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1、編號(hào)：
時(shí)間：2021年x月x日
書山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)涯苦作舟
頁(yè)碼：第7頁(yè) 共7頁(yè)
《保險(xiǎn)精算學(xué)》筆記：生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造
第一節(jié) 生命表函數(shù)
一、生存函數(shù)
1、? 定義：
2、? 概率意義：新生兒能活到 的概率
3、? 與分布函數(shù)的關(guān)系：
4、? 與密度函數(shù)的關(guān)系：
二、剩余壽命
1、定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡(jiǎn)記 ），還能繼續(xù)存活的時(shí)間，稱為剩余壽命，記作T(x)。
2、剩余壽命的分布函數(shù)
5、? ： ，
它的概率意義為： 將在未來(lái)的 年內(nèi)去世的概率，簡(jiǎn)記
3、剩余壽命的生存函數(shù)： ，
它的概率意義為： 能活過 歲的概率，簡(jiǎn)記
2、
特別：
（1）
（2）
（3）
（4） ： 將在 歲與 歲之間去世的概率
4、? 整值剩余壽命
（1）定義： 未來(lái)存活的完整年數(shù)，簡(jiǎn)記
（2）概率函數(shù)：
5、剩余壽命的期望與方差
（1）期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值（均值），簡(jiǎn)記
（2）剩余壽命的方差：
6、整值剩余壽命的期望與方差
（1）期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值（均值），簡(jiǎn)記
（2）整值剩余壽命的方差：
2
三、死亡效力
1、定義： 的人瞬時(shí)死亡率，記作
2、死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系
3、死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系
4、死亡效力表示
3、剩余壽命的密度函數(shù)
記 為剩余壽命 的分布函數(shù)， 為 的密度函數(shù)，則
第二節(jié) 生命表的構(gòu)造
一、有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型
1、de Moivre模型（1729）
2、Gompertz模型（1825）
3、Makeham模型（1860）
4、Weibull模型（1939）
二、生命表的起源
??????? 1、參數(shù)模型的缺點(diǎn)
????? ???（1）至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個(gè)常用模型的擬合效果不令人滿意。
（2）使用這些參數(shù)模型推測(cè)未來(lái)的壽命狀況會(huì)產(chǎn)生很大的誤差
（3）壽險(xiǎn)中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生
4、命表擬合人類壽命的分布。
（4）在非壽險(xiǎn)領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。
2、生命表的起源
????????? （1）生命表的定義
根據(jù)已往一定時(shí)期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計(jì)資料編制成的由每個(gè)年齡死亡率所組成的匯總表.
（2）生命表的發(fā)展歷史
1662年,Jone Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時(shí)期的洗禮和死亡名單,寫過《生命表的自然和政治觀察》。這是生命表的最早起源。
1693年，Edmund Halley,《根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計(jì)表對(duì)人類死亡程度的估計(jì)》，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。
（3）生命表
5、的特點(diǎn)
構(gòu)造原理簡(jiǎn)單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場(chǎng)合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）
??? 三、生命表的構(gòu)造
1、原理
在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計(jì)算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計(jì)頻率）
2、常用符號(hào)
（1）新生生命組個(gè)體數(shù)：
（2）年齡：
（3）極限年齡：
（4） 個(gè)新生生命能生存到年齡 的期望個(gè)數(shù)：
（5） 個(gè)新生生命中在年齡 與 之間死亡的期望個(gè)數(shù)：
特別，當(dāng) 時(shí)，記作
（6） 個(gè)新生生命在年齡 與 區(qū)間共存活年數(shù)：
（7） 個(gè)新生生命中能活到年齡 的個(gè)體的剩余壽命總數(shù)：
四、選擇與終極生命表
1、選擇-終極生命構(gòu)造的原因
6、
（1）需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會(huì)優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。
（2）需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會(huì)隨時(shí)間而逐漸消失
2、選擇-終極生命表的使用
第三節(jié) 有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)
一、使用背景
生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時(shí)我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個(gè)整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定， 估計(jì)分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況
??? 二、基本原理
插值法
三、常用假定
1、均勻分布（Uniform Distribution）假定:(線形插值)
2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（幾何插值）
3、Balducci假定（調(diào)和插值）
四、三個(gè)假定下的生命表函數(shù)
函數(shù)
均勻分布假定
恒定死亡效力假定
Balducci假定
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