a2+b2＞c2，且b﹣a＜c， 即20＞c2，解得﹣2＜c＜2， ∵c為最長(zhǎng)邊， ∴c≥4． 故4≤c＜2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．也考查了三角形形狀的判斷及學(xué)生的閱讀理解能力． 　 20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2

37、+b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）． （1）當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為　銳角　三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為　鈍角　三角形． （2）猜想，當(dāng)a2+b2?。尽2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2?。肌2時(shí)，△ABC為鈍角三角形． （3）判斷當(dāng)a=2，b=4時(shí)，△ABC的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍． 【分析】（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時(shí)的斜邊的值，然后作出判斷即可； （2）根據(jù)（1）中的計(jì)算作出判斷即可； （3）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長(zhǎng)邊c點(diǎn)的最大值

38、，然后得到c的取值范圍，然后分情況討論即可得解． 【解答】解：（1）兩直角邊分別為6、8時(shí)，斜邊==10， ∴△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為銳角三角形； 當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為鈍角三角形； 故答案為：銳角；鈍角； （2）當(dāng)a2+b2＞c2時(shí)，△ABC為銳角三角形； 當(dāng)a2+b2＜c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形； 故答案為：＞；＜； （3）∵c為最長(zhǎng)邊，2+4=6， ∴4≤c＜6， a2+b2=22+42=20， ①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2， ∴當(dāng)4≤c＜2時(shí)，這個(gè)三角形是銳角三角形； ②a2+b2=c2，即c

39、2=20，c=2， ∴當(dāng)c=2時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形； ③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2， ∴當(dāng)2＜c＜6時(shí)，這個(gè)三角形是鈍角三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時(shí)的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 　 21．在尋找馬航MH370航班過(guò)程中，兩艘搜救艦艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B．接到消息后，一艘艦艇以16海里/時(shí)的速度離開港口O（如圖所示）向北偏東40°方向航行，另一艘艦艇在同時(shí)以12海里/時(shí)的速度向北偏西一定角度的航向行駛，已知它們離港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，問(wèn)另一艘艦艇的航

40、行方向是北偏西多少度？ 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度數(shù)即可． 【解答】解：由題意得， OB=12×1.5=18海里， OA=16×1.5=24海里， 又∵AB=30海里， ∵182+242=302，即OB2+OA2=AB2 ∴∠AOB=90°， ∵∠DOA=40°， ∴∠BOD=50°， 則另一艘艦艇的航行方向是北偏西50°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用和方位角的知識(shí)，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵． 22．張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表： n 2 3 4 5 … a 22﹣

41、1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）請(qǐng)你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示： a=　n2﹣1　，b=　2n　，c=　n2+1??； （2）猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形并證明你的猜想． 【分析】（1）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，可直接寫出答案； （2）分別求出a2+b2，c2，比較即可． 【解答】解：（1）由題意有：n2﹣1，2n，n2+1； （2）猜想為：以a，b，c為邊的三角形是直角三角形． 證明：∵a=n2﹣1，b=2n；c=n2+1 ∴a2+b2=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2 而c2=（n2+1）2 ∴根據(jù)勾股定理的逆定理可知以a，b，c為邊的三角形是直角三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題需仔細(xì)觀察表中的數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，利用勾股定理的逆定理即可解決問(wèn)題．