2015廣東高考理科數(shù)學(xué)試卷

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2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 （廣東卷） 數(shù)學(xué)（理科） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。 1.若集合，則 【答案】D 【解析】， 2.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則 【答案】A 【解析】， 3. 下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是 【答案】D 【解析】A和C選項(xiàng)為偶函數(shù)，B選項(xiàng)為奇函數(shù)， D選項(xiàng)為非奇非偶函數(shù) 4. 袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球，從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰好有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為 【答案】B 【解析】 5. 平行于直線且與圓相切的直線的方程是 【答案】A 【解析】設(shè)所求直線為，因?yàn)閳A心坐標(biāo)為（0，0），則由直線與圓相切可得 ，解得，所求直線方程為 6. 若變量滿足約束條件，則的最小值為 【答案】B 【解析】如圖所示，陰影部分為可行域，虛線表示目標(biāo) 函數(shù)，則當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1，）， 取最小值為 7. 已知雙曲線的離心率，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為 【答案】C 【解析】由雙曲線右焦點(diǎn)為，則c=5， ，所以雙曲線方程為 8. 若空間中個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)的取值 【答案】B 【解析】當(dāng)時(shí)，正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)符合條件；當(dāng)時(shí)，正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)符合條件 故可排除A，C，D四個(gè)選項(xiàng)，故答案選B 二、填空題：本大題 共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分. （一）必做題（9-13題） 9. 在的展開式中，的系數(shù)為 . 【答案】6 【解析】，則當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為 10. 在等差數(shù)列中，若，則 . 【答案】10 【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)得，，解得，所以 11. 設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則b= . 【答案】1 【解析】，又，故，所以 由正弦定理得，，所以 12. 某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了 條畢業(yè)留言。（用數(shù)字作答） 【答案】1560 13. 已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，，，則 . 【答案】 【解析】，，解得 （二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）， 14. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 已知直線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為 . 【答案】 【解析】 即直線的直角坐標(biāo)方程為，點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（2，-2） A到直線的距離為 15. (幾何證明選講選做題)如圖1，已知是圓的直徑，,是圓的切線，切點(diǎn)為，，過(guò)圓心作的平行線，分別交和于點(diǎn)和點(diǎn)，則= . 【答案】8 【解析】 圖1 如圖所示，連結(jié)O，C兩點(diǎn)，則, , 則Rt△CDO～Rt△CAB，所以,所以 三、解答題（本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟） 16.（本小題滿分12分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量m=（，-），n=（，），x（0，）. （1）若m⊥n，求的值； （2）若m與n的夾角為，求的值. 【解析】 （1）∵m=22,-22，n=(sinx,cosx)，且m⊥n，∴m?n=22sinx-22cosx=0 解得，tanx=1 （2）∵m 與 n 的夾角為 π3 ∴m?n=mncosπ3=12 ∴m?n=22sinx-cosx=sinx-π4=12 ∴x-π4=π6+2kπ k∈Z ∵x∈0，π2 ∴ x=5π12 17.（本小題滿分12分） 某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表： 工人編號(hào)年齡 工人編號(hào)年齡 工人編號(hào)年齡 工人編號(hào)年齡 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 44 12 38 13 39 14 33 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39 （1）用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里采用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)； （2）計(jì)算（1）中樣本的均值和方差； （3）36名工人中年齡在與之間有著多少人？所占的百分比是多少（精確到0.01%）？ 【解析】 （1） 由題意得，通過(guò)系統(tǒng)抽樣分別抽取編號(hào)為2，6，10，14，18，22，26，30，34的年齡數(shù)據(jù)為樣本。 則樣本的年齡數(shù)據(jù)為：44，40，36，43，36，37，44，43，37 （2） 由（1）中的樣本年齡數(shù)據(jù)可得， 則有 = （3） 由題意知年齡在之間，即年齡在之間， 由（1）中容量為9的樣本中年齡在之間的有5人， 所以在36人中年齡在之間的有（人）， 則所占百分比為 18.（本小題滿分14分） 　　如圖2，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB＝6， BC=3，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在線段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB， ?。?）證明：PE⊥FG； （2）求二面角P-AD-C的正切值； （3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值. 【解析】 （1）證明： 為邊的中點(diǎn)，所以， ，，且 ∴ ， （2） 由長(zhǎng)方形知， ，，且 ， 由長(zhǎng)方形得，為邊的中點(diǎn)，則 即二面角的正切值為 （3） 如圖，連結(jié)A,C ， 為直線PA與直線FG所成角. 由長(zhǎng)方形中得 由（2）知， 由題意知 所以，直線PA與直線FG所成角的余弦值為 19.（本小題滿分14分） 設(shè)，函數(shù). （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）證明：在上僅有一個(gè)零點(diǎn)； （3）若曲線在點(diǎn)P處的切線與軸平行，且在點(diǎn)的切線與直線OP平行（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），證明：. 【解析】 （1） （2）由（1）可知在R上為單調(diào)遞增函數(shù) （3）令點(diǎn)P為 命題得證. 20.（本小題滿分14分） 已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B. （1）求圓的圓心坐標(biāo)； （2）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程； （3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由. 【解析】 （1）由題意知：圓方程為： ∴圓的圓心坐標(biāo)為（3,0） （2）由圖可知，令 ∵直線L與圓交于A、B兩點(diǎn) ∴直線L與圓的距離： （3）∵直線L： 聯(lián)立方程： 得：， 此時(shí)，，僅有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意。 則有： 解得： ∴的取值范圍為：或 21.（本小題滿分14分） 數(shù)列滿足：. （1）求的值； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和； （3）令，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足. 【解析】 （1）由題意知： （2） ∴是首相為1，公比為的等邊數(shù)列 ∴ （3）由（2）得： 已知不等式： 設(shè)