概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案.doc

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第一章 概率論的基本概念 1. 設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，用的運(yùn)算表示下列事件： (1)、都發(fā)生； (2)、發(fā)生, 不發(fā)生； (3)、都不發(fā)生； (4)、中至少有一個(gè)發(fā)生而不發(fā)生； (5)、中至少有一個(gè)發(fā)生； (6)、中至多有一個(gè)發(fā)生； (7)、中至多有兩個(gè)發(fā)生； (8)、中恰有兩個(gè)發(fā)生。 2. 設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件, 已知： ，，，，，。 試求，，。 3. 將一顆骰子投擲兩次， 依次記錄所得點(diǎn)數(shù)， 試求： (1)、兩次點(diǎn)數(shù)相同的概率； (2)、兩次點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1的概率； (3)、兩次點(diǎn)數(shù)的乘積小于等于12的概率。 4. 設(shè)一袋中有編號(hào)為1, 2, 3, , 9的球共9只, 某人從中任取3只球, 試求： (1)、取到1號(hào)球的概率； (2)、最小號(hào)碼為5的概率； (3)、所取3只球的號(hào)碼從小到大排序，中間號(hào)碼恰為5的概率； (4)、2號(hào)球或3號(hào)球中至少有一只沒有取到的概率。 . 5. 已知，，，試求： (1) ； (2)； (3)； (4)。 6. 設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)小朋友, 甲得病的概率是0.05, 在甲得病的條件下乙得病的概率是0.40, 在甲、乙兩人均得病的條件下丙得病的條件概率是0.80, 試求甲、乙、丙三人均得病的概率。 7. 設(shè)某人按如下原則決定某日的活動(dòng)： 如該天下雨則以0.2的概率外出購(gòu)物，以0.8的概率去探訪朋友； 如該天不下雨，則以0.9的概率外出購(gòu)物，以0.1的概率去探訪朋友。設(shè)某地下雨的概率是0.3。試求： (1) 那天他外出購(gòu)物的概率； (2) 若已知他那天外出購(gòu)物，則那天下雨的概率。 8. 設(shè)在某一男、女人數(shù)相等的從群中, 已知5%的男人和0.25%的女人患有色盲. 今從該人群中隨機(jī)地選擇一人, 試問: (1) 該人患有色盲的概率是多少？ (2) 若已知該人患有色盲, 那么他是男性的概率是多少？ . 9. 設(shè)、是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，，。試求： (1) ；(2) ；(3) ； (4) 。 10. 甲、乙、丙三門大炮對(duì)某敵機(jī)進(jìn)行獨(dú)立射擊, 設(shè)每門炮的命中率依次為0.7、0.8、0.9，若敵機(jī)被命中兩彈或兩彈以上則被擊落。設(shè)三門炮同時(shí)射擊一次，試求敵機(jī)被擊落的概率。 第二章 隨機(jī)變量及其分布 1. 甲、乙、丙3人進(jìn)行獨(dú)立射擊, 每人的命中率依次為0.3、0.4、0.6，設(shè)每人射擊一次，試求3人命中總數(shù)之概率分布律。 2. 設(shè)對(duì)某批產(chǎn)品的驗(yàn)收斂方案為: 從該批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查5件產(chǎn)品, 若次品數(shù)小于等于1, 則該批產(chǎn)品通過驗(yàn)收斂, 否則不予通過, 若某批產(chǎn)品的次品率為0.05, 試求該批產(chǎn)品通過驗(yàn)收斂的概率. 3. 某份試卷有10道選擇題，每題共有A, B, C, D四個(gè)答案供選擇， 其中只有一個(gè)答案是正確的。設(shè)某人對(duì)每道題均隨機(jī)地選擇答案，試求該生10道題中恰好答對(duì)6道題的概率是多少？ 4. 設(shè)隨機(jī)變量具有分布函數(shù)： . 試求：，，，. 5. 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度 (1)、求常數(shù)， (2)、求的分布函數(shù)， (3)、求的取值落在區(qū)間內(nèi)的概率。 6. 設(shè)隨機(jī)變量，求，，，以及常數(shù)的范圍，使. 7. 