2013年四川宜賓中考數(shù)學試題及答案(解析版).doc

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2013年四川省宜賓市中考數(shù)學試卷 一．選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請將正確選項填在括號內(nèi)。） 1．（2013宜賓）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（　?。? 　 A．2 B．﹣3 C．﹣ D．0 考點：有理數(shù)大小比較． 分析：根據(jù)正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)絕對值大的反而小，進行比較即可． 解答：解：∵﹣3＜﹣＜0＜2， ∴最小的數(shù)是﹣3； 故選B． 點評：此題考查了有理數(shù)的大小比較，要熟練掌握任意兩個有理數(shù)比較大小的方法：正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)絕對值大的反而?。? 2．（2013宜賓）據(jù)宜賓市旅游局公布的數(shù)據(jù)，今年“五一”小長假期間，全市實現(xiàn)旅游總收入330000000元．將330000000用科學記數(shù)法表示為（　?。? 　 A．3.3108 B．3.3109 C．3.3107 D．0.331010 考點：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)． 專題：計算題． 分析：找出所求數(shù)字的位數(shù)，減去1得到10的指數(shù)，表示成科學記數(shù)法即可． 解答：解：330000000用科學記數(shù)法表示為3.3108． 故選A． 點評：此題考查了科學記數(shù)法﹣表示較大的數(shù)，科學記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．　 3．（2013宜賓）下列水平放置的四個幾何體中，主視圖與其它三個不相同的是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點：簡單幾何體的三視圖． 分析：分別找到四個幾何體從正面看所得到的圖形比較即可． 解答：解：A．主視圖為長方形； B．主視圖為長方形； C．主視圖為長方形； D．主視圖為三角形． 則主視圖與其它三個不相同的是D． 故選D． 點評：本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．　 4．（2013宜賓）要判斷小強同學的數(shù)學考試成績是否穩(wěn)定，那么需要知道他最近幾次數(shù)學考試成績的（　?。? 　 A．方差 B．眾數(shù) C．平均數(shù) D．中位數(shù) 考點：方差；統(tǒng)計量的選擇． 分析：根據(jù)方差的意義作出判斷即可． 解答：解：要判斷小強同學的數(shù)學考試成績是否穩(wěn)定，只需要知道他最近幾次數(shù)學考試成績的方差即可． 故選A． 點評：本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．　 5．（2013宜賓）若關于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　） 　 A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥0 考點：根的判別式． 分析：判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2﹣4ac的值的符號就可以了． 解答：解：∵關于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，a=1，b=2，c=k， ∴△=b2﹣4ac=22﹣41k＞0， ∴k＜1， 故選：A． 點評：此題主要考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．　 6．（2013宜賓）矩形具有而菱形不具有的性質是（　?。? 　 A．兩組對邊分別平行 B．對角線相等 　 C．對角線互相平分 D．兩組對角分別相等 考點：矩形的性質；菱形的性質． 分析：根據(jù)矩形與菱形的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解． 解答：解：A．矩形與菱形的兩組對邊都分別平行，故本選項錯誤； B．矩形的對角線相等，菱形的對角線不相等，故本選項正確； C．矩形與菱形的對角線都互相平分，故本選項錯誤； D．矩形與菱形的兩組對角都分別相等，故本選項錯誤． 故選B． 點評：本題考查了矩形的性質，菱形的性質，熟記兩圖形的性質是解題的關鍵．　 7．（2013宜賓）某棵果樹前x年的總產(chǎn)量y與x之間的關系如圖所示，從目前記錄的結果看，前x年的年平均產(chǎn)量最高，則x的值為（　　） 　 A．3 B．5 C．7 D．9 考點：算術平均數(shù)． 分析：由已知中圖象表示某棵果樹前x年的總產(chǎn)量y與n之間的關系，可分析出平均產(chǎn)量的幾何意義為原點與該點邊線的斜率，結合圖象可得答案． 解答：解：若果樹前x年的總產(chǎn)量y與n在圖中對應P（x，y）點則前x年的年平均產(chǎn)量即為直線OP的斜率， 由圖易得當x=7時，直線OP的斜率最大， 即前7年的年平均產(chǎn)量最高，x=7． 故選C． 點評：本題以函數(shù)的圖象與圖象變化為載體考查了斜率的幾何意義，其中正確分析出平均產(chǎn)量的幾何意義是解答本題的關鍵．　 8．（2013宜賓）對于實數(shù)a、b，定義一種運算“?”