《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》試卷及答案

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機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 復(fù)習(xí)題及答案 一 填空題 1 用最速下降法求 f X 100 x2 x12 2 1 x1 2 的最優(yōu)解時(shí) 設(shè) X 0 0 5 0 5 T 第 一步迭代的搜索方向?yàn)?47 50 2 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法 其核心一是建立搜索方向 二是計(jì)算最佳步長因子 3 當(dāng)優(yōu)化問題是 凸規(guī)劃 的情況下 任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解 4 應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時(shí) 最后得到的三點(diǎn) 即為搜索區(qū)間的始點(diǎn) 中間點(diǎn)和 終點(diǎn) 它們的函數(shù)值形成 高 低 高 趨勢 5 包含 n 個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題 稱為 n 維優(yōu)化問題 6 函數(shù) 的梯度為 HX B CXBHTT 21 7 設(shè) G 為 n n 對稱正定矩陣 若 n 維空間中有兩個(gè)非零向量 d0 d 1 滿足 d 0 TGd1 0 則 d0 d 1 之間存在 共軛 關(guān)系 8 設(shè)計(jì)變量 約束條件 目標(biāo)函數(shù) 是優(yōu)化 設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素 9 對于無約束二元函數(shù) 若在 點(diǎn)處取得極小值 其必要條件是 21xf 2010 x 梯度為零 充分條件是 海塞矩陣正定 10 庫恩 塔克 條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起 作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合 11 用黃金分割法求一元函數(shù) 的極小點(diǎn) 初始搜索區(qū)間3610 2 xxf 經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 2 36 2 36 10 ba 12 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量 約束條件 目標(biāo)函數(shù) 13 牛頓法的搜索方向 dk 其計(jì)算量 大 且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn) 逼近 位置 14 將函數(shù) f X x12 x22 x1x2 10 x1 4x2 60 表示成 的形式 CXBHTT 21 15 存在矩陣 H 向量 d1 向量 d2 當(dāng)滿足 d1 TGd2 0 向量 d1 和向量 d2 是關(guān)于 H 共軛 16 采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí) 將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰 因子 r 數(shù)列 具有 由小到大趨于無窮 特點(diǎn) 17 采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí) 根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索 即求 二 選擇題 1 下面 方法需要求海賽矩陣 A 最速下降法 B 共軛梯度法 C 牛頓型法 D DFP 法 2 對于約束問題 21212132min4 g0 fXxx 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線 判斷 為 為 1 TX 251 TX A 內(nèi)點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn) B 外點(diǎn) 外點(diǎn) C 內(nèi)點(diǎn) 外點(diǎn) D 外點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn) 3 內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解 優(yōu)化問題 A 無約束優(yōu)化問題 B 只含有不等式約束的優(yōu)化問題 C 只含有等式的優(yōu)化問題 D 含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題 4 對于一維搜索 搜索區(qū)間為 a b 中間插入兩個(gè)點(diǎn) a1 b 1 a 1 b1 計(jì)算出 f a1 f b1 則縮短后的搜索區(qū)間為 A a1 b 1 B b1 b C a1 b D a b 1 5 不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素 A 設(shè)計(jì)變量 B 約束條件 C 目標(biāo)函數(shù) D 最佳步長 6 變尺度法的迭代公式為 xk 1 xk kHk f x k 下列不屬于 Hk 必須滿足的條件的是 A Hk 之間有簡單的迭代形式 B 擬牛頓條件 C 與海塞矩陣正交 D 對稱正定 7 函數(shù) 在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的 Xf A 最速上升方向 B 上升方向 C 最速下降方向 D 下降方向 8 下面四種無約束優(yōu)化方法中 在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的 一階或二階導(dǎo)數(shù) A 梯度法 B 牛頓法 C 變尺度法 D 坐標(biāo)輪換法 9 設(shè) 為定義在凸集 R 上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 則 在 R 上為凸函數(shù) Xf Xf 的充分必要條件是海塞矩陣 G X 在 R 上處處 A 正定 B 半正定 C 負(fù)定 D 半負(fù)定 10 下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法 黃金分割法的敘述 錯(cuò)誤的是 假設(shè)要求在區(qū)間 a b 插入兩點(diǎn) 1 2 且 1 2 A 其縮短率為 0 618 B 1 b b a C 1 a b a D 在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法 11 與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 上升 方向 與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 下降 方向 與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 不變 方向 A 上升 B 下降 C 不變 D 為零 12 