設(shè)某批雞蛋每只的重量(以克計(jì))服從正態(tài)分布，. (1)、求從該批雞蛋中任取一只, 其重量不足45克的概率； (2)、從該批雞蛋中任取一只, 其重量介于40克到60克之間的概率； (3)、若從該批雞蛋中任取五只, 試求恰有2只雞蛋不足45克的概率； (4)、從該批雞蛋中任取一只其重量超過60克的概率； (5)、求最小的，使從中任選只雞蛋，其中至少有一只雞蛋的重量超過60克的概率大于0.99. 8.設(shè)隨機(jī)變量具有概率分布律： -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.08 0.02 0.03 0.17 0.15 0.05 0.20 0.16 0.14 試求的概率分布律。 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 1．設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(, )具有概率分布律 3 6 9 12 15 18 1 0.01 0.03 0.02 0.01 0.05 0.06 2 0.02 0.02 0.01 0.05 0.03 0.07 3 0.05 0.04 0.03 0.01 0.02 0.03 4 0.03 0.09 0.06 0.15 0.09 0.02 求的邊緣分布律和的邊緣分布律。 2．設(shè)隨機(jī)變量(,)具有概率密度 . (1)、求的邊緣概率密度； (2)、求的邊緣概率密度； (3)、求. 3．設(shè)和的聯(lián)合密度為 (1)、求常數(shù)； (2)、求邊緣概率密度，； (3)、與是否相互獨(dú)立？ 4. 設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度為: (1)、求邊緣概率密度，； (2)、求概率． 5. 假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，當(dāng)取到時(shí)，隨機(jī)變量等可能的在上取值.求的聯(lián)合概率密度函數(shù)，并計(jì)算概率 6. 設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為： ，， 求隨機(jī)變量的概率密度. 7. 設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且服從同一分布，試證明： 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1．設(shè)離散型隨機(jī)變量具有概率分布律： -2 -1 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 試求，，. 2. 將個(gè)球隨機(jī)的丟入編號(hào)為的個(gè)盒子中去，試求沒有球的盒子的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 3.設(shè)球的直徑在上服從均勻分布. (1)、試求球的表面積的數(shù)學(xué)期望（表面積）； (2)、試求球的體積的數(shù)學(xué)期望（體積）. 4. 設(shè)某產(chǎn)品的驗(yàn)收方案是從該產(chǎn)品中任取6只產(chǎn)品，若次品數(shù)小于等于1，則該產(chǎn)品通驗(yàn)收；否則不予通過.若某廠該產(chǎn)品的次品率為0.1，試求在10次抽樣驗(yàn)收中能通過驗(yàn)收的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 5．設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度 . (1)、求常數(shù)； (2)、求的數(shù)學(xué)期望。 6．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 . 求 ，,. 7．設(shè)隨機(jī)變量(,)具有聯(lián)合概率密度 , 試求： (1)、的邊緣密度； (2)、的邊緣密度； (3)、,； (4)、E(Y), ； (5)、與是否不相關(guān)？ (6)、與是否相互獨(dú)立？ 8．設(shè)已知三個(gè)隨機(jī)變量,,中, ,,,, ,,,,. 試求： (1)、； (2)、； (3)、. 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1．