為：a?b=a2+ab﹣2，有下列命題：①1?3=2； ②方程x?1=0的根為：x1=﹣2，x2=1； ③不等式組的解集為：﹣1＜x＜4； ④點（，）在函數(shù)y=x?（﹣1）的圖象上． 其中正確的是（　?。? 　 A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④ 考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；有理數(shù)的混合運算；解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式組；命題與定理． 專題：新定義． 分析：根據(jù)新定義得到1?3=12+13﹣2=2，則可對①進行判斷；根據(jù)新定義由x?1=0得到x2+x﹣2=0，然后解方程可對②進行判斷；根據(jù)新定義得，解得﹣1＜x＜4，可對③進行判斷； 根據(jù)新定義得y=x?（﹣1）=x2﹣x﹣2，然后把x=代入計算得到對應的函數(shù)值，則可對④進行判斷． 解答：解：1?3=12+13﹣2=2，所以①正確； ∵x?1=0， ∴x2+x﹣2=0， ∴x1=﹣2，x2=1，所以②正確； ∵（﹣2）?x﹣4=4﹣2x﹣2﹣4=﹣2x﹣2，1?x﹣3=1+x﹣2﹣3=x﹣4， ∴，解得﹣1＜x＜4，所以③正確； ∵y=x?（﹣1）=x2﹣x﹣2， ∴當x=時，y=﹣﹣2=﹣，所以④錯誤． 故選C． 點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足二次函數(shù)的解析式．也考查了閱讀理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式組．　 二．填空題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分。請把答案直接填在題中橫線上。） 9．（2013宜賓）分式方程的解為　x=1?。? 考點：解分式方程． 專題：計算題． 分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解． 解答：解：去分母得：2x+1=3x， 解得：x=1， 經(jīng)檢驗x=1是分式方程的解． 故答案為：x=1 點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．　 10．（2013宜賓）分解因式：am2﹣4an2=　a（m+2n）（m﹣2n）?。? 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 分析：首先提取公因式a，再利用平方差公式進行二次分解即可． 解答：解：am2﹣4an2=a（m2﹣4n2）=a（m+2n）（m﹣2n）， 故答案為：a（m+2n）（m﹣2n）． 點評：本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．　 11．（2013宜賓）如圖，一個含有30角的直角三角形的兩個頂點放在一個矩形的對邊上，若∠1=25，則∠2=　115?。? 考點：平行線的性質． 分析：將各頂點標上字母，根據(jù)平行線的性質可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG，從而可得出答案． 解答：解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115． 故答案為：115． 點評：本題考查了平行線的性質，解答本題的關鍵是掌握平行線的性質：兩直線平行內(nèi)錯角相等．　 12．（2013宜賓）某企業(yè)五月份的利潤是25萬元，預計七月份的利潤將達到36萬元．設平均月增長率為x，根據(jù)題意所列方程是　25（1+x）2=36?。? 考點：由實際問題抽象出一元二次方程． 專題：增長率問題． 分析：本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量（1+增長率），如果設這個增長率為x，根據(jù)“五月份的利潤是25萬元，預計七月份的利潤將達到36萬元”，即可得出方程． 解答：解：設這個增長率為x， 根據(jù)題意可得：25（1+x）2=36， 故答案為：25（1+x）2=36． 點評：本題為增長率問題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時間的有關數(shù)量，b為終止時間的有關數(shù)量．　 13．（2013宜賓）如圖，將面積為5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距離是邊BC長的兩倍，那么圖中的四邊形ACED的面積為　15　． 考點：平移的性質． 分析：設點A到BC的距離為h，根據(jù)平移的性質用BC表示出AD、CE，然后根據(jù)三角形的面積公式與梯形的面積公式列式進行計算即可得解． 解答：解：設點A到BC的距離為h，則S△ABC=BC?h=5， ∵平移的距離是BC的長的2倍， ∴AD=2BC，CE=BC， ∴四邊形ACED的面積=（AD+CE）?h=（2BC+BC）?h=3BC?h=35=15． 故答案為：15． 點評：本題考查了平移的性質，三角形的面積，主要用了對應點間的距離等于平移的距離的性質．　 14．（2013宜賓）如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲線CDEF的長是　4π?。? 考點：弧長的計算；等邊三角形的性質． 分析：弧CD，弧DE，弧EF的圓心角都是120度，半徑分別是1，2，3，利用弧長的計算公式可以求得三條弧長，三條弧的和就是所求曲線的長． 解答：解：弧CD的長是=， 弧DE的長是：=， 弧EF的長是：=2π， 則曲線CDEF的長是：++2π=4π． 故答案是：4π． 