二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是 A 等值線族的一個(gè)共同中心 B 梯度為 0 的點(diǎn) C 全局最優(yōu)解 D 海塞矩陣正定的點(diǎn) 13 最速下降法相鄰兩搜索方向 dk 和 dk 1 必為 向量 A 相切 B 正交 C 成銳角 D 共軛 14 下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述 錯(cuò)誤的是 A 可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題 B 懲罰因子是不斷遞減的正值 C 初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn) D 初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi) 15 通常情況下 下面四種算法中收斂速度最慢的是 A 牛頓法 B 梯度法 C 共軛梯度法 D 變尺度法 16 一維搜索試探方法 黃金分割法比二次插值法的收斂速度 A 慢 B 快 C 一樣 D 不確定 17 下列關(guān)于共軛梯度法的敘述 錯(cuò)誤的是 A 需要求海賽矩陣 B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度 C 共軛梯度法具有 二次收斂性 D 第一步迭代的搜索方向?yàn)槌跏键c(diǎn)的負(fù)梯度 三 問答題 1 試述兩種一維搜索方法的原理 它們之間有何區(qū) 答 搜索的原理是 區(qū)間消去法原理 區(qū)別 1 試探法 給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置 此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū) 間的縮短如何加快 而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系 如黃金分割法 2 插值法 沒有函數(shù)表達(dá)式 可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值 利用插值方法建立函 數(shù)的某種近似表達(dá)式 近而求出函數(shù)的極小點(diǎn) 并用它作為原來函數(shù)的近似值 這種 方法稱為插值法 又叫函數(shù)逼近法 2 懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么 答 基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后 和原目標(biāo)函 數(shù)結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù) 懲罰函數(shù) 求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極值 以期得到原 問題的約束最優(yōu)解 3 試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路 答 主要用數(shù)值解法 利用計(jì)算機(jī)通過反復(fù)迭代計(jì)算求得最 佳步長因子的近似值 4 試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn) 答 最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接 簡單 頭幾步下降速度快 缺點(diǎn)是收斂速度慢 越到后面收斂越慢 牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快 對二次函數(shù)具有二次收斂性 缺點(diǎn)是 每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣 維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大 5 寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式 并說明公式中各變量的意義 并說明迭代公式的意義 四 解答題 1 試用梯度法求目標(biāo)函數(shù) f X 1 5x12 0 5x22 x1x2 2x1 的最優(yōu)解 設(shè)初始點(diǎn) x 0 2 4 T 選代精度 0 02 迭代一步 2 試用牛頓法求 f X x1 2 2 x1 2x2 2 的最優(yōu)解 設(shè)初始點(diǎn) x 0 2 1 T 3 設(shè)有函數(shù) f X x12 2x22 2x1x2 4x1 試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值 4 求目標(biāo)函數(shù) f X x12 x1x2 2x22 4x1 6x2 10 的極值和極值點(diǎn) 5 試證明函數(shù) f X 2x12 5x22 x32 2x3x2 2x3x1 6x2 3 在點(diǎn) 1 1 2 T 處具有極小值 6 給定約束優(yōu)化問題 min f X x1 3 2 x2 2 2 s t g1 X x 12 x 22 5 0 g 2 X x 1 2x 2 4 0 g3 X x1 0 g4 X x2 0 驗(yàn)證在點(diǎn) Kuhn Tucker 條件成立 TX 7 設(shè)非線性規(guī)劃問題 01 2 min213211 xXgtsf 用 K T 條件驗(yàn)證 為其約束最優(yōu)點(diǎn) T 10 如圖 有一塊邊長為 6m 的正方形鋁板 四角截去相等的邊長為 x 的方塊并折轉(zhuǎn) 造一個(gè)無蓋的箱子 問如何截法 x 取何值 才能獲得最大容器的箱子 試寫出這一優(yōu) 化問題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 軟件求解的程序 11 某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為 8000cm3 的平底無蓋的圓柱形容器 要求設(shè)計(jì)此容器消耗原 材料最少 試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 軟件求解的程序 12 一根長 l 的鉛絲截成兩段 一段彎成圓圈 另一段彎折成方形 問應(yīng)以怎樣的比例 截?cái)嚆U絲 才能使圓和方形的面積之和為最大 試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型 以及用 MATLAB 軟件求解的程序 13 求表面積為 300m2 的體積最大的圓柱體體積 試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模 型以及用 MATLAB 軟件求解的程序 14 薄鐵板寬 20cm 折成梯形槽 求梯形側(cè)邊多長及底角多大 才會使槽的斷面 積最大 寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型 并用 matlab 軟件的優(yōu)化工具箱求解 寫 出 M 文件和求解命令 判斷題 1 二元函數(shù)等值線密集的區(qū)域函數(shù)值變化慢 x 2 海塞矩陣正定的充要條件是它的各階主子式大于零 x 3 當(dāng)?shù)c(diǎn)接近極小點(diǎn)時(shí) 步長變得很小 越走越慢 v 4 二元函數(shù)等值線疏密程度變化 5 變尺度法不需海塞矩陣 v 6 梯度法兩次的梯度相互垂直 v