設(shè)某公路段過往車輛發(fā)生交通事故的概率為0.0001, 車輛間發(fā)生交通事故與否相互獨(dú)立, 若在某個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)恰有10萬輛車輛通過, 試求在該時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)不多于15次的概率的近似值. 2．設(shè)某學(xué)校有1000名學(xué)生, 在某一時(shí)間區(qū)間內(nèi)每個(gè)學(xué)生去某閱覽室自修的概率是0.05, 且設(shè)每個(gè)學(xué)生去閱覽室自修與否相互獨(dú)立. 試問該閱覽室至少應(yīng)設(shè)多少座位才能以不低于0.95的概率保證每個(gè)來閱覽室自修的學(xué)生均有座位？ 3. 用Chebyshev 不等式確定當(dāng)擲一均勻銅幣時(shí)，需投多少次才能保證使得正面出現(xiàn)的頻率在0.4至0.6之間的概率不少于90%，并用正態(tài)逼近計(jì)算同一問題。 4. 一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差為5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少,才能保障不超載的概率大于0.977. (, 其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函 數(shù).) 5. 設(shè)某車間有同型號(hào)車床200臺(tái)，獨(dú)立工作，開工率0.8，開工時(shí)每臺(tái)車床耗電1kw (千瓦). 問應(yīng)該至少供多少電，可以99.9%的概率，保證該車間不因供電不足而影響生產(chǎn)？ 6. 經(jīng)以往檢驗(yàn)已確認(rèn)某公司組裝PC機(jī)的次品率為0.04，現(xiàn)對(duì)該公司所組裝的PC機(jī)100臺(tái)逐個(gè)獨(dú)立的測(cè)試， (1)、試求不少于4臺(tái)次品的概率（寫出精確計(jì)算的表達(dá)式）； (2)、用中心極限定理和Poisson定理給出此概率的兩個(gè)近似值。 7.設(shè)隨機(jī)變量序列依概率收斂于非零常數(shù), 而且， 證明：依概率收斂于. 第六章 樣本及抽樣分布 1. 設(shè)在總體中抽取樣本，其中已知而未知，指出之中，哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量，為什么？ 2. 在總體中隨機(jī)抽取一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率. 3. 求總體的容量分別為10，15的兩獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3的概率. 4. 在總體中隨機(jī)抽取一容量為5的樣本，求樣本平均值與總體平均值之差的絕對(duì)值大于1的概率. 5. 記 為的一個(gè)樣本，求 6. 設(shè)在總體中抽取一容量為16的樣本，其中均未知，求： (1)、其中為樣本方差； (2)、. 7. 設(shè)為來自泊松分布的一個(gè)樣本，分別為樣本均值和樣本方差，求 8. 設(shè)為來自的一個(gè)樣本，記 求證： 9. 設(shè)為來自的一個(gè)樣本，為樣本均值和樣本方差，求滿足下式的的值： 　 第七章 參數(shù)估計(jì) 1. 某種產(chǎn)品被抽樣9個(gè)樣品，測(cè)其重量（單位），計(jì)算得：。設(shè)重量近似服從未知。求總體均值、總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為95%置信區(qū)間。 2. 設(shè)總體是泊松分布，， 抽取一樣本，其樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)的極大似然估計(jì). 3. 設(shè)總體是正態(tài)分布，求 和的極大似然估計(jì)量。 4. 設(shè)總體的概率分布為： 1 2 3 現(xiàn)在觀察容量為3的樣本：， 求的極大似然估計(jì)值. 5. 設(shè)總體(未知)，，是樣本，試從以下的三個(gè)無偏估計(jì)量中選送一個(gè)最有效的： 6. 某車間生產(chǎn)滾珠，從長(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐中知道，可以認(rèn)為滾珠的直徑服從正態(tài)分布，從某日的產(chǎn)品中隨機(jī)取出6件，量得平均直徑為，若已知該日產(chǎn)品直徑的方差為.試求平均直徑的置信區(qū)間. 7. 