點評：本題考查了弧長的計算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圓心角都是120度，半徑分別是1，2，3是解題的關鍵．　 15．（2013宜賓）如圖，在△ABC中，∠ABC=90，BD為AC的中線，過點C作CE⊥BD于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG、DF．若AG=13，CF=6，則四邊形BDFG的周長為　20?。? 考點：菱形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理． 分析：首先可判斷四邊形BGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD=FD，則可判斷四邊形BGFD是菱形，設GF=x，則AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值． 解答：解：∵AG∥BD，BD=FG， ∴四邊形BGFD是平行四邊形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG， 又∵點D是AC中點， ∴BD=DF=AC， ∴四邊形BGFD是菱形， 設GF=x，則AF=13﹣x，AC=2x， 在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2， 解得：x=5， 故四邊形BDFG的周長=4GF=20． 故答案為：20． 點評：本題考查了菱形的判定與性質、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質，解答本題的關鍵是判斷出四邊形BGFD是菱形．　 16．（2013宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足=，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．給出下列結論：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4． 其中正確的是　①②④?。▽懗鏊姓_結論的序號）． 考點：相似三角形的判定與性質；垂徑定理；圓周角定理． 分析：①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得：=，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED； ②由=，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2； ③由勾股定理可求得AG的長，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=； ④首先求得△ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得△ADE的面積，繼而求得S△DEF=4． 解答：解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB， ∴=，DG=CG， ∴∠ADF=∠AED， ∵∠FAD=∠DAE（公共角）， ∴△ADF∽△AED； 故①正確； ②∵=，CF=2， ∴FD=6， ∴CD=DF+CF=8， ∴CG=DG=4， ∴FG=CG﹣CF=2； 故②正確； ③∵AF=3，F(xiàn)G=2， ∴AG==， ∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==， ∴tan∠E=； 故③錯誤； ④∵DF=DG+FG=6，AD==， ∴S△ADF=DF?AG=6=3， ∵△ADF∽△AED， ∴=（）2， ∴=， ∴S△AED=7， ∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4； 故④正確． 故答案為：①②④． 點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．　 三．解答題（本大題共8小題，滿分72分.解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。） 17．（2013宜賓）（1）計算：|﹣2|+﹣4sin45﹣1﹣2 （2）化簡：． 考點：分式的混合運算；實數(shù)的運算；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值． 專題：計算題． 分析：（1）本題涉及絕對值、二次根式的化簡、特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪等知識，直接根據(jù)定義或性質解答即可； （2）將括號內(nèi)的部分通分，將分子、分母因式分解，然后將除法轉化為乘法解答即可． 解答：解：（1）原式=2+2﹣4﹣1 =2+2﹣2﹣1 =1； （2）原式=（﹣） = =? =． 點評：（1）本題考查了實數(shù)的運算，熟悉絕對值、二次根式的化簡、特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪等知識是解題的關鍵； （2）本題考查了分式的混合運算，熟悉通分、約分和因式分解是解題的關鍵．　 18．（2013宜賓）如圖：已知D、E分別在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BE=CD． 考點：全等三角形的判定與性質． 專題：證明題． 分析：要證明BE=CD，把BE與CD分別放在兩三角形中，證明兩三角形全等即可得到，而證明兩三角形全等需要三個條件，題中已知一對邊和一對角對應相等，觀察圖形可得出一對公共角，進而利用AAS可得出三角形ABE與三角形ACD全等，利用全等三角形的對應邊相等可得證． 