2017年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《幾何證明》壓軸題(附答案解析)

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1、 . 幾何證明壓軸題〔中考〕 1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (1) 求證：DC=BC; (2) E是梯形一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)論； (3) 在〔2〕的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時(shí)，求sin∠BFE的值. [解析] 〔1〕過A作DC的垂線AM交DC于M, 那么AM=BC=2. 又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC. (2)等腰三角形. 證明

2、：因?yàn)? 所以，△DEC≌△BFC 所以，. 所以， 即△ECF是等腰直角三角形. 〔3〕設(shè),那么，所以. 因?yàn)?，又，所? 所以 所以. 2、：如圖，在□ABCD 中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長線于G． 〔1〕求證：△ADE≌△CBF； 〔2〕假設(shè)四邊形 BEDF是菱形，那么四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論． [解析] 〔1〕∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ． ∵點(diǎn)E 、F分別是AB、CD的中點(diǎn)， ∴AE＝AB ，CF＝CD ． ∴AE＝CF ∴△ADE≌

3、△CBF ． 〔2〕當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)， 四邊形 AGBD是矩形． ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC ． ∵AG∥BD ， ∴四邊形 AGBD 是平行四邊形． ∵四邊形 BEDF 是菱形， ∴DE＝BE ． ∵AE＝BE ， ∴AE＝BE＝DE ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°． ∴四邊形AGBD是矩形 3、如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三

4、角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O〔點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)〕按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)． 〔1〕如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜測BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測； 圖13－1 A( G ) B( E ) C O D( F ) 圖13－2 E A B D G F O M N C 〔2〕假設(shè)三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時(shí)，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，〔1〕中的猜測還成立嗎？假設(shè)成立，請(qǐng)證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說明理由． 圖

5、13－3 A B D G E F O M N C [解析]〔1〕BM=FN． 證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN ． ∴BM=FN． （2） BM=FN仍然成立． （3） 證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形， ∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°． 又∵∠MOB=∠NOF， ∴△OBM≌△OFN ． ∴BM=FN． 4、如圖，⊙

6、O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD＝5。 〔1〕假設(shè)，求CD的長； 〔2〕假設(shè)∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC〔陰影局部〕的面積〔結(jié)果保存〕。 [解析] 〔1〕因?yàn)锳B是⊙O的直徑，OD＝5 所以∠ADB＝90°，AB＝10 在Rt△ABD中， 又，所以，所以 因?yàn)椤螦DB＝90°，AB⊥CD 所以 所以 所以 所以 〔2〕因?yàn)锳B是⊙O的直徑，AB⊥CD 所以 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因?yàn)锳O＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO 設(shè)∠ADO＝4x，那么∠CDB＝4x

7、由∠ADO：∠EDO＝4：1，那么∠EDO＝x 因?yàn)椤螦DO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以 所以x＝10° 所以∠AOD＝180°－〔∠OAD＋∠ADO〕＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100° 5、如圖，：C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E為CH中點(diǎn)，連接AE并延長交BD于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)G. 〔1〕求證：點(diǎn)F是BD中點(diǎn)； 〔2〕求證：CG是⊙O的切線； 〔3〕假設(shè)FB=FE=2，求⊙O的半徑． [解析] (1)證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△A

8、CE∽△ADF ∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD (2)方法一：連接CB、OC， ∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°∵F是BD中點(diǎn)， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切線---------6′ 方法二：可證明△OCF≌△OBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分) (3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC 可證得：FA＝FG，且AB＝BG 由切割線定理得：〔2＋FG〕2＝BG×AG=2BG2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 由、得：FG2-4FG-12=0

9、解之得：FG1＝6，F(xiàn)G2＝－2〔舍去〕 ∴AB＝BG＝ ∴⊙O半徑為2 6、如圖，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔4，3〕， ⊙A的半徑為2．過A作直線平行于軸，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)． 〔１〕當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出它的坐標(biāo)； 〔２〕設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由. [解析] 解:⑴點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔2,3〕或〔6,3〕 ⑵作AC⊥OP,C為垂足. ∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1 ∴△ACP∽△OBP ∴ 在中,,又AP=12-4=8, ∴ ∴AC=≈1.94 ∵

10、1.94<2 ∴OP與⊙A相交. 7、如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB， DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，過點(diǎn)B作DE的垂線， C A B D O E 垂足為點(diǎn)C. 求證：∠ACB=∠OAC. [解析] 證明：連結(jié)OE、AE，并過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F， 〔3分〕 ∵DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)， ∴OE⊥DC， 又∵BC⊥DE, ∴OE∥AF∥BC. ∴∠1=∠ACB，∠2=∠3. ∵OA=OE， ∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2. 又∵點(diǎn)A是OB的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)F是EC的中點(diǎn). ∴AE=AC.

11、 ∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1. 即∠ACB=∠OAC. 8、如圖１，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為． ⑴求AO與BO的長； ⑵假設(shè)梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行. ①如圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC:BD=2:3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑多少米； ②如圖３，當(dāng)A點(diǎn)下滑到A’點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到B’點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)到P’點(diǎn)．假設(shè)∠POP’＝，試求AA’的長． [解析] ⑴中,∠O=,∠α= ∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米， ∴米. 米. -------------- (3分) ⑵設(shè)在中, 根據(jù)勾股定理: ∴ ------------- (5分) ∴ ∵∴ ∴ ------------- (7分) AC=2x= 即梯子頂端A沿NO下滑了米. ---- (8分) ⑶∵點(diǎn)P和點(diǎn)分別是的斜邊AB與的斜邊的中點(diǎn) ∴， ------------- (9分) ∴------- (10分) ∴ ∴ ∵ ∴ ----------------------- (11分) ∴----- (12分) ∴米. -------- (13分) 6 / 6