從某年高考隨機(jī)抽取102份作文試卷，算得平均得分為26分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5，試估計(jì)總體均值95%和99%的置信區(qū)間。 8. 某自動(dòng)車床加工零件，抽查16個(gè)零件，測(cè)得平均長(zhǎng)度為12.075，試問該車床所加工的零件長(zhǎng)度的方差落在什么范圍內(nèi)？ 9. 設(shè)有一批胡椒粉，每袋凈重（單位：g）服從分布，今任取8袋測(cè)得平均凈重為12.15；，試求的置信度為0.99的置信區(qū)間. 第八章 假設(shè)檢驗(yàn)　 1. 某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖，規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)為0.5。設(shè)包裝機(jī)實(shí)際生產(chǎn)的每袋重量服從正態(tài)分布，且由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知其標(biāo)準(zhǔn)差。某天開工后，為了檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常，隨機(jī)抽取了9袋，稱得凈重為，，。問這天的包裝機(jī)工作是否正常？（） 2. 一個(gè)工廠制成一種新的釣魚繩，聲稱其折斷平均受力為15公斤，已知標(biāo)準(zhǔn)差為公斤。為檢驗(yàn)15公斤這數(shù)字是否確實(shí)，在該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50件，測(cè)得其折斷平均受力是14.8公斤，若取顯著性水平，問是否應(yīng)該接受廠方聲稱的15公斤這個(gè)數(shù)字？ 3. 某苗圃采用兩種育苗方案作楊樹的育苗試驗(yàn)，在兩組育苗試驗(yàn)中，已知苗高服從正態(tài)分布，且它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，現(xiàn)各取60株作為樣本，求得樣本均值觀測(cè)值分別為，（厘米），試求以95%的可靠性估計(jì)兩種試驗(yàn)方案對(duì)平均苗高的影響。 4. 為了研究一種新化肥對(duì)種植小麥的效力，選用13塊條件相同面積相等的進(jìn)行試驗(yàn)。在5塊上施肥，在另8塊上不施肥。經(jīng)過基本相同的田間管理，各自平均產(chǎn)量與樣本標(biāo)準(zhǔn)差為： ， ，， ，，. 問這種化肥對(duì)小麥產(chǎn)量是否有顯著影響？（） 5. 已知維尼龍纖度在正常情況下服從正態(tài)分布某日抽取5根纖維，測(cè)得平均值為1.414，標(biāo)準(zhǔn)差為0.00778。問這一天纖度的總體標(biāo)準(zhǔn)差是否正常？ 6. 在甲廠抽9個(gè)產(chǎn)品，算出它的樣本方差在乙廠抽12個(gè)產(chǎn)品，算出它的樣本方差在顯著性水平下，檢驗(yàn)假設(shè)（， 分別是甲廠和乙廠產(chǎn)品的方差，又假定各廠產(chǎn)品質(zhì)量都服從正態(tài)分布） 7. 有兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)金屬部件，分別在兩臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)的部件中各取一容量的樣本，測(cè)得部件重量的樣本方差分別為設(shè)兩樣本相互獨(dú)立.兩總體分別服從分布.試在顯著性水平下檢驗(yàn)假設(shè)： 第九章 方差分析及回歸分析 1. 某地區(qū)1991—1995年個(gè)人消費(fèi)支出和收入資料如下： 年份 1991 1992 1993 1994 1995 個(gè)人收入（萬元） 消費(fèi)支出（萬元） 64 56 70 69 77 66 82 75 92 88 要求：(1)、計(jì)算個(gè)人收入與消費(fèi)支出之間的相關(guān)系數(shù)。 (2)、配合消費(fèi)支出(y)對(duì)個(gè)人收入(x)的直線回歸方程. 2. 為研究產(chǎn)品銷售額與銷售利潤(rùn)之間的關(guān)系。某公司對(duì)所屬六家企業(yè)進(jìn)行了調(diào)查，產(chǎn)品銷售額為（萬元），銷售利潤(rùn)為（萬元），調(diào)查資料斤經(jīng)初步整理計(jì)算，結(jié)果如下： ，，，，. 要求： （1）、計(jì)算銷售額與銷售利潤(rùn)之間的相關(guān)關(guān)系。 （2）、配合銷售利潤(rùn)對(duì)銷售額的直線回歸方程。