解答：證明：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴BE=CD（全等三角形的對應邊相等）． 點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定方法為：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時，要注意公共角及公共邊，對頂角等隱含條件的運用．　 19．（2013宜賓）為響應我市“中國夢”?“宜賓夢”主題教育活動，某中學在全校學生中開展了以“中國夢?我的夢”為主題的征文比賽，評選出一、二、三等獎和優(yōu)秀獎．小明同學根據(jù)獲獎結果，繪制成如圖所示的統(tǒng)計表和數(shù)學統(tǒng)計圖． 請你根據(jù)以上圖表提供的信息，解答下列問題：（1）a=　5　，b=　20　，n=　144?。? （2）學校決定在獲得一等獎的作者中，隨機推薦兩名作者代表學校參加市級比賽，其中王夢、李剛都獲得一等獎，請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選中這二人的概率． 考點：列表法與樹狀圖法；頻數(shù)（率）分布表；扇形統(tǒng)計圖． 專題：圖表型． 分析：（1）首先利用頻數(shù)、頻率之間的關系求得參賽人數(shù)，然后乘以一等獎的頻率即可求得a值，乘以三等獎的頻率即可求得b值，用三等獎的頻率乘以360即可求得n值； （2）列表后即可將所有情況全部列舉出來，從而求得恰好抽中者兩人的概率； 解答：解：（1）觀察統(tǒng)計表知，二等獎的有10人，頻率為0.2， 故參賽的總人數(shù)為100.2=50人， a=500.1=5人，b=500.4=20． n=0.4360=144， 故答案為：5，20，144； （2）列表得： ∵共有20種等可能的情況，恰好是王夢、李剛的有2種情況， ∴恰好選中王夢和李剛兩位同學的概率P==． 點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．　 20．（2013宜賓）2013年4月20日，我省蘆山縣發(fā)生7.0級強烈地震，造成大量的房屋損毀，急需大量帳篷．某企業(yè)接到任務，須在規(guī)定時間內(nèi)生產(chǎn)一批帳篷．如果按原來的生產(chǎn)速度，每天生產(chǎn)120頂帳篷，那么在規(guī)定時間內(nèi)只能完成任務的90%．為按時完成任務，該企業(yè)所有人員都支援到生產(chǎn)第一線，這樣，每天能生產(chǎn)160頂帳篷，剛好提前一天完成任務．問規(guī)定時間是多少天？生產(chǎn)任務是多少頂帳篷？ 考點：二元一次方程組的應用． 專題：應用題． 分析：設規(guī)定時間為x天，生產(chǎn)任務是y頂帳篷，根據(jù)不提速在規(guī)定時間內(nèi)只能完成任務的90%，即提速后剛好提前一天完成任務，可得出方程組，解出即可． 解答：解：設規(guī)定時間為x天，生產(chǎn)任務是y頂帳篷， 由題意得，， 解得：． 答：規(guī)定時間是6天，生產(chǎn)任務是800頂帳篷． 點評：本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，設出未知數(shù)，利用等量關系得出方程組，難度一般．　 21．（2013宜賓）宜賓是國家級歷史文化名城，大觀樓是標志性建筑之一（如圖①）．喜愛數(shù)學實踐活動的小偉查資料得知：大觀樓始建于明代（一說是唐代韋皋所建），后毀于兵火，乾隆乙酉年（1765年）重建，它是我國目前現(xiàn)存最高大、最古老的樓閣之一．小偉決定用自己所學習的知識測量大觀樓的高度．如圖②，他利用測角儀站在B處測得大觀樓最高點P的仰角為45，又前進了12米到達A處，在A處測得P的仰角為60．請你幫助小偉算算大觀樓的高度．（測角儀高度忽略不計，≈1.7，結果保留整數(shù)）． 考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題． 專題：應用題． 分析：設大觀樓的高OP=x，在Rt△POB中表示出OB，在Rt△POA中表示出OA，再由AB=12米，可得出方程，解出即可得出答案． 解答：解：設大觀樓的高OP=x， 在Rt△POB中，∠OBP=45， 則OB=OP=x， 在Rt△POA中，∠OAP=60， 則OA=OPcot∠OAP=x， 由題意得，AB=OB﹣OA=12m，即x﹣x=12， 解得：x=18+6， 故大觀樓的高度OP=18+6≈28米． 答：大觀樓的高度約為28米． 點評：本題考查了解直角三角形的應用，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的運用．　 22．（2013宜賓）如圖，直線y=x﹣1與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，已知點A的坐標為（﹣1，m）． （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）若點P（n，1）是反比例函數(shù)圖象上一點，過點P作PE⊥x軸于點E，延長EP交直線AB于點F，求△CEF的面積． 考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 分析：（1）將點A的坐標代入直線解析式求出m的值，再將點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式可求出k的值，繼而得出反比例函數(shù)關系式； （2）將點P的縱坐標代入反比例函數(shù)解析式可求出點P的橫坐標，將點P的橫坐標和點F的橫坐標相等，將點F的橫坐標代入直線解析式可求出點F的縱坐標，將點的坐標轉換為線段的長度后，即可計算△CEF的面積． 