數(shù)學(xué)必修四公式

《數(shù)學(xué)必修四公式》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)必修四公式（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

數(shù)學(xué)必修四公式 公式一: 設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2α及3π/2α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 誘導(dǎo)公式記憶口訣 ※規(guī)律總結(jié)※ 上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為: 對(duì)于kπ/2α(k∈Z)的個(gè)三角函數(shù)值， ①當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到α的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變; ②當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到α相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇變偶不變) 然后在前面加上把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。 (符號(hào)看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4π/2-α)，k=4為偶數(shù)，所以取sinα。 當(dāng)α是銳角時(shí)，2π-α∈(270，360)，sin(2π-α)＜0，符號(hào)為“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的記憶口訣是: 奇變偶不變，符號(hào)看象限。 公式右邊的符號(hào)為把α視為銳角時(shí)，角k360+α(k∈Z)，-α、180α，360-α 所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶 水平誘導(dǎo)名不變;符號(hào)看象限。 各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣“一全正;二正弦;三為切;四余弦”. 這十二字口訣的意思就是說: 第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“+”; 第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“-”; 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“+”，弦函數(shù)是“-”; 第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“-”. 其他三角函數(shù)知識(shí): 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 ⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系: tanα cotα=1 sinα cscα=1 cosα secα=1 商的關(guān)系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方關(guān)系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接) 構(gòu)造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。 (1)倒數(shù)關(guān)系:對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù); (2)商數(shù)關(guān)系:六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。 (主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。 (3)平方關(guān)系:在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。 兩角和差公式 ⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=------ 1-tanα tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=------ 1+tanα tanβ 倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式) sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 2tanα tan2α=----- 1-tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴(kuò)角公式) 1-cosα sin^2(α/2)=----- 2 1+cosα cos^2(α/2)=----- 2 1-cosα tan^2(α/2)=----- 1+cosα 萬能公式 ⒌萬能公式 2tan(α/2) sinα=------ 1+tan^2(α/2) 1-tan^2(α/2) cosα=------ 1+tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα=------ 1-tan^2(α/2) 萬能公式推導(dǎo) 附推導(dǎo): sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， (因?yàn)閏os^2(α)+sin^2(α)=1) 再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=tan2α/(1+tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。 三倍角公式 ⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 3tanα-tan^3(α) tan3α=------ 1-3tan^2(α) 三倍角公式推導(dǎo) 附推導(dǎo): tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α)，得: tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα =2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^2(α) =3sinα-4sin^3(α) cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα =(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α) =2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α)) =4cos^3(α)-3cosα 即 sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 三倍角公式聯(lián)想記憶 記憶方法:諧音、聯(lián)想 正弦三倍角:3元 減 4元3角(欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)) 余弦三倍角:4元3角 減 3元(減完之后還有“余”) ☆☆注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。 和差化積公式 ⒎三角函數(shù)的和差化積公式 α+β α-β sinα+sinβ=2sin-----cos---- 2 2 α+β α-β sinα-sinβ=2cos-----sin----- 2 2 α+β α-β cosα+cosβ=2cos------cos------ 2 2 α+β α-β cosα-cosβ=-2sin------sin------ 2 2 積化和差公式 ⒏三角函數(shù)的積化和差公式 sinα cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化積公式推導(dǎo) 附推導(dǎo): 首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式. 我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 向量的運(yùn)算 加法運(yùn)算 AB+BC=AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。 已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。 對(duì)于零向量和任意向量a，有:0+a=a+0=a。 |a+b|≤|a|+|b|。 向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。 減法運(yùn)算 與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。 數(shù)乘運(yùn)算 實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ > 0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ < 0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時(shí)，λa = 0。 設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ + μ)a = λa + μa(3)λ(a b) = λa λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。 向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。 向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。 a?b的幾何意義:數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。 兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。