解答：解：（1）將點A的坐標代入y=x﹣1，可得：m=﹣1﹣1=﹣2， 將點A（﹣1，﹣2）代入反比例函數(shù)y=，可得：k=﹣1（﹣2）=2， 故反比例函數(shù)解析式為：y=． （2）將點P的縱坐標y=﹣1，代入反比例函數(shù)關系式可得：x=﹣2， 將點F的橫坐標x=﹣2代入直線解析式可得：y=﹣3， 故可得EF=3，CE=OE+OC=2+1=3， 故可得S△CEF=CEEF=． 點評：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，解答本題的關鍵是確定點A的坐標，要求同學們能結合圖象及直角坐標系，將點的坐標轉化為線段的長度．　 23．（2013宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若點E是的中點，連接AE交BC于點F，當BD=5，CD=4時，求AF的值． 考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質． 分析：（1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90，繼而可判斷AC是⊙O的切線． （2）根據(jù)（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，繼而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長． 解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=∠ADC=90， ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△BAC， ∴∠BAC=∠ADC=90， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切線． （2）∵△ADC∽△BAC（已證）， ∴=，即AC2=BCCD=36， 解得：AC=6， 在Rt△ACD中，AD==2， ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6， ∴DF=CA﹣CD=2， 在Rt△AFD中，AF==2． 點評：本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是熟練掌握切線的判定定理、相似三角形的性質，勾股定理的表達式．　 24．（2013宜賓）如圖，拋物線y1=x2﹣1交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y2，兩條拋物線相交于點C． （1）請直接寫出拋物線y2的解析式； （2）若點P是x軸上一動點，且滿足∠CPA=∠OBA，求出所有滿足條件的P點坐標； （3）在第四象限內(nèi)拋物線y2上，是否存在點Q，使得△QOC中OC邊上的高h有最大值？若存在，請求出點Q的坐標及h的最大值；若不存在，請說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題． 專題：代數(shù)幾何綜合題． 分析：（1）寫出平移后的拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式解析式寫出即可； （2）根據(jù)拋物線解析式求出點A、B的坐標，然后求出∠OBA=45，再聯(lián)立兩拋物線解析式求出交點C的坐標，再根據(jù)∠CPA=∠OBA分點P在點A的左邊和右邊兩種情況求解； （3）先求出直線OC的解析式為y=x，設與OC平行的直線y=x+b，與拋物線y2聯(lián)立消掉y得到關于x的一元二次方程，再根據(jù)與OC的距離最大時方程有且只有一個根，然后利用根的判別式△=0列式求出b的值，從而得到直線的解析式，再求出與x軸的交點E的坐標，得到OE的長度，再過點C作CD⊥x軸于D，然后根據(jù)∠COD的正弦值求解即可得到h的值． 解答：解：（1）拋物線y1=x2﹣1向右平移4個單位的頂點坐標為（4，﹣1）， 所以，拋物線y2的解析式為y2=（x﹣4）2﹣1； （2）x=0時，y=﹣1， y=0時，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1， 所以，點A（1，0），B（0，﹣1）， ∴∠OBA=45， 聯(lián)立， 解得， ∴點C的坐標為（2，3）， ∵∠CPA=∠OBA， ∴點P在點A的左邊時，坐標為（﹣1，0）， 在點A的右邊時，坐標為（5，0）， 所以，點P的坐標為（﹣1，0）或（5，0）； （3）存在． ∵點C（2，3）， ∴直線OC的解析式為y=x， 設與OC平行的直線y=x+b， 聯(lián)立， 消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0， 當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根時，△QOC中OC邊上的高h有最大值， 此時x1=x2=（﹣）=， 此時y=（﹣4）2﹣1=﹣， ∴存在第四象限的點Q（，﹣），使得△QOC中OC邊上的高h有最大值， 此時△=192﹣42（30﹣2b）=0， 解得b=﹣， ∴過點Q與OC平行的直線解析式為y=x﹣， 令y=0，則x﹣=0，解得x=， 設直線與x軸的交點為E，則E（，0）， 過點C作CD⊥x軸于D，根據(jù)勾股定理，OC==， 則sin∠COD==， 解得h最大==． 點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了利用平移變換確定二次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，等腰三角形的判定與性質，（3）判斷出與OC平行的直線與拋物線只有一個交點時OC邊上的高h最大是解題的關鍵，也是本題的難點．　 第 15 頁 共 15 頁